切线放缩以直代曲，构建模型探求本质

摘"要"本文通过切线放缩法求解了一道关于求解参数范围问题的压轴题，并据此探究了命制此类试题的一般模式.

关键词"切线放缩；凹函数；极值点偏移

放缩法是求解参数范围问题的常见策略，但放缩的方式以及放缩的精度对问题的解答有很大的影响.其中“切线放缩”［1］是一种常见的放缩策略，可实现“以直代曲”的妙用.在2024年佛山市高二期末测试第19题中，就需要多次应用该技巧进行求解.本文将详细展示该问题的求解过程，并据此探究命制此类问题的一般策略.

一、试题及分析

已知函数f（x）=（x－1）（ex－1）－a（a＞0）.证明：

（1）f（x）在（－，0）上单调递减，在（1，+）上单调递增；

（2）若f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），则（ⅰ）x1+x2＜1；（ⅱ）x2－x1＜1+aee－1．

分析"本题第（1）问是为了确定函数f（x）的单调性，为第（2）问提供必要的思维基础.通过导数的几何意义即可进行证明，过程略.对于第（2）问，函数f（x）的零点可转化为函数g（x）=（x－1）（ex－1）与直线l：y=a的交点的横坐标.也可转化为函数h（x）=ex－1与函数φ（x）=ax－1的交点的横坐标.同理也可转化成其他的函数形式，对于不同的函数可以采用不同的放缩策略进行求解.

二、解法呈现

对于所求的不等式还可通过极值点偏移等技巧进行证明，其证明思路可文［2］，本文略.本文仅展示“切线放缩”的技巧进行证明.

对于不等式x1+x2＜1.考虑函数h（x）=ex－1以及函数φ（x）=ax－1，其图象如图1，则x1＜0，1＜x2，注意到函数h（x）=ex－1在点（0，0）处的切线为l1：y=x，其中切线l1恒在函数h（x）的下方.

设直线l1与函数φ（x）的交点为x*1，x*2.显然可得0＞x*1＞x1，x*2＞x2＞1，从而可得x*1+x*2＞x1+x2.若有x*1+x*2≤1成立，则原不等式成立.

联立直线l1与函数φ（x）=ax－1，可得x2－x－a=0，则有x*1，x*2是该方程的两个解.根据韦达定理可得x*1+x*2=1，从而可得原不等式成立.

对于不等式x2－x1＜1+aee－1，考虑函数g（x）=（x－1）（ex－1）与直线l：y=a，图2据此也可得x1＜0，1＜x2，如图2所示.设函数g（x）=（x－1）（ex－1）在点（0，0）处的切线为l2：y=－x，在点（1，0）处的切线为l3：y=（e－1）（x－1）.

其中直线l2，l3恒在函数g（x）的下方（该结论将在后文进行详细阐述）.设直线l2与l的交点为x+1，直线l3与l的交点x+2，显然可得x+1＜x1，x+2＞x2，从而可得x+2－x+1＞x2－x1.若有x*2－x*1≤1+aee－1成立，则原不等式成立.

根据上述分析可知x+1=－a，x+2=1+ae－1，两式相减可得x*2－x*1=1+aee－1，从而可得原不等式成立.

三、模型分析

在上述求解过程中一共出现了三条切线，三条切线都位于相应的函数下方.其中两条切线l1与l3所对应的函数为“凹函数”其结论具有一般性（后文将进行详细证明），而l2所对应的函数“凹凸性”发生过转化，现对其进行说明如下：

为了证明直线l2恒在函数g（x）的下方等价于（x－1）（ex－1）≥－x恒成立，据此构造函数F（x）=（x－1）（ex－1）+x，求导可得F′（x）=xex，显然可得F（x）在（－，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增.从而可得F（x）的最小值为F（0）=0，即可得命题成立.

为了说明“凹函数”位于切线上方的一般性，现将“凹凸函数”的判定规则简介如下：考虑函数f（x）的二阶导，若f″（x）≤0，则函数f（x）为“凸函数”；若f″（x）≥0，则函数f（x）为“凹函数”［3］.

定理1"已知函数f（x）为“凹函数”，设其在点（x0，f（x0））处的切线为lx0：y=f′（x0）（x－x0）+f（x0），则有lx0恒在函数f（x）的下方.

证明"上述问题等价于f（x）－f′（x0）（x－x0）－f（x0）≥0.

构造函数G（x）=f（x）－f′（x0）（x－x0）－f（x0），求导可得G′（x）=f′（x）－f′（x0），再次求导可得G″（x）=f″（x），根据条件可得G″（x）≥0，即有G′（x）单调递增.

易知G′（x0）=f′（x0）－f′（x0）=0，即可得在（－，x0）上G′（x0）＜0，在（x0，+）上G′（x0）＞0.从而可得G（x）在（－，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，又因为G（x0）=0，即可得上述命题成立.

回到原问题，对于函数h（x）=ex－1，求二阶导可得h″（x）=ex，显然可得h″（x）≥0，即有函数h（x）为“凹函数”，所以原命题成立.

而对于函数g（x）=（x－1）（ex－1），求二阶导可得g″（x）=（x+1）ex，当x∈（－1，+）时，g″（x）＞0，此时函数g（x）为“凹函数”；当x∈（－，－1）时，g″（x）＜0，此时函数g（x）为“凸函数”.而直线l3位于“凹函数”部分的下方，所以结论显然成立.而l2的上方存在部分的“凸函数”，故需单独进行验证.

再注意到limx→－g′（x）=limx→－（xex－1）=－1以及g′（x）的单调性可知，当x∈（－，0）时，g′（x）＜－1恒成立.由此即可说明即使函数g（x）的“凹凸性”发生了变化，其图象也始终位于切线l2的上方.

四、问题拓展及变式研究

纵观上文可知，不等式证明核心在于切线的选择，对原不等式进行适当地放缩.那么能否选择更优化的切线对不等式的上限进行优化呢？笔者进行了如下尝试.

设函数h（x）=ex－1在点（x0，ex0－1）处的切线方程为y=ex0（x－x0）+ex0－1，联立该切线与曲线φ（x）=ax－1可得二次方程ex0x2－（x0ex0+1）x+x0ex0－ex0+1－a=0.

根据韦达定理可得其两根之和为x0ex0+1ex0=x0+1ex0，根据上述解法即可得x1+x2＜x0+1ex0恒成立，即有x0+1ex0为x1+x2的上限.原问题即是选择了x0=0时的值.为了优化其上限，构造函数H（x）=x+e－x，求导得H′（x）=1－e－x，则H（x）在（－，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，从而H（x）的最小值为H（0）=1.

由此即可得原问题所选择的上限即为通过切线放缩所能获得的最优上限，若利用其他放缩技巧还可使得上限更加精确，如当x∈（0，+）时，还可通过不等式ex－1＞x+x22进行放缩，但涉及到的运算量较为复杂.

基于上述分析，笔者探究出了原问题的基本模型.

模型一"设函数f（x）=g（x）·h（x）－a的两个零点为x1，x2（x1＜x2），其中g（x）为“凹函数”，设直线l是函数g（x）的一条切线.设l与ah（x）的交点之和为Δ，则有x1+x2＜Δ成立.

模型二"设函数y=f（x）－a的两个零点为x1，x2（x1＜x2），其中f（x）为“凹函数”且有两个零点x*1，x*2，设函数f（x）在两个零点处的切线分别为l1，l2.设直线l1，l2与直线l：y=a的交点之差为Δ，则有x2－x1＜Δ成立.

由此，如下两个变式供读者练习.

变式1"已知函数f（x）=ax－1（a＞0），g（x）=ln10x+10.若函数f（x）与函数g（x）有两个交点，设两个交点过的横坐标为x1，x2（x1＜x2）.求证：x1+x2＜1．

变式2"已知函数f（x）=x4－x－a（a＞0）.若f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）.求证：x2－x1＜1+4a3．

五、教学建议

1.挖掘教材，寻找切线放缩的素材，帮助学生形成切线放缩的思维模式

在教材中具有丰富的相关案例，如在人教A版教材选择性必修二第94页有习题：证明不等式x－1≥lnx；以及97页的练习：证明不等式sinx＜x（x∈（0，π））以及99页的练习：证明不等式ex≥x+1，并通过函数图象进行直观验证.在教学的过程中要善于挖掘相关的经典模型，理解其思维本质.为后续形成切线放缩的思维方法打下理论基础.

2.将零点问题转化为不同函数间的交点问题，并通过图象进行展示，提升学生的数形结合思想

通过不同的视角解释两个零点的几何意义，为放缩法指明了方向.同时通过图象，将不等关系可视化，明确了不等式的几何意义，理解了各个参数对于零点变化的影响，帮助学生形成数形结合的思维方式，提升学生直观想象的核心素养.

3.拓展模型，总结提升

在求解问题的基础上，总结出试题的一般模型.挖掘出命题者的命制意图，帮助学生理解试题的命制过程，克服面对陌生问题的心理恐惧，提升解决问题的自信心.

参考文献

［1］龙宇.巧用“切线法”求解函数不等式［J］.中学数学研究（江西师大）.2018（3）.28-29.

［2］龙宇.极值点偏移与拐点偏移的本质探究［J］.数理化学习.2022（4）.27-29.

［3］代建云.利用函数的凹凸性探究切线问题［J］.中学数学研究（江西师大）.2023（10）.19-21.