复杂网络上随机禽流感模型解的存在唯一性

摘 要：考虑到随机噪声及个体间的异质性对禽流感传播的影响，建立了复杂网络上具有标准Wiener过程影响的随机禽流感模型.应用算子半群理论研究了该模型解的适定性，证明了解的存在性、唯一性及它对初始条件的连续依赖性.

关键词：复杂网络;禽流感模型;存在性;唯一性

中图分类号：O231""""" 文献标志码：A文章编号：1000-2367（2025）02-0054-09

禽流感是一种由禽类传播的高致死性疾病，对禽类养殖业和人类健康造成了严重威胁.例如，2013年，禽流感H7N9首次在中国大陆爆发，有400多人被感染，死亡率接近40%^［1］.截至2019年，全球累计861人感染H5N1禽流感，其中死亡455人，死亡率超50%^［2］.禽流感病毒的广泛传播不仅严重威胁着公共安全，也给社会经济造成了损失.因此，关于禽流感问题的研究引起了相关领域学者的极大关注.例如CHONG等^［3］提出了一种具有半饱和性发病率的鸟-人耦合动态模型，研究了半饱和发病率对禽流感传播动力学的影响.LIU等^［4］构建了具有不同鸟类种群增长规律的鸟-人禽流感模型，讨论了模型的全局渐近稳定性.胡等^［5］建立了具有非线性发病率的禽流感模型，并对模型的稳定性进行了分析.

上述模型是基于常微分方程并假设个体间相互作用是同质的情况下建立的传染病模型.然而，禽类之间的接触以及禽类与人的接触在现实中明显是异质的^［6-8］.为了刻画空间异质性，许多学者建立了具有空间扩散的模型^［9-10］.另一方面，近年来复杂网络被广泛用于现实世界复杂系统的描述，它将复杂系统中的实体抽象成节点，将实体之间的关系抽象成连线.研究禽流感在复杂网络上的传播能更好地反映个体间接触的异质性.在传染病建模过程中，环境噪声也是一个不容忽视的重要因素^［11-12］.因此，本文引入空间扩散对传染病模型影响的同时考虑了环境噪声对死亡率的影响，建立了一个基于复杂网络理论和随机过程理论的禽流感模型，利用算子半群理论研究了该模型解的适定性，给出了解的存在性、唯一性及连续性的充分条件，所得到的结论是文献［4-5］的扩展.

1 模型构建及预备知识

设A和H为两个独立的网络，H由人组成，每个节点代表一个个体，两个个体之间的连接代表他们之间的直接接触.A由禽类组成，且有一个从子网A到子网A的连接.令X=A或H，假定所有参数均非负.

在文献［5］的模型中引入单向耦合网络，同时考虑到空间扩散对传染病传播、环境噪声对死亡率的影响，

收稿日期：2023-08-09;修回日期：2024-05-28.

基金项目：国家自然科学基金（12161068;12261069）;宁夏自然科学基金（2021AAC03065）.

作者简介：魏冬梅（1986-），女，陕西宝鸡人，宁夏大学新华学院讲师，研究方向为随机动力系统，E-mail：wdmei21@163.com.

通信作者：张启敏，E-mail：zhangqimin64@sina.com.

引用本文：魏冬梅，张启敏，任克国，等.复杂网络上随机禽流感模型解的存在唯一性［J］.河南师范大学学报（自然科学版），2025，53（2）：54-62.（Wei Dongmei，Zhang Qimin，Ren Keguo，et al.The existence and uniqueness of solution for stochastic avian influenza model on complex network［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2025，53（2）：54-62.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2023.08.09.0002.）

采用与文献［7］相同的方法引入空间扩散项，并在死亡率中加入随机扰动项，假设环境噪声分别与变量Sai，j，Iai，j，Shi，j和Ihi，j成正比，得到了如下复杂网络上具有空间扩散的随机禽流感模型（1）

Sai，j=（∑lk=1xk（DikSai，jxk）+Λa（x）-λa（i）Sai，jΘa1+α1Θa-μa（x）Sai，j）dt+σ1iSai，jdW1i（t），

Iai，j=（∑lk=1xk（DikIai，jxk）+λa（i）Sai，jΘa1+α1Θa-δa（x）Iai，j-μa（x）Iai，j）dt+σ2iIai，jdW2i（t），

Shi，j=（∑lk=1xk（GkjShi，jxk）+Λh（x）-λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah-λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh-μh（x）Shi，j）dt+σ3jShi，jdW3j（t），

Ihi，j=（∑lk=1xk（GkjIhi，jxk）+λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah+λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh-γh（x）Ihi，j-δh（x）Ihi，j-μh（x）Ihi，j）dt+σ4jIhi，jdW4j（t），（1）

Θa和Θh分别表示度为i的易感禽类节点与感染禽类节点接触概率及度为j的易感人类节点与感染人类节点接触概率;Θah表示度为j的易感人类节点与感染禽类节点接触概率;在度不相关的网络中记：

Θa（t，Ii，ja）∶＝1〈k〉a∑ni=1ipa（i，·）Iai，j（t）;Θah（t，Iai，j）∶＝1〈k〉ah∑nj=1jpa（·，j）Iai，j（t）;

Θh（t，Ihi，j）∶＝1〈k〉h∑nj=1jpb（·，j）Ihi，j（t），

11+α1Θa表示禽类的饱和效应;λa（i）Sai，jΘa1+α1Θa表示对人的心理影响.SXi，j为子网X上（i，j）的易感节点数;IXi，j为子网X上（i，j）的感染节点数;Rhi，j为子网X上（i，j）的恢复节点数;pX（i，j）=Nai，jNa为子网X上任意节点（i，j）的概率;p a（i，·）=∑nj=1pa（i，j）和pa（·，j）=∑ni=1pa（i，j）均为子网A的边界度分布;pb（·，j）=∑nj=1pb（i，j）为子网H的边界度分布;〈k〉a=∑ni=1ipa（i，·）为子网A中连接到子网A的节点的平均度;〈k〉ah=∑nj=1jpa（·，j）为子网A中连接到子网H的节点的平均度;〈k〉h=∑nj=1jpb（·，j）为子网H中连接到子网H的节点的平均度;λa（i）=λai表示度为i的禽类对禽类的传播率;λah（j）=λahj表示度为j的禽类对人的传播率;λh（j）=λahj表示度为j的人与人之间的传播率.Wki（t）和Wkj（t）（k=1，2）定义在完备概率空间（D，F，P，｛Ft｝t0），且相互独立的标准Wiener过程;σ=（σ1i，σ2i，σ3j，σ4j）^T是定义在H=L2（Ω）上的非线性算子.

在文中若无特殊说明记：U（t，x）∶＝（Sai，j（t，x），Iai，j（t，x），Shi，j（t，x），Ihi，j（t，x））^T=（Sai，j，Iai，j，Shi，j，Ihi，j）^T，x=（x1，x2，…， xl）^T，其中，x∈ΩRl，Ω=｛x||xk|Lk｝，Lk为常数，k=1，2，…， l;Dik∶＝Dik（t，x）＞0，Gkj∶＝ Gkj（t，x）＞0表示转移扩散算子.

Λa（x），Λh（x），μa（x），μh（x），δa（x），δh（x），γh（x）是定义在上的正Hlder连续函数.初值条件为（x）=（1i（x），2i（x），3j（x），4j（x））^T，i，j=1，2，…，n，（x）∈R⁴ⁿ+，其中，R⁴ⁿ+=｛x∈R：x0｝.对x∈Ω，令X（t，x）=Sai，j（t，x）、Iai，j（t，x）、Shi，j（t，x）或Ihi，j（t，x）满足齐次Neumann边界条件，

X（t，x）n=（X（t，x）x1，X（t，x）x2，…，X（t，x）xl）^T=0，t＞0，x∈Ω，（2）

Ω是Rl中的一个有界光滑域;Ω和分别是Ω的边界和闭包;n是Ω的外法向量.令X∶＝C（R⁴ⁿ，）为Banach空间，其上确界范数为‖·‖；X+∶＝C（R⁴ⁿ+，）.

设A∶D（A）H→H是由下式定义的线性算子，

A" 1i（x） 2i（x）3j（x）4j（x）= ∑lk=1xk（Dik1ixk）-μa1i

∑lk=1xk（Dik2ixk）-δa2i-μa2i

∑lk=1xk（Gkj3jxk）-μh3j

∑lk=1xk（Gkj4jxk）-γh4j-δh4j-μh4j，

记L2（R⁴ⁿ，）上的算子A∶＝（A1i，A2i，A3j，A4j）， Au∶＝（A1iu1，A2iu2，A3ju3，A4ju4），其中u∶＝（u1，u2，u3，u4）^T∈ L2（R⁴ⁿ，），生成一个解析半群，定义F和G，

e^tAu=（e^tA1iu1，e^tA2iu2，e^tA3ju3，e^tA4ju4）∶＝（E1i（t）u1，E2i（t）u2，E3j（t）u3，E4j（t）u4）.

F 1i（x） 2i（x）3j（x）4j（x）=Λa（x）-λa（i）1iΘa1+α1Θaλa（i）1iΘa1+α1ΘaΛh（x）-λah（j）3jΘah1+α2Θah-λh（j）3jΘh1+α3Θhλah（j）3jΘah1+α2Θah+λh（j）3jΘh1+α3Θh，G 1i（x） 2i（x）3j（x）4j（x）= σ1i1i1i（t）

σ2i2i2i（t）σ3j3j3j（t）σ4j4j4j（t）.

可以将模型（1）重写为抽象的半线性Cauchy问题

tU（t，x）=［AU（t，x）+F（U（t，x））］dt+σG（U（t，x））dW（t），

U（0，x）=（1i（x），2i（x），3j（x），4j（x））^T，（3）

显然，A是有界线性算子.根据半群理论，它是H上强连续半群｛e^tA｝t0的无穷小生成元^［13］.由文献［14］，知非线性算子F在H上连续Frechet可导的.

引理1^［15］（半鞅收敛定理） 对i=1，2，…，令｛Ai｝，｛Ui｝ 是使Ai，Ui都是Fi-1-可测的两个非负随机变量序列，且A0=U0=0 a.s.，令Mi是一实值局部鞅且M0=0 a.s.，令ξ是一非负F0-可测的随机变量.假设Xi是一个非负半鞅，由Dool-Mayer分解Xi=ξ+Ai-Ui+Mi，如果limi→∞ Ai＜∞ a.s.，则对几乎所有的ω∈Ω，有limi→∞ Xi＜∞，limi→∞ Ui＜∞，即Xi，Ui都是收敛到有限的随机变量.

为了便于探讨，在文中做如下假设条件：

（1）设线性算子A是自伴正定算子，｛e^tA｝t0为其在H上生成的解析半群，则对所有的v∈D（A）和D（A）=｛v∈ H|∑∞n=1|λn|2|〈en，v〉|2＜∞｝存在正实特征值｛λn｝n∈Nd和特征函数｛en｝n1使A∶D（A） H→ H表示为Av=∑∞n=1-λn〈en，v〉en.

（2）（H，〈·，·〉，‖·‖）是可分的Hilbert空间，其范数为‖·‖.

2 解的存在唯一性

本节，我们重点讨论模型（1）的解的正性、存在性、唯一性及它对初始条件的连续依赖性.

定理1 设对任意初值函数∶＝（1i，2i，3j，4j）∈（Ω，R⁴ⁿ+），若T0，p 1，模型（1）存在唯一的正解U（t，x）.

证明 令

F Sai，j Iai，jShi，jIhi，j= Λa（x）-λa（i）Sai，jΘa1+α1Θaλa（i）Sai，jΘa1+α1ΘaΛh（x）-λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah-λh（j）Shi，jΘh1+α3Θhλah（j）Shi，jΘah1+α2Θah+λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh，

其中，F∶［0，T］×Rn×Rn×Rn×Rn→R.对每个m∈N，定义

Fm（Sai，j，Iai，j，Shi，j，Ihi，j）=F（Sai，j，Iai，j，Shi，j，Ihi，j）， |U|R⁴ⁿm，F（mSai，j|U|R⁴ⁿ，mIai，j|U|R⁴ⁿ，mShi，j|U|R⁴ⁿ，mIhi，j|U|R⁴ⁿ），|U|R⁴ⁿ＞ m，

这里|U|R⁴ⁿ=|（Sai，j，Iai，j，Shi，j，Ihi，j）|R⁴ⁿ∶＝supx∈Ω（Sai，j）2+（Iai，j）2+（Shi，j）2+（Ihi，j）2.对每个m，Fm（·，·，·，·）=（Fm，1i（·，·，·，·），Fm，2i（·，·，·，·），Fm，3j（·，·，·，·），Fm，4j（·，·，·，·））：R⁴ⁿ→R⁴ⁿ是关于x∈Ω的Lipschitz连续且一致的，所以与Fm相关的复合算子

Fm（U）（x）∶＝（Fm，1i（U（x）），Fm，2i（U（x）），Fm，3j（U（x）），Fm，4j（U（x））），x∈Ω，

在L2（Ω，R⁴ⁿ）和C（Ω，R⁴ⁿ）中是Lipschitz连续的.

考虑到

dUm（t）=［AUm（t）+Fm（Um（t））］dt+σG（Um（t））dW（t），Um（0）=（1i，2i，3j，4j），

其中，Um（t）=（S^ami，j（t），I^ami，j（t），S^hmi，j（t），I^hmi，j（t））^T，AUm（t）∶＝（A1iS^ami，j（t），A2iI^ami，j（t），A3jS^hmi，j（t），A4jI^hmi，j（t））^T，σG（Um（t））dW（t）=（σ1iS^ami，j（t）dW1i，σ2iI^ami，j（t）dW2i，σ3jS^hmi，j（t）dW3j，σ4jI^hmi，j（t）dW4j）^T.

映射

K（Um）（t）∶＝e^tA+∫t0e^（t-s）AFm（Um（s））ds+∫t0e^（t-s）AσG（Um（s））dW（s）∶＝

e^tA+K1（Um）（t）+K2（Um）（t），t∈［0，T］，Um∈Lp（D;C（［0，T］，C（，R⁴ⁿ））），

所以，K2将Lp映射到Lp.

K2（Um）（t）∶＝∫t0e^（t-s）AσG（Um（s））dW（s）∶＝

（∫t0e^（t-s）A1iσ1iS^ami，jdW1i，∫t0e^（t-s）A2iσ2iI^ami，jdW2i，∫t0e^（t-s）A3jσ3jS^hmi，jdW3j，∫t0e^（t-s）A4jσ4jI^hmi，jdW4j）.

下面证明当pp0时，K2是Lp（D;C（［0，T0］，C（，R⁴ⁿ）））中T0＞0的压缩映射.

引理2 若pp0，p0，使得对任意的Um=（S^ami，j，I^ami，j，S^hmi，j，I^hmi，j）^T，Vm=（^ami，j，^ami，j，^hmi，j，^hmi，j）^T∈Lp（D;C（［0，t］，C（，R⁴ⁿ））），当K2将Lp（D;C（［0，t］，C（，R⁴ⁿ）））映射到自身时，有

|K2（Um）-K2（Vm）|Lt，pcp（t）|Um-Vm|Lt，p，

其中，cp（t）为常数，当t↓0时cp（t）↓0.

证明 假设p0足够大，以确保对于pp0，可以同时选择β，ε＞0，1p＜β＜12，lp＜ε＜2（β-1p）.对pp0，设β，ε满足上式.用因子分解参数^［16］，有

K2（Um）（t）-K2（Vm）（t）=sin πβπ∫t0（t-s）^β-1e^（t-s）A［∫s0（s-r）^-βe^（s-r）A（Um（r）-Vm（r））dW（r）］ds，

由Hlder不等式有

|K2（Um）（t）-K2（Vm）（t）|ε，pcβ，p（t）（∫t0|∫s0（s-r）^-βe^（s-r）A（Um（r）-Vm（r））dW（r）|pLp（Ω，R⁴ⁿ）ds）^1p a.s.，（4）

其中，cβ，p（t）为正常数，当t↓0时，cβ，p（t）↓0.

应用Burkholder不等式，s∈［0.t］和几乎所有x∈Ω，都有

E|∫s0（s-r）^-βe^（s-r）A（Um（r）-Vm（r））dW（r）|pcp（t）E［∫s0（s-r）^-2β∑∞k=1λk|e^（s-r）A（Um（r）-Vm（r））ek|2dr］^p2

cp（t）∫t0E（∫s0（s-r）^-2βλ1supk∈N|e^（s-r）A（Um（r）-Vm（r））ek|2L∞（Ω，R⁴ⁿ）dr）^p2ds.

由于｛ek｝∞k=1的一致有界性，有supk∈N|e^（s-r）A（Um（r）-Vm（r））ek|2L∞（Ω，R⁴ⁿ）c|Um（r）-Vm（r）|C（，R⁴ⁿ），所以

E∫t0|∫s0（s-r）^-βe^（s-r）A（Um（r）-Vm（r））dW（r）|pLp（Ω，R⁴ⁿ）dscβ，p（t）|Um-Vm|pLt，p＜∞，

当ε＞lp时，由Sobolev嵌入定理得K2（Um）（t）-K2（Vm）（t）∈ C（，R⁴ⁿ）.则对于满足上述条件的cp（t）有

|K2（Um）-K2（Vm）|Lt，pcp（t）|Um-Vm|Lt，p，（5）

所以，当p0足够大时，对pp0，K2将Lp（D;C（［0，t］，C（，R⁴ⁿ）））映射到自身，又因为Fm的Lipschitz连续性，有

|K1（Um）-K1（Vm）|pC（，R⁴ⁿ）ctsupr∈［0，s］|Um（s）-Vm（s）|pC（，R⁴ⁿ）.（6）

因此，由式（5）、（6）有|K（Um）-K（Vm）|Lt，pcp（t）|Um-Vm|Lt，p，即对足够小的T0，K是Lp（DC（［0，T0］，C（，R⁴ⁿ）））的映射.由不动点论在Lp（D;C（［0，T0］ ，C（，R⁴ⁿ）））上模型（1）有唯一解.因此，通过在每个有限时间间隔［kT0，（k+1）T0］内重复上述，对T＞0及p p0模型（1）在Lp（D;C（［0，T0］，C（，R⁴ⁿ）））上存在唯一的解Um=（S^ami，j，I^ami，j，S^hmi，j，I^hmi，j）^T.

下面证明Um=（S^ami，j，I^ami，j，S^hmi，j，I^hmi，j）^T 的正性.

引理3 设Um=（S^ami，j，I^ami，j，S^hmi，j，I^hmi，j）^T是式（3）的唯一解，则对t∈［0，T］，有

S^ami，j0，I^ami，j0，S^hmi，j0，I^hmi，j0，a.s.

证明 设方程的温和解为Um（l）=（S^ami，j（l，），I^ami，j（l，），S^hmi，j（l，），I^hmi，j（l，）），lk∈ρ（Ak·）是Ak·且Rk（lk）∶＝lkRk（lk，Ak·）的解析集，Rk（lk，Ak·）为Ak·的解析，k=1，2，3，4，对＞0，l=（l1，l2，l3，l4）∈ρ（A1·）×ρ（A2·）×ρ（A3·）×ρ（A4·）.

由文献［17］有，在Lp（D;C（［0，T］，L2（Ω，R⁴ⁿ）））中，若序列｛lk｝∞k=1ρ（A1·）×ρ（A2·）×ρ（A3·）×ρ（A4·）且→0，则（S^{am（lk，）}}i，j（t），I^{am（lk，）}i，j（t），S^{hm（lk，）}i，j（t），I^{hm（lk，）}i，j（t））→（S^ami，j（t），I^ami，j（t），S^hmi，j（t），I^hmi，j（t））.

由文献［18］有φ（ζ）=ζ2-16，若ζ-1，-ζ22-4ζ33，若-1＜ζ＜0，0，若ζ0，

则对ζ和φ′（ζ），Φ（ζ）=φ″（ζ）Φ（ζ）=0，φ″（ζ）0.由于 Rk（lk，Ak·）的正性，由文献［19］有

∫Ωφ（S^am（l，）i，j（t，x））dx=∫t0∫Ωφ′（S^am（l，）i，j（t，x））（∑lk=1xk（DikS^ami，jxk）+（R1（l1）Λa）（x））dxds=

-∫t0∫Ωφ″（S^am（l，）i，j（t，x））|S^am（l，）i，j（t，x）|2dxds+∫t0∫Ωφ′（S^am（l，）i，j（t，x））（R1（l1）Λa）（x）dxds0，

因此，对＞0，l=（l1，l2，l3，l4）∈ρ（A1·）×ρ（A2·）×ρ（A3·）×ρ（A4·）且S^am（l，）i，j（t，x）0.同理有I^am（l，）i，j（t，x）0，S^hm（l，）i，j（t，x）0，I^hm（l，）i，j（t，x）0.

所以，t∈［0，T］，有S^ami，j0，I^ami，j0，S^hmi，j0，I^hmi，j0，a.s.即模型（1）存在唯一正解.

定理2 对x∈Ω，若初值满足1i＞0，2i＞0，3j＞0，4j＞0，则U（t，x）在上一致有界.

证明 考虑t时刻的种群总数N（t），

N（t）=∫Ω（Sai，j（t，x）+Iai，j（t，x）+Shi，j（t，x）+Ihi，j（t，x））dx.

由模型（1）有

dN（t）dt=∫Ω（tSai，j（t，x）+tIai，j（t，x）+tShi，j（t，x）+tIhi，j（t，x））dx

∫Ω（Λa（x）+Λh（x）-

μhN（t））dx+C∫Ω（Sai，jd1i（t）+Iai，jd2i（t）+Shi，jd3j（t）+Ihi，jd4j（t））dx.

设H（t）是下列随机微分方程的解

dH（t）dt=∫Ω（Λa（x）+Λh（x）-μhN（t））dx+C∫Ω（Sai，jd1i（t）+Iai，jd2i（t）+Shi，jd3j（t）+Ihi，jd4j（t））dx.

对上式采用如下常数变异法

H（t）=∫Ω（Λa（x）+Λh（x））dxμh+［H（0）-∫Ω（Λa（x）+Λh（x））dxμh］exp（-dt）-Y（t），

则Y（t）=∫t0exp［-d（t-s）］Sai，jdxdW1i（t）+∫t0exp［-d（t-s）］Iai，jdxdW2i（t）+∫t0exp［-d（t-s）］Shi，jdxdW3j（t）+∫t0exp［-d（t-s）］Ihi，jdxdW4j（t）是具有Y（0）=0连续的局部鞅.应用随机比较定理有N（t）H（t）.H（t）∶＝H（0）+Z（t）-V（t）-Y（t）Z（t）=∫Ω（Λa+Λh）dxμh［1-exp（-dt）］，V（t）=H（0）［exp（-dt）］.显然，Z（t），V（t）是t＞0连续适应增长过程.

因此，由引理1有limt→∞H（t）＜∞，limt→∞N（t）＜∞，a.s..即存在正常数C1，有limt→∞N（t）＜C1.

证毕.

定理3 若初值∶＝（1i，2i，3j，4j）∈L2（Ω，β），β∈［0，1），则对所有的t∈［0，T］，U（t，x）∈L2（Ω，β）满足

E（‖Sai，j（t，x）‖2β+‖Iai，j（t，x）‖2β+‖Shi，j（t，x）‖2β+‖Ihi，j（t，x）‖2β）＜∞.

证明 由文献［20］有

E（‖Sai，j（t，x）‖2β +‖Iai，j（t，x）‖2β+ ‖Shi，j（t，x）‖2β+‖Ihi，j（t，x）‖2β）C（E‖e^tA1i1i‖2β+

E‖∫t0e^（t-s）A1i（Λa（x）-λa（i）Sai，jΘa1+α1Θa）ds‖2β+E‖∫t0e^（t-s）A1iSai，jdW1i（s）‖2β+E‖e^tA2i2i‖2β+

E‖∫t0e^（t-s）A2iλa（i）Sai，jΘa1+α1Θa0ds‖2β+E‖∫t0e^（t-s）A2iIai，jdW2i（s）‖2β+E‖e^tA3j3j‖2β+

E‖∫t0e^（t-s）A3j（Λh（x）-λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah-λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh）ds‖2β+E‖∫t0e^（t-s）A3jShi，jdW3j（s）‖2β+

E‖e^tA4j4j‖2β+E‖∫t0e^（t-s）A4j（λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah+λh（j）Shi，jΘh1+α3Θah）ds‖2β+

E‖∫t0e^（t-s）A4jIhi，jdW4j（s）‖2β）∶＝C（Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ）.

下面依次证明Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ的有界性.由半群的有界性得

Ⅰ=E‖e^tA1i1i‖2β +E‖e^tA2i2i‖2β+E‖e^tA3j3j‖2β+E‖e^tA4j4j‖2β

C（E‖1i‖2β+E‖2i‖2β+E‖3j‖2β+E‖4j‖2β）＜∞，

ⅡC（∫t0（t-s）^-βds（1+E［sup0st‖Sai，j‖2］）（1+E［sup0st‖Iai，j‖2］）（1+E［sup0st‖Shi，j‖2］）（1+

E［sup0st‖Ihi，j‖2］）） C（（1+E［sup0st‖Sai，j‖2］）（1+E［sup0st‖Iai，j‖2］）（1+

E［sup0st‖Shi，j‖2］）（1+E［sup0st‖Ihi，j‖2］））＜∞.

由It等距性，

Ⅲ=∫t0E（‖e^（t-s）A1iSai，j‖2L02+‖e^（t-s）A2iSai，j‖2L02+‖e^（t-s）A3jSai，j‖2L02+‖e^（t-s）A4jSai，j‖2L02）dsC（（1+

E［sup0st‖Sai，j‖2］）（1+E［sup0st‖Iai，j‖2］）（1+E［sup0st‖Shi，j‖2］）（1+E［sup0st‖Ihi，j‖2］））＜∞.

定理4 若任意的初值∶＝（1i，2i，3j，4j）∈L2（Ω，β），β∈［0，1），则对0t1t2T有

E（‖Sai，j（t1）-Sai，j（t2）‖2+‖Iai，j（t1）-Iai，j（t2）‖2+‖Shi，j（t1）-Shi，j（t2）‖2+‖Ihi，j（t1）-Ihi，j（t2）‖2）＜C（t2-t1）β.

证明 对0t1t2T，

E‖Sai，j（t2）-Sai，j（t1）‖2+E‖Iai，j（t2）-Iai，j（t1）‖2+E‖Shi，j（t2）-Shi，j（t1）‖2+E‖Ihi，j（t2）-

Ihi，j（t1）‖2C（E‖（e^t2A1i-e^t1A1i）1i‖2+E‖（e^t2A2i-e^t1A2i）2i‖2+E‖（e^t2A3j-e^t1A3j）3j‖2+

E‖（e^t2A4j-e^t1A4j）4j‖2）+CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A1i}-e^{（t1-s）A1i}）（Λa-λa（i）Sai，jΘa1+α1Θa）ds‖2+

CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A1i}（Λa-λa（i）Sai，jΘa1+α1Θa）ds‖2+CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A2i}-e^{（t1-s）A1i}）λa（i）Sai，jΘa1+α1Θads‖2+

CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A2i}λa（i）Sai，jΘa1+α1Θads‖2+CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A3j}-e^{（t1-s）A3j}）（Λh-λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah-

λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh）ds‖2+CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A3j}（Λh-λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah-λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh）ds‖2+

CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A4j}-e^{（t1-s）A4j}）（λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah+λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh）ds‖2+CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A4j}×

（λah（j）Shi，jΘah1+α2Θah+λh（j）Shi，jΘh1+α3Θh）ds‖2+CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A1i}-e^{（t2-s）A1i}）Sai，jdW1i（s）‖2+

CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A1i}Sai，jdW1i（s）‖2+CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A2i}-e^{（t2-s）A2i}）Iai，jdW2i（s）‖2+

CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A2i}Iai，jdW2i（s）‖2+CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A3j}-e^{（t2-s）A3j}）Shi，jdW3j（s）‖2+

CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A3j}Shi，jdW3j（s）‖2+CE‖∫^t10（e^{（t2-s）A4j}-e^{（t2-s）A4j}）Ihi，jdW4j（s）‖2+

CE‖∫^t2t1e^{（t2-s）A4j}Ihi，jdW4j（s）‖2∶＝C（Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ+Ⅴ）.

下面依次对其进行估计.应用半群性质

Ⅰ=E‖［e^t1A1iA^-β/21i（e^{（t2-t1）A1i}-I）］A^β/21i1i‖2+E‖［e^t1A2iA^-β/22i（e^{（t2-t1）A2i}-I）］A^β/22i2i‖2+

E‖［e^t1A3jA^-β/23j（e^{（t2-t1）A3j}-I）］A^β/23j3j‖2+E‖［e^t1A4jA^-β/24j（e^{（t2-t1）A4j}-I）］A^β/24j4j‖2

C（t2-t1）βE（‖1i‖2β+‖2i‖2β+‖3j‖2β+‖4j‖2β）.

利用Cauchy-Schwarz不等式和半群性质，可得

ⅡC（t2-t1）β∫^t10（t1-s）^-βds（1+Esup0st1‖Sai，j‖2+Esup0st1‖Iai，j‖2+

Esup0st1‖Shi，j‖2+Esup0st1‖Ihi，j‖2）C（t2-t1）β.

对Ⅲ应用Cauchy-Schwarz不等式有

ⅢC∫^t2t1E‖e^{（t2-s）A1i}‖2L（H）ds（1+Esup0sT‖Sai，j‖2）+C∫^t2t1E‖e^{（t2-s）A2i}‖2L（H）ds（1+

Esup0sT‖Iai，j‖2）+C∫^t2t1E‖e^{（t2-s）A3j}‖2L（H）ds（1+Esup0sT‖Shi，j‖2）+

C∫^t2t1E‖e^{（t2-s）A4j}‖2L（H）ds‖（1+Esup0sT‖Ihi，j‖2C（t2-t1）β.

对Ⅳ应用It等距性有

ⅣC∫^t10E‖（e^{（t2-s）A1i}-e^{（t2-s）A1i}）‖2L（H）ds（1+Esup0st1‖Sai，j‖2）+C∫^t10E‖（e^{（t2-s）A2i}-

e^{（t2-s）A2i}）‖2L（H）ds（1+Esup0st1‖Iai，j‖2）+C∫^t10E‖（e^{（t2-s）A3j}-e^{（t2-s）A3j}）‖2L（H）ds（1+

Esup0st1‖Shi，j‖2）+C∫^t10E‖（e^{（t2-s）A4j}-e^{（t2-s）A4j}）‖2L（H）ds（1+

Esup0st1‖Ihi，j‖2）C（t2-t1）β.

同理有

Ⅴ=E‖∫^t2t1e^{（t2-s）A1i}Sai，jdW1i（s）‖2+E‖∫^t2t1e^{（t2-s）A2i}Iai，jdW2i（s）‖2+E‖∫^t2t1e^{（t2-s）A4j}Shi，jdW3j（s）‖2+

E‖∫^t2t1e^{（t2-s）A4j}Ihi，jdW4j（s）‖2C（t2-t1）β.

至此，证明了模型（1）解的正性、存在性、唯一性及它对初始条件的连续依赖性.

注记 1）由定理4可知，当0t1t2T对任意初值，模型解对初值的连续依赖性.2）若不考虑禽禽和禽人接触的异质性，即对应模型（1）中（i，j）为常数，且σ1i=σ2i=σ3j=σ4j=0 时，模型（1） 为确定性模型.

3 结 论

本文讨论了随机禽流感模型，由于禽流感在禽与人之间的异质性以及空间扩散对其传播的影响，为了使得模型更加符合实际，构建了复杂网络上带有空间扩散的随机禽流感模型.证明了该模型解的正性、存在性及唯一性.在此基础上，进一步证明了复杂网络上具有随机噪声影响的禽流感模型解对初始条件的连续依赖性.

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The existence and uniqueness of solution for stochastic avian influenza model on complex network

Wei Dongmei1， Zhang Qimin2， Ren Keguo2， Xu Guozhong2

（1. Xinhua College， Ningxia University， Yinchuan 750021， China; 2. College of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan 750021， China）

Abstract： Considering the impact of stochastic noise and heterogeneity between individuals on the spread of avian influenza， a stochastic avian influenza model with standard Wiener process on a complex network is established in this paper. The well-posedness of the solution of the model is studied by using the semigroup theory of operators， the existence and uniqueness of the solution and its continuous dependence on initial conditions are proved.

Keywords： complex network; avian influenza model; existence; uniqueness

［责任编校 陈留院 杨浦］