感受小学数学思想的力量

张景中

小学生学的数学很初等，很简单。

尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。

函数思想最重要

最重要的，首推函数的思想。

比如说加法，2和3加起来等于5，这个答案“5”是唯一确定的，写成数学式子就是2+3=5；如果把左端的3变成4，右端的5就变成6，把左端的2变成7，右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里，数量之间的确定性关系叫做函數关系。加法实际上是一个函数，由两个数确定一个数，是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了，右端的和就被另一个数确定，就成了一元函数。

在中学里学习函数概念，只讲一元函数，以为多元函数复杂，不肯讲。其实，小学生先熟悉的是多元函数，因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽，是二元函数；梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2，是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念，不妨一开始就讲多元函数；具体研究，再从一元函数开始，这样比只讲一元函数更容易理解。

当然，不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想，在教学过程中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生数学素质的发展就有好处。

比如学乘法，九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上包含了变量和函数的思想：3变成4，对应的21就变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数，而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单，小学生往往想不到，要靠老师指点。挖掘九九表里的规律，把枯燥的死记硬背变成有趣的思考，不仅是教给学生学习方法，也是在渗透变量和函数的数学思想。

做除法要试商。80除以13，商是多少？试商5余15，不够；试商6余2，可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程，就是调整函数的自变量，使函数值满足一定条件的过程。

小学数学里有很多应用题，解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下，用一个思想来解各种各样的题目呢？试商的思想，其实有普遍意义，可以用来求解许多不同类型的问题，包括应用问题，只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。

例如，修一条长32千米的公路，已经修了24千米，已修的路程是剩下的几倍？我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍，剩下的是24千米，总长48千米，比题设数据大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，总长36千米，仍比题设数据大；3倍呢，剩下8千米，总长32千米，正好符合要求。

我想很多老师不会这样引导学生思考，认为这是个笨办法。其实，这个办法具有一般性，把试解的倍数看成自变量，把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数，找寻使函数值符合题目要求的自变量，这个思路能解决很多问题，是“大智若愚”。

这样思考试算，最终也会发现具体的规律，列出通常的算式。

找寻使函数值符合一定要求的自变量，也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数，减法是解对应的方程；乘法看成函数，除法就是解对应的方程。

函数思想和方程的方法，是一个事物的两面，都是大智慧，贯穿数学的所有领域。

“数形结合”在小学是可能的

数学要研究的东西，基本上是数量关系和空间形式。当然，发展到今天，还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式，甚至于一般关系的形式和一般形式的关系，等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系，是值得研究的问题。

提到数形结合，往往觉得是解析几何的事情。其实，数和形的联系，几乎处处都有。

在数学当中，几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念，最初都是从几何中来的。所以有人说，几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形，而且还需要推理，推理就要使用语言，所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候，往往是学数的时候就讲数，到了学几何的时候就讲几何，缺少把两者联系起来的意识。

例如，有一套教材开始就让学生玩积木，也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活，比数更贴近生活，是更基本的东西，这是教材的优点。但是，如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的，还让他们数一数某块积木有几个尖（顶点）、几个棱、几个面，就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

在认识数的时候，要举很多的例子，如一个苹果、一只小白兔等。我就想，在举例的时候能不能照顾到几何？比如学生在学习“1”的时候，就要学生用“1”来造句，书上可不可以有一些关于几何的句子？如“1个圆有1个圆心”、“1条线段有1个中点”、“1个正方形有1个中心”等。有的老师会说，这样不行，学生不能理解。我想，可以画图帮助学生理解，学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解，而是通过模仿开始的，如果在学数的时候，能举一些几何上的例子，这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样，在学习“2”的时候，我们可以教学生说：“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段，只要画一条线段，指出两头是端点。到后来学几何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早已经会说了。在学“3”的时候，可以画一个三角形，让学生说“三角形有3条边、3个顶点”；学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“正方形有4条边、4个顶点”；学“5”的时候，可以画个五角星；认识“10”的时候，除了10个指头，不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段（图1）；学到100以内的数，就可以告诉学生正方形的角是90度，等等。小孩子记忆力好，早点记一些东西，以后再慢慢理解。

在中国古代的私塾里，学生入学后往往先让他们背几个月，甚至一年，然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式，但是也并非没有可取之处。学生已经会背了，再讲的时候，他印象就非常深刻了。我们讲建构主义，先要有信息进去才能建构，一个人闭目塞听，不和外界接触，是很难建构出东西来的。

总之，几何语言的早期渗透可不可能，值得研究。

形与数的结合，还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美，美国数学教育家克莱因有过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢？在小学阶段，可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子，这里有一些美丽的图案（图2）：

你能想到，这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗？

这条曲线其实很简单，如图3，用“超级画板”※软件画一个圆，圆上取3点A、B、C，在弦AB上取点G，再在线段CG上取点H，利用软件的轨迹作图功能，作出3点A、B、C在圆周上运动时点H的轨迹，并把3点运动速度的比值分别设置为k、m、n的整数部分，做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点G、H的位置，就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件，让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中，数学之美会渗入幼小的心灵。

一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件，孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天，就不想上网打游戏了。不到一个星期，就对超级画板上了瘾，很快学会了从屏幕上截取图片，把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。

数形结合的思想，不仅是上面这些简单的例子，下面还会谈到。

寓理于算的思想容易被忽视

小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。

中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法，不像古希腊讲究推理论证。但是，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想。

数学活动中的画图和推理，归根结底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子，让学生慢慢体会到所谓推理，本来是计算；到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理了。有的人认为几何推理很难，学几何一定要先学实验几何。其实，实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理，后期学会推理时也需要实验。所谓实验，无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题，实际上就是通过一个算式证出来的，这里的推理证明就是计算。

要把计算提升为推理，就要用一般的文字代替特殊的数字，再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长×宽”的时候，不妨告诉学生，这个公式可以用字母表示成M=C×K。这里用了面积、长、宽的汉语拼音，学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。

为什么说这样能把计算提升为推理呢？看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h，而b边上的高为g，根据三角形面积公式，就知道a×h=b×g；如果a=b，则h=g。这就推出了一条规律：如果三角形的两条边相等，则此两边上的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。

小学生学的是很初等的數学，但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过，“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”，“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一”，“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代，连孩子们都容易理解”。这几句话，我觉得非常亲切，因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点，把难的变成容易的，把高等的变成初等的。我想，高等的与初等的数学之间，没有必然的鸿沟，主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来，往往能够化难为易，化繁为简。

人们以前认为三角函数是非常难学的，是高等数学的内容。它既不是加减乘除，又不是开方，它是超越函数。在数学史上，函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函数都是算术运算的结果，就算没有函数的概念，学生也是比较容易理解的。三角函数则不然，一定要有“对应”的概念，函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年，我在新疆教过中学，那时发现学生学习三角比较困难，就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里（《平面三角解题新思路》，1997，中国少年儿童出版社）讲了这方面的具体想法。最近发现，三角不但可以变得很初等、很容易，而且可以成为初中数学的一条主线，把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章（《下放三角全局皆活》，《数学通报》，2007年1-2期）。张奠宙先生说，按我的这种思路，三角里的正弦函数，可以在小学里引进。如何引进呢？他把我提出的正弦函数的新的定义方法，作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章：

矩形用单位正方形去度量，结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求？自然是用单位菱形，同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积，再乘上单位菱形面积的因子”，原理完全相同。一个明显的事实是：单位正方形压扁了，成为单位菱形，两者的区别在于角A。A是直角，面积为1，A不是直角，面积就要打折扣。这个折扣是一个小数，和A有关，记作sinA（图5）。

张奠宙先生还说：“如果能从小学就学sinA，当然是一次解放。”

我们看到，数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质，就能把难的变成容易的，把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”，变得“孩子们都容易理解”。

不考虑矩形面积公式，不用单位菱形，也能在小学里讲正弦。怎么讲？先问，一个等腰直角三角形，如果腰长为1，面积是多少呢？学生容易回答，是0.5。进一步探索，如果这个等腰三角形的顶角不是90度，比如是60度，它的面积是多少呢？学生从图上会看到，90度变成60度，面积会变小，要打个折扣。多大的折扣呢？这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家，这个折扣的更精确的数值，可以在计算器或计算机上查出来，它叫做sin（60°），约等于0.8667，这就引进了正弦函数。知道了正弦函数，就能解决许多实际的几何问题。如果问，这个0.8667怎么得来的，就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识，更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。

这里，既有数形结合，又有寓理于算，还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗？这就是非常有意义的探索问题，它给学生留下很大的思考空间，会使学生长远获益。

陈省身先生說过，数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学；不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说，方程就是好的数学。

函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想，都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了sinA，用这个概念解决几个看来很困难的问题（参看前引文章和书），学生会惊奇，为何能如此简捷地解决问题？学下去，过三年五年，他就体会到，是数学思想的力量。

注释：※该软件可以从网站http：www.maths-edu.net

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