基于模型缩聚理论的车桥耦合振动分析方法

摘要 文章首先提出了基于模型缩聚理论的车桥耦合振动分析方法，然后利用Matlab编制了计算程序，最后通过算例对分析方法和计算程序进行了对比验证，结果表明，基于模型缩聚的车桥耦合分析方法可以保证计算精度，提升计算效率，提出的方法和编制的程序可应用于大型、复杂桥梁结构的车桥耦合计算分析。

关键词 车桥耦合振动；模型缩聚；Matlab程序；对比验证

中图分类号 U441.3 文献标识码 A 文章编号 2096-8949（2025）02-0010-03

0 引言

随着桥梁技术的发展，结构越来越复杂，传统的分析方法给有限元模型的建立和车桥耦合动力学方程的求解计算都带来了挑战。模型缩聚可以缩减矩阵的阶数，广泛应用于航天器、船舶和其他结构的结构分析[1-3]。该文将模型缩聚技术应用于桥梁结构中，建立了基于模型缩聚的车桥耦合动力学方程，基于Matlab编制了计算程序，通过一个算例对计算结果的精度、计算效率进行了对比分析。结果表明，该文提出的基于模型缩聚的车桥耦合分析方法及程序计算结果可信，计算效率优于传统方法，可应用于复杂桥梁结构的车桥耦合动力分析。

1 基于模型缩聚理论的车桥耦合分析方法

综合考虑结构实际受力及变形规律等主要因素，对结构进行合理的力学简化，再通过有限元离散化建模，得到结构的有限元分析模型，其动力学方程可表示如下：

式中，——质量矩阵；——阻尼矩阵；——刚度矩阵；——节点自由度的位移；——节点自由度的速度；——节点自由度的加速度列阵；——节点自由度荷载列阵。

将结构离散化的节点自由度分成两类：一类为外部主自由度，用下标表示，外部主自由度的位移、速度和加速度分别表示为、和；另外一类为内部自由度，用下标表示，其自由度位移、速度和加速度分别表示为、和。自由度分类后，对特征矩阵进行分块，则式（1）可以表示如下：

模型缩聚理论的核心思想是在离散化结构的节点自由度位移中，选择使用其中的少部分自由度位移代替所有的自由度位移，转换关系如下：

式中，——节点自由度的转换矩阵。

常用的模型缩聚方法有模态叠加法、静力缩聚（GMS），IRS（Improved Reduced System）动力缩聚和固定界面模态综合法缩聚（后文简称CMS缩聚）。不同的模型缩聚方法，其转换矩阵的表达式不同。静力缩聚转换矩阵、IRS动力缩聚转换矩阵和CMS缩聚转换矩阵的计算表达式分别如下[4-6]：

针对模块化拼组的桥梁结构，根据结构拼组特点，对桥梁结构先进行拆分，再进行缩聚，将模块化的桥梁分段作为低一级的子结构，建立各模块的有限元模型。桥梁结构第个模块子结构的动力学方程表示如下：

式中，上标——第个模块的动力学方程。

对桥梁子结构进行缩聚，其第个模块的缩减动力学方程为如下：

引入各模块子结构之间的连接关系，由各模块子结构缩减矩阵装配可得到桥梁系统的缩减动力学方程式，其表达式如下：

车辆系统的动力学方程可表示如下：

对于模型缩聚桥梁动力学方程，在处理车桥耦合振动方程时，采用的方法同常规方法一样；在时域内求解时，同样可以采用整体法和分离法耦合车桥系统的振动方程。采用分离法求解时，在时刻车辆行驶到桥梁桥面某位置处，假定某车轮位置处的竖向位移为，车辆车轮中心节点的竖向位移为，路面不平整度为，则车轮中心和路面的位移差表示如下：

该车轮受到的力为，则有：

式中，——车轮的刚度；——车轮的阻尼。

若该车轮处桥梁受到的力为，根据牛顿第三运动定律，有：

由式（11）、式（12）和式（13），可以计算得到时刻的车桥耦合作用力，结合该时刻的其他外力，可

设定计算收敛误差为，若，则时刻内的计算结束；若不满足，则令，再求解动力学方程式（9）和式（10），直到符合误差要求为止。

2 算例对比分析

论文以车辆通过简支板桥为例，采用Matlab编制计算程序，对该文提出的计算方法和编制的程序进行验证。图1所示为空间双轴车辆模型，其详细参数值如表1所示，整车自由度为。

桥梁采用简单的空间板桥，其参数如下：桥长16 m，宽5.4 m，高0.25 m，弹性模量为2×1011 N/m2，密度为3 500 kg/m3。

图2为该文程序基于不同缩聚矩阵求解的跨中位移计算结果与常规矩阵计算结果的对比曲线。由图2可知，除IRS缩聚外，两种方法下的其他计算结果与常规矩阵完全相同。

表2所示为程序采用不同的计算方法在同一计算机的计算时间汇总表，由表2可知，不同求解矩阵的求解速度比较结果如下：静力缩聚＞IRS缩聚＞CMS缩聚＞原始矩阵。无论哪种车桥耦合求解方法，都需要求解车辆通过桥梁的每一个时间步下的动力学方程，缩聚矩阵大幅降低了动力学方程的维度，使得求解更加快捷，这点在需要迭代求解的动力学方程的分离法中表现得非常明显。不同缩聚方法的耗时不同，主要体现在两个方面：第一是求解转换矩阵的耗时不同，静力缩聚转换矩阵最简单，CMS缩聚转换矩阵求解最难；第二是求解维数，CMS缩聚由于增加了附加模态，其动力学维数大于其他两种方法。因此，三种方法中的求解时间，静力缩聚最快，而CMS缩聚则最慢。

3 总结

该文编制了基于静力缩聚、IRS缩聚和CMS缩聚理论的车桥耦合分析程序，并通过一个简支板桥算例进行了对比研究，得出以下结论：

（1）采用不同的计算方法，对空间自由度双轴车辆模型通过空间板桥的过程进行了车桥耦合分析，计算结果表明：静力缩聚矩阵、CMS缩聚矩阵的计算结果和原始矩阵计算结果接近，而IRS缩聚矩阵的计算结果偏小。

（2）对比了不同计算方法的耗时，对于原始矩阵，分离法耗时最长，整体法耗时最短；对于同一车桥耦合处理方法，CMS缩聚方法的耗时大于IRS缩聚方法，而静力缩聚方法耗时最短。

该文基于模型缩聚车桥耦合分析方法的Matlab程序计算结果可信，与传统方法相比，计算速度快、效率高，可应用于大型、复杂桥梁结构的车桥耦合计算分析，相关方法和程序也可拓展应用于其他大型结构的动力分析。

参考文献

[1]沈海鹏，陈徐均，黄恒，等.基于多重静态子结构的浮桥接头受力分析[J].港工技术， 2019（5）：31-38.

[2]李播博，袁惠群，王光定，等.基于子结构模态综合法的重型牵引车优化设计[J].东北大学学报（自然科学版）， 2019（4）：531-536+542.

[3]陈兆林，杨智春，王用岩，等.基于能量有限元法和虚拟模态综合法的高频冲击响应分析方法[J].航空学报， 2018（8）：182-191.

[4]GuyanRJ. Reduction of Stiffness and Mass martics [J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal， 1965（2）：380.

[5]Irons B M. Structural Eigenvalue Problems-elimination of Unwanted Variables[J].American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal， 1965（5）：961-962.

[6]刘明杰.固定界面模态综合法的动力学原理[J].浙江大学学报， 1985（6）：189-192.