一般状态下悬链线方程的应用

武汉理工大学 交通学院 武汉 430063

工程船舶在海上定位时既要考虑风、浪、流载荷的影响，还要充分考虑施工区域的水深、周围环境及障碍物的影响。船舶设计者一般都是按照舾装数来确定锚、及系泊设备。然而,对于许多工程船并不是简单在锚地抛锚,而必须在规定的工地、特定的海况下进行抛锚或作业。对于该类型的工程船,用抓持力法来确定锚泊链的链长和链径。

1 建立方程

在抛锚过程中，出链长度相对水深不够充分时，在船舶运动或者受到外力作用下，锚干会仰起一个角度，这个角度成为起锚角，它会使锚的抓力系数减小。

所以，为了锚泊安全，一般都使一段锚链卧底，以保证锚干平贴水底，充分发挥抓底能力，并产生锚链抓力，增加锚泊力。对于用链索泊碇的浮船坞，由于受水域限制，锚不能抛得太远，而采用沉石，这时就会有一定的上拔力。将有起锚角情况下的悬链线方程作为研究对象，有锚链卧底是其特例。

1.1 建立平面直角坐标系

如图1所示，设水底是水平的，水深为h，锚链固定于o点。设锚链位于一垂直平面内，不考虑锚链的三维变形；水流没有垂直分量，水平流速也位于锚链所在平面内，且流速大小恒定，不随水深变化。设o点处锚链的张力为T0，力的作用线与x轴成α角，其水平分力记为R；系船处张力为T1,其力的作用线与水平方向的夹角记为β，T1在水平方向上的分力即为船舶的锚泊力。锚链单位长度在水中的重量为q，水面上的部分链长度较短，其单位长度自重近似为q，悬链线部分长度为L。在有锚链卧底的情况下，既在悬链线方程特例情况下，该坐标系原点相当于是建立在卧底直线和悬链线的分界处[1]。

图1 悬链线坐标

1.2 建立受力平衡方程式及求解微分方程

图2 悬链线微元受力

任取悬链线部分长度为ΔL的微元，其受力如图2所示[2，3]。两端张力T和T+ΔT,其作用线与x轴成θ角，水中自重为qΔL。张力T+ΔT为L的连续函数，在x、y轴上的投影也为连续函数，把两个投影分别展开成泰勒级数，并略去二阶微量后，可得到张力T+ΔT在x轴上的投影为：

在y轴上的投影为：

可微元受力平衡方程式为：

(1)

q·ΔL=0

(2)

由(1)、(2)式可得如下微分方程

(3)

由图1还有以下关系式

y(0)=0

(4)

y′(0)=tanθ

(5)

由(4)、(5)两个边界条件求解微分方程(3)可得一般状态下的悬链线方程

(6)

对dL积分便可得到悬链线的长度，且

L(0)=0

(7)

悬链线的张力T和有起锚角情况下的上拔力的F的表达式为：

(8)

F=R·tanα

(9)

当α=0时，悬链线方程、悬链线长、悬链线张力分别可以简化为：

(10)

(11)

(12)

2 应用

2.1 船舶资料

某海上工程船主要用于海岸港口工程建设打桩。工作航区为沿海和长江A、B级航区，调遣航区为近海航区。按中国海事局“海船法定检验技术规则”(2004年)规定的沿海、近海航区要求进行设计、改建。

2.2 作业海况

最大作业时风力：蒲福氏6级风。

最大作业时波高：1.20 m。

最大作业时水流速度：2.5 m/s。

抗风能力：蒲福氏10级风以下，采用就地倒架锚泊抗风形式。

作业水深：打桩作业水深适用范围较广，从最小水深2.50 m到最大作业水深12.50 m。(此时泥面标高-8.5 m，潮位+4.0 m)

所有计算通过VB完成。首先计算外力，包括风阻力、水流阻力和波浪漂流阻力,见图3～5。

图3 风阻力计算

图4 水流阻力计算

图5 波浪漂流阻力计

风阻力R1为[4]：

水流阻力R2为[4]：

波浪漂流阻力R3为[1]：

运用悬链线方程计算锚链参数，方程求解利用牛顿迭代法，求解过程由VB程序完成。

试取锚链AM2-φ48 ,破断力1 270 kN，链重0.051 7 t/m。

计算抛锚工况为水深h=12.5 m，要求抛锚后不对锚产生上拔力，确定悬链参数。根据已知条件，通过VB程序得到计算结果见图6。

图6 悬链参数计

根据计算结果知道，本例中锚链的安全系数n=3.2，如果需要安全系数再大一点，可以重新选择锚链再次计算。本次试取的锚链符合规范要求，不需要再进行计算。实际抛出的锚链长度可以根据计算得到的悬链长和需要的卧底长度以及锚链舱底到锚链筒口的链长确定，即：实际抛出的锚链长度等于悬链长、卧底长和锚链舱底到锚链筒口的链长三者之和。根据计算得出的外力确定该工程船舶需要的锚，取锚的抓重比为7(与海底地质有关)，可得到锚的重量G为：

实取6 000 kg斯贝克锚。

航工桩9实际选取的锚泊设备为：斯贝克锚9只，每只锚重6 000 kg，设AM3 66 锚链1根，长度为11节，锚索8根，与锚链衔接。

通过抓持力法计算得到该船的锚泊设备与实际选用的锚泊设备基本相符和，差别的原因在于本例计算的状态是单点系泊，锚链的成分是单一成分。至于在多点系泊情况下各根锚链张力的分配以及单一锚链和复合锚索的经济性本例中未作考虑。总的来说，用抓持力法对工程船舶的锚泊设备进行选型是可行的。

3 结束语

在多数情况下，为安全起见，锚链都会有一段卧底，以增加系泊力，从而用到(10)、(11)、(12)这些表达式，但是在特殊情况下(6)、(7)、(8)也很有必要。

在悬链线方程的运用过程中，需要计算船舶所受到的外力，目前风力、流力的研究已经成熟，但是波浪力得计算目前还没有权威的经验公式，本文中波浪力的计算公式参照于“大力号”的波浪漂流阻力计算。工程船舶一般都是多点系泊，本文只是就单根锚链作了计算分析，各根锚链的张力分配问题尚未解决。

[1] 胡灵斌，唐 军.悬链线方程求解及其应用[J].船舶，2004(1)：18.

[2] 钟于祥.锚泊船舶出链长度及张力估算[J].淮阴工学院学报，2004，13(3)：3-4.

[3] 张养利，王连昌，李文潮，张改英.悬链线微分方程的另一种解法[J].第四军医大学学报，2001(1)：41.

[4] 李世谟.船舶阻力[M].北京：人民交通出版社，1989：112-113,158.