不让一个学生落后

本期话题：学生为什么学不好数学？

【按】每个教师都会遇到学习困难的学生，数学教师尤其不会例外。处理方式无非有这么几种：（1）忽略。（2）给予“特别”的辅导，多讲解几遍。（3）与学生沟通，找到真正绊倒他们的障碍。可以毫不夸张地说，采取第三种处理办法的教师寥寥无几。一方面是因为缺乏这种意识，另一方面也很欠缺这种能力。从这个角度说，俞正强老师的尝试就十分难得。学生为什么学不好数学？他们存在哪些共性？又各自有哪些问题？老师的帮助是有效的吗？不做这样的追问和审视，教师就可能在做无用功。

从某种意义上说，教育是特别为那些发展不那么自主的人而存在的。相对于那些天生具有某些能力的人而言，教育的价值似乎并不凸显；相反，对发展暂时困难的人来说，教育才真正扮演了“教育”的角色一及时的介入、恰当的引导、微小的点拨，这些都会成为改变人心智的强大力量。教育理应摒弃以往的功利面孔，回归责任的本原。

在一个追求教育均衡的时代，在一个高扬人文关怀的社会里，这些学生存在的种种问题都应该成为我们特别关注的焦点。唯愿更多的学生切实享受到宏大的社会追求带来的种种关爱。

一、问题：她需要什么样的帮助？

有这样一道题目：

XX牌52型拖拉机，一天耕地150公亩，问12天耕地多少公亩？

一位学生是这样解的：52x150X12=（略）

因为是新接的四年级班，对孩子不熟悉，所以俞老师就找她问话：

”告诉我，你为什么这么列式？”

“老师，我错了。”

“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”

“除。”

“怎么除？”

“大的除以小的。”

“为什么是除呢？”

“老师，我又错了。”

“你说，对的该怎样呢？”

“应该把它们加起来。”

看来，这位学生是在瞎猜，只要老师重复问一句，她就习惯性地说自己错了，接着拿另一种计算方法来搪塞。显然，她没有学会分析，她知道加减乘除肯定有一种是适合这道题目的，这也是在许多数学学习困难的学生中常见的现象。于是，俞老师又对她说：

“我们换一道题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”

俞老师想这道题她应该会做，因为其结构与前面的题目一样，都是每份数、份数与总数的关系，引导学生迁移一下就可以了。

“老師，我早上不吃大饼的。”

“那你吃什么？”

“我经常吃粽子。”

“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”

“老师，我一天根本吃不下两个粽子。”

“那你能吃几个粽子？"

“吃半个就可以了。”

“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”

“两个半。”

“怎么算出来的？”

“两天一个，5天两个半。”

这位学生的问题在哪里呢？学生学习数学，是从生活经验开始的，并具有很强的生活型思维习惯，但数学学习需要的是数学思维方式。举例来说，当学生面对“每天吃两个粽子”这一材料时，有的学生首先会想：这可能吗？而有的学生首先会想：这是每份数。前者是一种极生活化的思考，关注材料的合理性；后者是一种数学思考，将材料抽象为一个“量”，从而进行形式化的演绎思考。

这位学生的问题就在于这种数学思考的方式尚未建立起来，也就是说，她需要的不是老师不断地重复讲这类题目，而是建立起与题目对应的数学语言，并运用数学语言间的数理关系进行演绎建构，形成我们通常所说的思维能力。而这种关于语言与思维能力的辅导是数学学习中教师所未曾注意的。

因此，学生在学习解决问题之前，需要有一个问题解决工具的掌握过程，我把这个过程称为准备性学习。如果学生的学习发生困难，教师应该把力量花到与该学习相关的准备性材料，上去。

上述过程同时也说明，学生在学习某一知识点之前，对这一知识的了解是不均衡的。这样，我们对班级授课制下的学生学习差异的成因与对策就有了一种新的认识。平时老师经常会感叹：为什么同样的老师同样的时间，而且都是新内容，学生的学习差别会如此之大！原因就在于学生在学习新内容之前所形成的认识是有差别的。用有差别的内在图式去顺应或同化一个新内容，结果当然是不同的。而通过准备性学习，将学生尚处于经验水平的图式调整到大致相同的水平上来，是解决班级授课中学生差异的有效途径。

二、四个准备性学习案例的分析。

事实上，当我们从案例中受到启发而对准备性学习开始思考的时候，才意识到我们的教育先哲们曾经对学习准备的重要性作过精辟的论述。比如孔子“温故而知新"中的“温故”即是对学习准备的强调；比如皮亚杰提出的同化与顺应，都基于内在的图式，而内在的图式即可视为对学习准备的强调但是，实践层面系统的研究却一直被我们忽视了。

下面以四个准备性学习的案例为载体来讨论数学教师在教学实践中，通过改善学生的学习准备，来提高群体学习质量的可能。

案例一：帮助学生积累、整理与改造经验。

学生的经验与纯粹的知识之间的关系是一个十分值得教师去研究的领域，这种研究可以对学习过程中许多令人迷惑的问题做出回答。

数学知识的起始学习应该植根于学生的经验之中，这已是教师们的共识。但是，我们却很少去关注学生个体在经验获得上的差别。而且个体所获得的经验质量也是参差不齐的。形成经验差别的原因主要有两个：生活经历与学生在经历中的悟性。因为学生的经验有所差别，形成了数学学习的不同起点，从而导致数学学习的不同结果。

因此，在学习纯粹的数学知识之前，分析该数学知识所依赖的经验，并通过一定的教学方式，使班级学生能够在经验层面上达到大致相同的可接受水平，这对于群体学习是十分重要的。

课例：“半个”和“一半”教学目的：激活学生生活中关于分数的经验，引导学生由生活中的分敷语言向科学的分数语言发展。

学具准备：一张圆形纸片教学过程：

环节一：“半个”的研究

问题（1）你见过“半个”东西吗？在哪里看到的？

（目的：激活“半个”的经验。）

问题（2）“半个”和“小半个”、“大半个”有什么不同？

（目的：提炼经验中关于“半个”、“平均”的体验。）

问题（3）你能用例子来证明你得到的一定是半个而不是小半个吗？

（目的：用圆形纸片对折，强化平均体验。）

环节二：“一半”的研究

问题（1）你认为“一半"和“半个”是同一回事吗？

（目的：了解学生关于“一半”与“半个”的生活认识。）

问题（2）请你举一个例子说拿出了“一半”。

[目的：体会必须说清楚，拿出谁（单位“1”）的一半？]

问题（3）请你举一个例子说说“一半”和“半个”有什么地方不同。

（目的：体会分率与量的区别。）

问题（4）你能说说“一半”和“半个”有什么共同之处吗？

（目的：体会并抽象出认识：都是平均分成两份得来的。）

环节三：课堂小结

经验是介于纯粹的生活与科学的知识之间的一种认识，对分数这一概念而言，可做如下分析：

纯粹的生活经历

典型场景：分西瓜（分月饼）

经验

典型描述：半个（小半个）

科学的概念认识

典型陈述：把“1”平均分成两份，取其中的一份是二分之一

从上述分析可以看出，支撑学生理解分数概念的不是分西瓜或分月饼这一情景本身，而是由这一情景激起的经验。但这一事实，却在学生的学习过程中被忽视了，或者说被我们省略了。这种省略既表现在教材设计上，也表现在教师的课堂教学中，所以，学生在学习这一内容时，往往是从切分的生活情景直接跳跃到纯粹的概念，这个跳跃过程掩盖了学生经验上的差别，这种经验上的差别必然表现为科学概念获得，上的差别。

需要特别指出的是，经验的获得是纯个人的，具有很强的随机性。悟性高的学生会比较快地从经历中获得经验，且获得的经验具有一定的抽象水平，具有学习性。悟性低的学生会仅停留于事件本身，沒有获得经验或所获得的经验抽象水平低，不能成为支撑学生个体接受科学概念的内在结构。

在数学学习中，出现问题的首先是这些悟性低的学生，由于悟性（或经历本身）的差别，在新知识的学习中，他们已经处于一个不均衡的起点，即悟性高的学生是不自觉地从经验水平到科学概念水平，而悟性欠缺的学生是被迫从事件本身直接接受科学概念的学习，因此，他们的理解会不深刻、不全面，他们需要死记硬背。

可以认为，如果有这么一个过程，让小学生们在事件的经历中讨论他们所获得的经验，把学生们原本不自觉的、自生自灭的经验获得，以一种课堂讨论的方式予以呈现，让所有学生意识到经验获得之间的差别，并同时意识到在一个事件的经历过程中，是有学向可以感悟的，在此基础上培养学生的经验获得能力与经验的改造能力，使群体中学生个体的经验处于基本类似的水平上，对于学生科学概念的获得具有重要意义。

案例二：帮助学生建立、转换与使用数学语言。

语言是思维的工具，数学学习的质量不高与数学语言的建立与使用的熟练水平有密切联系。数学语言的建立与使用需要进行专门的学习与训练。当然，大而言之，每一节数学课学生都是在学习或建立数学语言，语言学习是逐渐丰满完善的。但是一些帮助学生思考的语言工具如线段图、树形图等，则需要有专门的课程。

课例：线段图

教学目的：认识线段困，学会用线段困帮助思考问题。

教学过程：

环节一：展现线段图的抽象过程

问题（1）生活语言：有3只小鸟，这句话可以用什么符号来表示？

符号表示一

符号表示二

符号表示三

符号表示四

（目的：展现符号由具象到抽象的过程，使学生体会线段图表示数量的功能。）

问题（2）生活语言：自行车比小汽车多2辆，你可以用怎样的符号来表示？

符号表示一

符号表示二

符号表示三

问题（3）你认为用哪种符号来表示更好？

（目的：线段可以表示更多数量，更简洁、明了。）

环节二：练习认识线段图

练习（1）请用线段困表示下列生活语言。

①鸡和鸭一共50只。

……

练习（2）请用语言陈述下列线段围所表达的意义。

①鸡

鸭

……

环节三：进一步学习线段图案例三：帮助学生体验、感悟与表达数学思想。

一个正常的学童，在小学数学学习中碰到的第一个困难往往与“比较”连在一起，可以说，“比较”这一数学思想贯穿了小学生数学学习的始终，这一条贯彻始终的线可以简单地罗列为下列几个典型句式：

第一阶段：口和口一样多。

1、2年级口比口多（少）几。

第二阶段：口是口的几倍。

3、4年级口比口的几倍多（少）几。

第三阶段：口是口的几分之几。

5、6年级口比口多（少）几分之几。

从学生的发展来看，如果在1、2年级时没搞清楚的，那么后续的学习会一直发生错误。针对学生的困难，教师必须思考这样一个问题：即支撑学生理解“比较”的内在结构是什么？笔者认为是一种被称之为“对应”的数学思想。

在小学三年级，有学生在解答应用题“已知3小时行驶150千米，照这样计算，那么4小时应行驶多少千米”时，会出现这样的列式：150÷4x3，究其原因，就是对应思想缺乏或不成熟，对识别信息不能自动地对应处理，导致数学认知的混乱。

因此，在小学起始阶段，数学教师应该去关注或有意培养学生的对应思想、守恒思想、互逆思想等。

小学数学第一册第一节内容是“数数”，第二节内容是“比较”，这两个材料其实就是用来观察学生对应思想的成熟水平的，并根据学生实际水平，有目的地让学生做一些关于一一对应的练习与游戏，是一个十分有意义的准备性材料。

课例：数一数比一比（一年级）教学目的：培养学生一一对应的数学思想。

教学准备：围棋子若干教学过程：

环节一：数数（一个一个数）（要求学生用手指点物并报数，了解学生数数中对应思想的发展。）

环节二：数数（几个几个数）（目的：从一个一个对应，到一组一组对应。）

环节三：比较两堆棋子

材料1：

问：白子黑子谁更多？

材料2：

问：白子黑子谁更多？

（目的：运用对应进行比较。）

环节四：听故事，说出谁家的人比较多（略）

（目的：将故事中的人对应到某家之下，培养学生的对应能力。）

案例四：培养学生的思维要素并达到熟练运用。

新课程提倡探究学习，老师们在运用探究学习法的时候都认为很好，可是实践起来比较困难，因为探究很费时间，影响教学进度，使得这样一种有意义、有价值的学习方式未能很好地为学生的学习服务。那么，有没有办法能够使探究学习省时间呢？有，就是通过系统的课程，培养学生的思维要素，如怎样观察、如何分类、抽象联结等。一个学生有了良好的思维要素，探究活动就会变得有效率。

比如培养学生的联结能力，可以参考美国的OM头脑训练方法。课例：联结能力的培养

材料：把（）和（）联结起来规则：（1）评分：一般回答得2分，有创意回答得5分；（2）不得重复。

操作办法：短时间地经常练习。效果：以五年级两个班为比较对象，A班从三年级开始就经常开展类似的思维要素的训练，B班从未开展过类似的训练。测试材料相同，即“一水池单开进水管12小时放满，单开出水管15小时放完，如果同时打开进水管与出水管，问几小时可以把水池放滿？”

有人说在生活中是不可能出现同时打开进出水管这样的情景的，你认为这种情况会出现吗？

学生答案整理：

从两个班的回答中不难发现，A班通过思维要素的训练，其联结与抽象的能力已非常突出，他们可以透过具体的形式进入最为重要的本质，思考的质量很高。B班因为没有进行过类似的思维要素的训练，就一直拘泥于形，以“忘记"来作解释。

从这样的事例中也可以看出，准备课的准备性也许在上准备课的时候，并不能马上看出这节准备课对于学生的学习有什么帮助，但长远来看，这些准备课将深深地影响学生的学习能力与思考质量。

学生的数学学习离不开学生的生活经验。在新教材中，有许多关于经历活动、积累经验的材料，比如“认识物体”，让学生看一看，摸一摸，滚一滚，这个过程中虽然没有对圆柱体下科学定义，但学生从中感悟的经验对学生在六年级时学习圆柱体，无疑是十分有益的再比如“认识物体"，比如“平移”“旋转”等课程，都使学生积累了有益于理解数学概念与问题情境的经验。

三、数学准备课充满创造性和人文关怀。

准备课，顾名思义，是以学习准备为目的的课，即帮助学习主体具备知识学习所要求的一些条件，提高学习质量而设计的课。就广义而言，小学数学的每一节课都是后续学习的准备课。但本文所探讨的是狭义的数学准备课，它通常是指为提高数学显性知识的学习质量而进行的，指向经验、思维要素、学习品质、数学语言等内容的课堂学习。

准备课涉及的多半是隐性知识（如内在经验、内隐图式、习惯、思维品质、思维要素等），作为显性知识的支撑部分在起作用，它所取得的效果往往难以像显性知识那样及时检测出来。但是，它又的确是教师为使国家课程能为学生所接受而进行的创造性工作的一部分，是十分值得为之努力的一个领域。我们知道，一门学科课程，课程开发者多从学科知识的系统性来考虑问题，这些问题可以表现为由简人繁、由浅人深、由易入难等。而数学准备课则强调了人的状况，即从人的可接受性来思考问题，完全是基于学生的学习能力而进行的。这是对人深入灵魂的学习关怀；是以教师的实际行动来帮助每一个学生获得学习的成功，获得课堂生活的自信，从而在真正意义上实现教育发展的公平与教育质量的均衡。

四、小学数学准备课的类型。

按照不同分类标准，小学数学准备课呈现不同的类型。

1.按学生的学习材料分类。（1）经验类。

这一类准备课程主要帮助学生积累更多的经验，让学生有充分的感性认识，并在此基础上进行经验整理，使之调整到适宜学习的状态上来。

就数学学习而言，有助于数学学习的经验包括：

程序的经验：这种经验源自生活中的行动，比如分苹果，呈现一个先后的程序性的聚合与分散的过程，在这一过程中获取的经验成为学生理解加、减、乘除运算方式的基础。

情景的经验：学生对应用题的理解程度与学生对情景的熟悉水平具有相关性。如果学生熟悉某一问题的情景，就能够以一种亲切而有信心的情绪状态进行思考，反之，学生就会如同进入一个陌生地带，以一种略带紧张的情绪状态进行思考，从而影响思考的质量。

关系的经验：能否在数与数、量与量之间建立正确的关系，是影响小学生数学学习质量的一个重要因素，这些建立关系的能力取决于小学生有关关系的经验，比如学生，的购物经验，能够使他们比较容易地建立起单价与数量的相乘关系。

空间的经验：以从上下、左右、前后、内外开始建立起来的方位经验为基础，学生在空间方面所获得的经验对形体知识的理解具有十分重要的意义。

其他相关经验：比如度量、对声音的感受，等等。

（2）语言类。

这一类准备课主要帮助学生体会数学语言与生活语言的差别，并学会利用数学语言进行思考，试着用数学语言进行表达。在小学数学中，学生们接触到的数学语言主要包括图形、数字、字母、关系式等。（3）数学思想类。

数学思考往往建筑于某些特定数学思想的成熟，比如一一对应、守恒、互逆等，在这些数学思想发展不成熟的情况下，需设计相应的课程帮助学生尽快理解这些数学思想，并使之成熟。

（4）学习方法类。

主要向学生讲授一些关于学习方法的知识，培养一些习惯，对学习心理形成初步的认识，发展学生的认知能力。

2.按教师材料的组织分类。（1）新课程的教材提供的再创型准备课。

新课程的教材已经有许多用于学习准备的材料，这些材料需要老师进行合理的再创造，实现其关于学习准备的意义。下面，我们以人教版小学数学教材为例，来看看其中为学习准备提供的材料。

与旧教材相比，新教材有了许多具有准备意义的内容，是教师着手研究学习准备的好材料。就小学数学教材来看，这种材料以一、三年级为最多，二年级其次，这是符合小学生数学认知规律的，数学老师应当很好地认识这种规律。下面，我们以“时间”为主题进行新旧教材的分析：

渐教版小学数学关于“时间”的学习安排在三年级上册（第五册），以“时、分、秒的认识”为课题，从认识钟面到时、分、秒的進率安排了两个课时。

在人教版新教材中，关于“时间”的认识，预先分别安排了一年级（上）“认识钟表”和一年级（下）“认识时间”两个准备性材料，这两个材料均处于生活经验层面，目的是将模糊的自觉性经验凸显为公共性经验，为进一步学习时、分、秒做好准备。

（2）教师根据学生实际原创的准备课程。

学习是一种共性行为，同时也是个性行为，学习过程中出现的随机问题，需要教师及时解决，这就要求教师本人进行原创性的课程开发，可以依据前面论述的不同分类进行相应的设计。

另外，值得一提的是，准备课有多种表现形式，有呈现为复习课的，有呈现为新授课之中复习环节的，有呈现为数学游戏的，有呈现为数学参观活动的，有呈现为针对某一经验而专门设计成课堂学习形态的，等等，不一而足。数学准备课的多样性使得小学生的数学学习成为一个持续的过程，成为一个与学生生活始终连接在一起的整体。

在研究的过程中发现，小学数学准备课的作用是明显的，主要有两点：一是给老师提供了一条新思路，当学生学习发生困难时，回到知识经验的源头去，而不是在末端与学生纠缠不清；二是对学生学习质量的影响是久远而深刻的。