基于参数化概率盒模型的系统可靠性分析方法

摘要：针对机械系统存在的一类随机和认知不确定性混合的问题，提出一种基于参数化概率盒（probability box， p-box）模型的系统可靠性分析方法. 基于序列迭代解耦方法获得单失效模式的最小可靠度指标；针对随机与认知不确定性混合的多失效模式问题，建立基于参数化p-box不确定性的系统可靠性分析模型；考虑各失效模式之间的相关性，通过线性相关度分析方法计算得到各失效模式间的相关系数矩阵；提出串联系统和并联系统可靠性求解方法，与传统双层蒙特卡罗采样方法相比，本文方法具有较高的系统可靠性计算效率，能够满足实际工程需求.

关键词：参数化概率盒；可靠性；最大失效概率；多失效模式

中图分类号：TB114.3 文献标志码：A

实际工程中广泛存在着与环境载荷、物理特性、几何特性和边界条件等有关的各种不确定性［1］，针对机械结构不确定性的研究，人们多采用概率模型［2］、模糊模型［3］、非概率凸集模型［4］等来描述系统的不确定性，并根据各自的理论建立相应的可靠性分析方法. 然而，随机可靠性和模糊可靠性方法都是以概率为基础的，在样本数据不足或样本无法获得的情况下，则难以构建变量的概率分布函数. 非概率凸集模型虽然只需要不确定性变量的上下界限，并能在一定程度上解决概率方法无法解决的不确定性问题，但会导致过于保守的分析结果. 因此，鉴于概率模型和非概率凸集模型各自的优缺点，近年来发展出了一种新的可靠性分析模型—概率盒（p-box）模型［5-6］. 相比于概率模型和非概率凸集模型，p-box模型既不需要太多的样本点，也不会浪费相关的不确定性信息，即使在概率信息不充分的条件下也能构建由上下边界函数所构成的累积分布函数. 因此，p-box模型在结构可靠性分析领域具有重要的工程应用价值，并受到国内外研究人员的关注和重视.

目前，基于p-box模型的不确定性量化与可靠性分析研究已取得了一定的成果. Zhang等［7］提出了一种直接区间蒙特卡罗采样法，并将该方法应用于含p-box不确定变量的结构有限元分析. Xiao等［8］针对含参数化p-box不确定性的结构可靠性问题，开发了基于顶点分析的采样方法. Chen等［9］针对参数化pbox不确定均质材料结构-声场耦合系统的可靠性分析问题，提出了基于一阶矩阵分解摄动有限元的区间蒙特卡罗方法. Wei等［10］提出了扩展蒙特卡罗采样方法进行p-box 可靠性分析及全局敏感性分析.上述采样类可靠性分析方法往往需要大量重复的采样计算以获得可靠的计算结果. 为避免重复耗时的采样分析，提高p-box可靠性分析的计算效率，Cre⁃spo等［11］提出一种基于Bernstein多项式展开和区间算法的p-box可靠性分析方法，用于计算结构失效概率的变化范围. 刘鑫等［12］针对不确定因素对载人空降气囊座椅防护性能的影响，提出一种基于概率-概率盒混合模型的气囊座椅防护特性可靠性分析方法. 黄洪钟等［13］基于多变量函数降维技术和通用生成函数法则，提出p-box不确定性条件下机床主轴可靠性建模与分析方法. Wang 等［14］基于线性规划理论，提出一种结构p-box可靠性窄界限求解方法. 丁家满等［15］基于概率盒模型和笛卡儿运算法则，提出一种新的不确定性信息条件下系统可靠性分析方法. 项涌涌等［16］针对参数p-box不确定性情况的模型确认问题，提出面向响应准确度的模型确认方法.Liu等［17］基于最大熵准则，提出了一种p-box不确定性建模及混合可靠性分析方法. Zhang等［18］基于序列优化可靠性评估策略，提出了一种自适应Kriging参数化p-box可靠性优化设计方法. Xie等［19］针对非参数化概率盒的不确定性传播问题，提出了一种基于降维积分和最大熵的响应函数概率边界计算方法. Xiao等［20］提出了一种计算模型概率边界的协同区间拟蒙特卡罗方法. 但是实际工程结构往往复杂多样，通常涉及多种失效模式或者多个元件的失效状态，如航空发动机涡轮叶片的失效，可能同时存在蠕变、疲劳和磨损等失效模式，因此结构可靠性实际上是系统可靠性.

相比单一失效模式的可靠性问题，结构系统的可靠性问题通常十分复杂，对于含参数化p-box不确定性的结构可靠性问题目前已有少量研究［21-22］，主要是针对简单的线性失效模式. 然而在实际工程问题中，失效模式往往是多样相关且非线性的，直接假设线性失效模式则会导致较大的计算误差，故发展能解决非线性失效模式的含p-box不确定性的系统可靠性分析方法具有重要的工程意义.

本文用参数化p-box变量来表示系统中的随机与认知混合不确定参数，并提出了一种新的基于参数化p-box模型的系统可靠性分析方法，可以获得多个非线性失效模式下系统可靠度的区间. 首先，基于序列迭代解耦方法计算单个失效模式下的结构参数化p-box可靠度；再针对多失效模式问题，建立基于参数化p-box不确定性的系统可靠性分析模型；考虑各失效模式之间的相关性，通过线性相关度方法计算各失效模式间的相关系数；最后分别提出了串、并联系统可靠性计算方法. 3个数值算例表明，本文方法可以实现含参数化p-box不确定性的多个非线性失效模式下系统可靠度的计算，具有较高的计算效率和精度，能够满足工程需求.

1 单失效模式下系统可靠性分析

结构的可靠概率是一个与随机变量数目有关的高维积分，且极限状态方程通常是非线性函数，因此给实际工程的应用与分析带来了较多困难. 为了计算方便，研究者提出了多种计算方法，其中一阶可靠性方法［23］（the first order reliability method， FORM）因其方便有效性而得到广泛应用. 下面对其主要思想进行简单介绍.

若系统的输入为随机变量，且变量之间相互独立，则单失效模式下结构的失效概率为：

式中：Pr {⋅} 表示概率；g （X ） 为功能函数；X =（X1，X2，…，Xn ）表示n 维随机变量；fXi （xi ）是随机变量Xi 的概率密度函数，i = 1，2，…，n. FORM 方法可以简化式（1），近似求解结构的可靠度. 首先要对随机变量开展全概率变换，将原始空间中的随机向量X映射到标准正态空间中，得到新的标准正态向量U =（U1，U2，…，Un ）T，其映射关系为：

Ui = Φ-1[FXi （xi ） ] （2）

式中：FXi （⋅）为随机变量Xi 的累积分布函数；Φ-1 为标准正态变量累积分布函数的逆函数.可进一步获得如下功能函数映射表达式：

g （X） = g[T （X）] = G （U） （3）

式中：T （X ） 为转换函数. 如果随机变量Xi 累计分布函数FXi （xi ） 中存在区间值的分布参数向量θ =（θ1，θ2，…，θm ）T， m 为分布参数的数量，则变量Xi 的参数化p-box形式可以表示为：

F PXi = {FXi （xi，θ）：θ ∈ （θL，θU ）} （4）

式中：F PXi 的上标代表参数化的p-box；FXi （xi，θ ） 为其累计分布函数；上标 L 和 U 分别表示区间的下界和上界，在实际工程中通常采用区间估计方法获得分布参数的区间. 在式（2）全概率变换过程中，不可避免地将参数化p-box的参数θ 引入标准正态空间中的极限状态方程中，此时式（3）中的转换关系为：

g （X） = g[T （X，θ）] = G （U，θ） （5）

若没有θ 的存在，极限状态曲线映射到标准正态空间中能得到唯一的一条曲线及其唯一对应的可靠度指标β. 然而在p-box模型中，由于分布参数区间化，原空间中的功能函数映射到标准正态空间后构成的极限状态曲面不再是一条曲线，而是由两个边界面max θG （U，θ） = 0和min θG （U，θ） = 0构成的极限状态带［24］，如图1所示.

极限状态带的两条边界上最大概率点（mostprobable point， MPP）对应的β 不再是确定值，而是一个变化区间：

β = [ βL，βU ] （6）

式中：βL 为可靠性指标最小值；βU 为可靠性指标最大值.基于FORM方法，可构造如下两个优化问题［25］，获得上述极限状态带可靠度指标的上、下边界：

式（7）和式（8）为双层嵌套优化问题，可采用高效的序列迭代解耦方法［24，26］进行求解，每次迭代过程中依次进行概率分析和区间分析，经过多次迭代最终达到稳定解.

下面以求解最小可靠度指标βL 为例，给出详细的求解过程. 令第i 步迭代计算得到Ui 和θi，在下一步迭代计算中，固定区间分布参数向量θi，再利用改进的HL-RF迭代法，即iHL-RF［27］求得Ui + 1：

通过上述步骤多次迭代，假如满足Ui + 1 -Ui /Ui ≤ ε1且| G （Ui + 1，θi + 1 ）| ≤ ε2，其中εi （i = 1，2）为给定收敛误差，则迭代停止，获得最小可靠性指标βL = Ui + 1 ；否则，i = i + 1进入下一次迭代；根据pfmax = Φ（-βL ）求得最大失效概率. 同理，类似上述过程求解式（8），并由pfmin = Φ（-βU ）计算出最小失效概率. 在实际工程中，最大失效概率通常是人们最为关心和重视的指标，因此，本文后续将以最大失效概率来分析含参数化p-box不确定性的系统可靠性.

2 多失效模式下系统可靠性分析

第1节中可靠度计算方法解决了单一失效模式问题，但在实际工程中，结构的失效模式通常不止一个，如航空发动机涡轮叶片的失效，可能同时存在蠕变、疲劳和磨损等失效模式；各失效模式因受相同的输入载荷、几何和物理参数等因素影响而具有一定的相关性［28］. 实际上，系统可靠性模型一般可分为以下3类［29］：串联、并联和混联系统模型，如图2所示.

图2中，Bi （i=1，2，…，a1）和Bj （j=1，2，…，b1）分别为串联系统和并联系统中的失效模式.为方便后续理论推导，串联、并联和混联系统的失效概率可统一记为：

式中：a1和b1分别表示串联和并联单元数目，当a1=b1 = 1时，式（14）表示串联系统失效概率；当a1 gt; 1，b1 = 1时，式（14）表示并联系统失效概率；当a1 = 1，b1 gt; 1时，式（14）表示混联系统失效概率. 实际上，串联系统和并联系统是用来建立任何系统的两个基本系统，而在混联系统中，一般可将一个并联系统作为一个失效模式看待，并可以建立与其对应的功能函数，从而可将并联-串联系统可靠性简化为串联系统可靠性计算［30-31］，这里不再赘述.

计算含参数化p-box不确定性的系统可靠度的主要困难在于需要考虑存在区间分布参数向量的各失效模式之间的相关性.

2.1 多失效模式间的相关性分析

设含有参数化p-box不确定性的系统具有Ka 个失效模式，各失效模式对应的功能函数为：

gi （X ） = g （X1，X2，…，Xn ）， i = 1，2，…，Ka （15）

基于式（5），将式（15）进行全概率变换，得：

Zi = gi（X） = gi[T （U，θ）] = Gi （U，θ） （16）

为计算各功能函数之间的相关性，可在Zi 的最大概率点（U*，θ* ） 处固定区间分布参数向量θ*，将式（16）对随机向量U 进行一阶Taylor级数展开：

ZLi = ∇G i （U*，θ* ） （ β Li - αTU，iU ） （17）

式中：β Li 为对应于功能函数ZLi 的最小可靠度指标，可通过式（9）～式（13）求得；αTU，i 为第i 个失效模式的单位梯度向量，表示为：

由式（18）可进一步计算第i 个和第j 个功能函数间的相关系数［30］.

式中：Cov（ZLi，ZLj ）表示ZLi 和ZLj 的协方差；σZLi 和σZLj分别表示ZLi 和ZLj 的标准差.

2.2 串联系统可靠性求解

系统极限状态带边界如图3所示.分析含有参数化p-box不确定性的串联系统（包含a1 个失效模式），由于存在区间分布参数，原空间中的极限状态方程映射到标准正态空间后将生成极限状态曲面“带”，如图3（a）所示.

串联系统曲面带的下边界和上边界可分别表示为：

因此系统失效概率Pf为一区间，其边界可通过求解如下两个优化获得：

本算例考虑了单元1与单元2失效模式相关的并联系统结构可靠度指标. 悬臂梁可靠度指标如表2所示. 采用双层采样方法（double loop sampling，DLS）的计算结果作为参考解，表2中括号内的数为本文方法与DLS计算结果的相对误差. DLS内外层蒙特卡罗采样次数分别为105 次和103 次，由表2可知，本文获得的最小可靠度指标与DLS计算结果的偏差为1.17%.从计算效率来看，当对两单元的并联系统进行可靠度分析时，DLS对两功能函数的调用次数为2×108 次，而本文方法的调用次数为280次.综上所述，所提方法具有很高的系统可靠性计算精度和效率.

3.2 10 杆桁架

考虑10杆平面桁架结构［35］，如图5所示. 竖直杆和水平杆的长度均为L = 9.144 m，密度ρ =2 768 kg/m3，弹性模量E = 68 948 MPa. 该桁架左端固定，受到两个垂直力F1、F2 以及水平力F3 的作用.考虑13个不确定量，相应的分布类型及分布参数取值情况如表3 所示，其中杆件的横截面积Ai （i =1，2，…，10） 以及节点处所承受的外载荷F1、F2 和F3均为参数化p-box变量.

节点2处的垂直位移dy 不能超过允许值dy max =50 mm，最大应力发生在7杆，构件7的许用拉应力为σmax = 250 MPa，所以结构的功能函数可表示为：

g1（X ） = dy max - dy （X ） （36）

g2（X ） = σmax - σ （X ） （37）

根据平衡方程及兼容性方程，各杆的轴向力Ni， i = 1，2，…，10分别为：

最大位移dy 和构件7的许用应力σmax 分别如下：

式中：N 0i 由式（38）令F1 = F3 = 0，F2 = 1求得.

考虑双失效模式串联系统的10杆桁架结构可靠度指标，如表4所示，表4中括号内的数为本文方法与DLS计算结果的相对误差. 由表4可知，本文获得的考虑位移失效模式、杆7应力失效模式串联系统的最小可靠度指标与DLS 计算结果的偏差为1.54%. 此外，从计算效率来看，当对双失效模式系统进行可靠性分析时，DLS对两功能函数的调用次数为2×108 次，而本文方法的调用次数为198次，体现了本文方法具有很高的计算精度和效率.

3.3平板电脑

本算例考虑一个平板电脑的系统可靠性问题，如图6 所示，该平板电脑主要包括如下构件：后壳体、主板、前壳体、触摸屏、显示屏、支架、电池. 涉及如下3种极限工况：环境温度变化过程、自由跌落以及高温环境.

工况1：在环境温度变化过程（0～40 ℃）中，因各种材料热膨胀系数不一致而引起的热应力可能造成电子元器件失效，考虑电池的最大热应力Γ BA 不应超过额定值Γ0BA =24 MPa，以保证电池在使用过程中的安全性.

工况2：平板电脑在自由跌落的撞击过程中，触摸屏上的最大应力Γ TL 不应超过其材料的破裂强度Γ0TL = 900 MPa；自由跌落的高度设定为0.5 m，平板电脑正面向下进行撞击.

工况3：在高温环境下，平板电脑的工作温度设置45 ℃；主板上的芯片温度T CH 不能超过其许用的工作温度T0CH = 70 ℃.

平板电脑的不确定参数分布如表5所示，3种工况的有限元模型如图7所示，平板电脑的有限元模型信息如表6所示. 为提升效率，对各仿真模型分别采样60次用以建立二次响应面，平板电脑的功能函数响应面如表7所示.

表8为平板电脑可靠度指标.由表8可知，本文获得的考虑3种工况下失效模式串联的结构系统最小可靠度指标为2.432，与其DLS计算结果对比，相对误差为0.61%.此外，从计算效率来看，当对失效模式串联系统进行可靠度分析时，DLS方法对功能函数的调用次数为3×108次，而本文方法需要调用功能函数的次数为241次，体现了本文方法不仅能获得较精确的计算结果而且具有很高的效率.

4 结 论

本文针对含参数化p-box不确定性的结构系统问题，提出了一种有效的系统可靠性分析方法. 首先，基于序列迭代解耦方法获得单失效模式下结构的最小可靠度指标；然后建立了含参数化p-box不确定性的系统可靠性模型；考虑系统各失效模式之间的相关性，通过在最大可能失效点处固定区间分布参数并结合线性相关度方法计算各失效模式间的相关系数；最后提出了考虑参数化p-box不确定性的串联系统和并联系统可靠性计算方法. 本文方法能够处理一类存在随机和认知混合不确定性的复杂机械系统可靠性问题. 3个数值算例分析表明，通过对比传统双层蒙特卡罗采样方法的计算结果，本文方法具有较好的计算精度和效率.

参考文献

［1］ TANG J C，LI X，FU C M，et al． A possibility-based solutionframework for interval uncertainty-based design optimization［J］．Applied Mathematical Modelling，2024，125： 649-667．

［2］ LIU J F，JIANG C，LIU H B，et al． A time variant uncertaintypropagation method for high-dimensional dynamic structuralsystem via K–L expansion and Bayesian deep neural network［J］．Philosophical Transactions of the Royal Society A：Mathematical，Physical and Engineering Sciences，2023，381（2260）： 20220388．

［3］ 吕震宙，岳珠峰．模糊随机可靠性分析的统一模型［J］．力学学报，2004，36（5）：533-539．

LÜ Z Z， YUE Z F. Unified reliability model for fuzzinessand randomness of the basic variables and state variables instructure ［J］. Chinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics， 2004， 36（5）： 533-539．（in Chinese）

［4］ TANG J C，FU C M，MI C J，et al．An interval sequential linearprogramming for nonlinear robust optimization problems［J］．Applied Mathematical Modelling，2022，107：256-274．

［5］ LIU H B，JIANG C，XIAO Z． Efficient uncertainty propagationfor parameterized p-box using sparse-decomposition-basedpolynomial chaos expansion［J］．Mechanical Systems and SignalProcessing，2020，138：106589．

［6］ LIU H B，CHEN M，DU C，et al． A copula-based uncertaintypropagation method for structures with correlated parametric pboxes［J］．International Journal of Approximate Reasoning，2021，138：89-104．

［7］ ZHANG H，MULLEN R L，MUHANNA R L． Interval MonteCarlo methods for structural reliability［J］． Structural Safety，2010，32（3）：183-190．

［8］ XIAO Z，HAN X，JIANG C，et al． An efficient uncertaintypropagation method for parameterized probability boxes［J］．ActaMechanica，2016，227（3）：633-649．

［9］ CHEN N，YU D J，XIA B Z，et al． Uncertainty analysis of astructural-acoustic problem using imprecise probabilities basedon p-box representations［J］． Mechanical Systems and SignalProcessing，2016，80：45-57．

［10］ WEI P F，SONG J W，BI S F，et al． Non-intrusive stochasticanalysis with parameterized imprecise probability models：Ⅱ ．reliability and rare events analysis［J］． Mechanical Systems andSignal Processing，2019，126：227-247．

［11］ CRESPO L G，KENNY S P，GIESY D P． Reliability analysis ofpolynomial systems subject to p-box uncertainties ［J］ ．Mechanical Systems and Signal Processing，2013，37（1/2）：121-136．

［12］ 刘鑫，何泽波，周振华，等．基于概率-概率盒混合模型的气囊座椅防护特性可靠性分析方法［J］．机械工程学报， 2022，58（24）： 324-333．

LIU X，HE Z B，ZHOU Z H，et al．Hybrid reliability approach forairbag seat protection performance based on probability andprobability box models［J］． Journal of Mechanical Engineering，2022，58（24）： 324-333．（in Chinese）

［13］ 黄洪钟，刘征，米金华，等．混合不确定性下机床主轴可靠性建模与分析［J］．中国科学（物理学 力学 天文学），2018，48（1）：42-53．

HUANG H Z，LIU Z，MI J H，et al． Reliability modeling andanalysis of heavy-duty CNC machine tool spindle under hybriduncertainty ［J］. Scientia Sinica （Physica， Mechanica amp;Astronomica），2018，48（1）：42-53．（in Chinese）

［14］ WANG C， ZHANG H， BEER M. Computing tight bounds ofstructural reliability under imprecise probabilistic information［J］．Computers amp; Structures，2018，208：92-104．

［15］ 丁家满， 原琦， 任东磊， 等. 不确定性信息条件下系统可靠性分析［J］．仪器仪表学报，2019，40（4）：153-162．

DING J M，YUAN Q，REN D L，et al．System reliability analysisunder uncertain information［J］． Chinese Journal of ScientificInstrument，2019，40（4）：153-162．（in Chinese）

［16］ 项涌涌， 潘柏松， 罗路平， 等. 面向响应准确度的参数不确定性模型确认方法［J］. 中国机械工程， 2019， 30（7）： 811-817．

XIANG Y Y，PAN B S，LUO L P，et al． Validation method ofparameter uncertainty models for response accuracy［J］． ChinaMechanical Engineering， 2019， 30（7）： 811-817．（in Chinese）

［17］ LIU X，WANG X Y，XIE J，et al．Construction of probability boxmodel based on maximum entropy principle and correspondinghybrid reliability analysis approach ［J］. Structural andMultidisciplinary Optimization， 2020， 61（2）： 599-617．

［18］ ZHANG J H，GAO L，XIAO M，et al．An active learning Krigingassistedmethod for reliability-based design optimization underdistributional probability-box model ［J］. Structural andMultidisciplinary Optimization，2020，62（5）： 2341-2356．

［19］ XIE H C， LI J W， LIU H B，et al. An efficient uncertaintypropagation analysis method of non-parameterized P-boxesbased on dimension-reduction integral and maximum entropyestimation［J］. Structural and Multidisciplinary Optimization，2023， 66（12）： 258．

［20］ XIAO Z，ZHANG Q W，ZHANG Z，et al．A collaborative quasi-Monte Carlo uncertainty propagation analysis method for multipletypes of epistemic uncertainty quantified by probability boxes［J］．Structural and Multidisciplinary Optimization，2023，66（5）：109．

［21］ SALOMON J，WINNEWISSER N，WEI P F，et al． Efficientreliability analysis of complex systems in consideration ofimprecision［J］．Reliability Engineering amp; System Safety，2021，216： 107972．

［22］ FAES M G R，VALDEBENITO M A，MOENS D，et al．Operatornorm theory as an efficient tool to propagate hybrid uncertaintiesand calculate imprecise probabilities［J］． Mechanical Systemsand Signal Processing，2021，152：107482．

［23］ KARL B. Asymptotic approximations for multinormal integrals［J］．Journal of Engineering Mechanics， 1984， 110（3）： 357-366．

［24］ 刘海波，姜潮，郑静，等.含概率与区间混合不确定性的系统可靠性分析方法［J］. 力学学报， 2017， 49（2）： 456-466.

LIU H B， JIANG C， ZHENG J， et al. A system reliability methodfor structures with probability and interval mixed uncertainty［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2017，49（2）： 456-466.（ in Chinese）

［25］ JIANG C，LI W X，HAN X，et al． Structural reliability analysisbased on random distributions with interval parameters［J］．Computers amp; Structures， 2011， 89（23/24）： 2292-2302．

［26］ DU X P，SUDJIANTO A，HUANG B Q．Reliability-based designwith the mixture of random and interval variables［J］．Journal ofMechanical Design， 2005， 127（6）： 1068-1076．

［27］ ZHANG Y，KIUREGHIAN A． Two improved algorithms forreliability analysis［M］//Reliability and Optimization of StructuralSystems．Boston，MA：Springer US，1995：297-304．

［28］ 韩文钦，周金宇，孙奎洲．失效模式相关的机械结构可靠性的Copula分析方法［J］．中国机械工程， 2011， 22（3）： 278-282．

HAN W Q，ZHOU J Y，SUN K Z． Copula analysis of structuralsystems reliability with correlated failure mode［J］． ChinaMechanical Engineering， 2011， 22（3）： 278-282．（in Chinese）

［29］ ADDURI P R，PENMETSA R C． Bounds on structural systemreliability in the presence of interval variables［J］．Computers amp;Structures，2007，85（5/6）：320-329．

［30］ 张明. 结构可靠度分析：方法与程序［M］. 北京：科学出版社，2009： 130-136.

ZHANG M. Structural reliability analysis： methods andprocedures［M］. Beijing： Science Press， 2009：130-136. （inChinese）

［31］ 贡金鑫．工程结构可靠度计算方法［M］．大连：大连理工大学出版社，2003： 234-268．

GONG J X． Computational methods for reliability of engineeringstructures［M］． Dalian：Dalian University of Technology Press，2003： 234-268．（in Chinese）

［32］ GENZ A， TRINH G. Numerical computation of multivariatenormal probabilities using bivariate conditioning［J］. Journal ofComputational amp; Graphical Statistics， 1992， 1（2）： 141-149.

［33］ TANG L K，MELCHERS R E． Improved approximation formultinormal integral［J］．Structural Safety，1986，4（2）：81-93．

［34］ HU Z，DU X P． First order reliability method for time-variantproblems using series expansions ［J］. Structural andMultidisciplinary Optimization， 2015， 51（1）： 1-21．

［35］ GANZERLI S，PANTELIDES C P．Optimum structural design viaconvex model superposition［J］． Computers amp; Structures，2000，74（6）：639-647．

基金项目：国家自然科学基金资助项目（52205263， 51975577）， National Natural Science Foundation of China（52205263， 51975577）； 中国博士后科学基金资助项目（2021M690988），China Postdoctoral Science Foundation（2021M690988）