韦恩图视角下的条件概率

摘"要"条件概率是概率论中重要的概念之一，也是概率统计教学中的一个难点.本文理论结合实际给出了处理条件概率相关问题的一般技巧.

关键词"条件概率；几何意义；韦恩图

一、情景引入

百分之六十的人喜欢滑雪，百分之五十的人喜欢滑冰，百分之七十的喜欢滑雪或滑冰，问一个人在喜欢滑冰的前提下，他又喜欢滑雪的概率是多少？

这是条件概率问题，我们在处理条件概率时通常从定义出发，用形式推演得到结果.形式推演当然是必要的，但有时用形式推演得到的结果，很多时候反映不出实际意义.

二、分析总结

1.条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且PA＞0，我们称PB|A=PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，简称条件概率.特别地，当PB|A=PB时，A，B相互独立，则PAB=PAPB.

事件的概率尤其条件概率是相对抽象的，在概率论中常用一些术语、记号（如韦恩图）来描述事件间的关系和运算，所以对事件概率的一些相关概念，也可以借助韦恩图来帮助理解，从而达到化抽象为直观、化难为易的效果.

随机试验的样本空间是一个集合，事件与样本空间的子集相对应，借助韦恩图可以直观表示两个事件间的关系.

若A，B两个事件有包含关系，如图1、图2；若A，B两个事件为互斥关系，如图3；特别地，若两个事件为对立事件，如图4，若两个事件有交集，如图5.

韦恩图不仅可以直观地表示两个事件的关系，还可以借助韦恩图来计算条件概率，但是因为条件的出现，所以计算概率时，样本空间应缩小到符合条件的情况.

我们常常从缩小样本空间的角度来研究条件概率，这时的条件概率就呈现了几何意义.

例如，要计算事件A发生条件下事件B发生的概率，那么此时符合条件的新样本空间应为事件A，所以P（B|A）可以看成新样本空间A下事件B发生的概率，而由图6可知，事件A发生的条件下，若事件B也要发生，则试验的结果应为A∩B，所以P（B|A）=mABmA.同理P（A|B）=mABmB，如图7.

古典概型下通常可以列出样本点，但有的时候，我们不一定能列出样本点，那么对应的集合中的元素也无法确定，此时又该如何解决条件概率呢？

其实还是一样的，虽然样本点个数不知，但一个事件所包含的样本点个数除以样本空间所包含的样本点个数就是事件发生的（条件）概率，于是我们就得到如下的条件概率缩小样本空间的求法.

2.条件概率的几何意义：

P（B|A）表示图8中积事件AB所占面积与事件A所占面积的比例.

回到情景引入， 令事件A为“一个人喜欢滑雪”，事件B为“一个人喜欢滑冰”，那么“喜欢滑雪或滑冰”为事件A∪B，

“既喜欢滑冰又喜欢滑雪”则为事件AB，所以一个人在喜欢滑冰的前提下，又喜欢滑雪的概率为P（A|B）.假设样本空间Ω有100人，由题可知事件A中有60人，图9

即Ⅰ区域和Ⅱ区域共有60人，事件B有50人，如图9，即Ⅱ区域和Ⅲ区域共有50人.又因为事件A∪B中有70人，即Ⅰ区域、Ⅱ区域和Ⅲ区域共有70人，设Ⅱ区域中有x人，则有60+50－x=70，解得x=40，所以有40个既喜欢滑冰又喜欢滑雪的人.而由韦恩图可知P（A|B）为Ⅱ区域在事件B中所占的比例，所以P（A|B）=4050=0.8.

提炼总结：

①用韦恩图可直观地表达样本空间；

②用韦恩图来表示事件间的关系，把复杂的事件分解成简单的事件；

③求对应事件在缩小的样本空间区域的比例.

在研究条件概率的过程中，可以巧妙地用韦恩图将抽象定义图形化、直观化.直观上帮助初学者理解某些概念、寻找解题思路.

三、链接考试

例1"设PA|B=PB|A=13，P=14，则PB=（""）.

A.23"""B.14""""C.34""""D.13

解析"韦恩图（如图10）中的Ⅱ区域为事件A与事件B的公共部分AB.

设PB=x，因为PA|B=13，所以Ⅱ区域占整个B事件的13，那么Ⅱ区域的概率为13x，则Ⅲ区域的概率为x－13x=23x，又因为PB|A=13，所以Ⅱ区域占整个事件A的13，那么Ⅰ区域占整个A事件的23，也即Ⅰ区域的概率为Ⅱ区域的2倍，等于23x，于是PA=13x+23x=x=34，所以PB=x=34.故选C.

例2"已知P（）=13，P|A=12，PB|=14，则PB=（""）.

A.712"""B.724"""C.512"""D.524

图11

解析"韦恩图（见图11）中的Ⅰ区域为事件A与事件的公共部分AB，Ⅱ区域为事件A与事件B的公共部分AB，Ⅲ区域为事件与事件B的公共部分B，Ⅳ区域为事件与事件的公共部分A∪B.全集Ω的区域总面积可以看成1，因为P（）=13，所以P（A）=23，那么事件A所在区域的面积可以看成23.

设Ⅱ区域的面积为x，由于PB|A=12，所以Ⅰ区域占整个事件A的12，那么Ⅰ区域和Ⅱ区域各占事件A的一半，它们的面积相等，均为x，所以有x+x=23，解得x=13.又因为PB|=14，所以Ⅲ区域占整个事件的14，若设Ⅲ区域的面积为y，因为事件由Ⅲ区域和Ⅳ区域组成，那么Ⅳ区域的面积为3y，有y+3y=13，解得y=112.由于事件B为Ⅱ区域和Ⅲ区域之和，所以事件B的面积为x+y=13+112=512，故P（B）=13+112=512.故选C.

例3"设PA=14，PB|A=13，PA|B=12，则PA+B=______.

解析"PA+B是韦恩图（见图12）中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域的概率之和，其中Ⅰ区域即事件A与事件B的公共部分AB，Ⅱ区域即事件A与事件B的公共部分AB，Ⅲ区域即事件A与事件B的公共部分AB.

因为PB|A=13，所以图中的Ⅱ区域占事件A的13，于是Ⅱ区域的概率为13P（A）=13×14=112，所以图中Ⅰ区域的概率为P（A）－112=16，又因为PA|B=12，所以Ⅱ区域占事件B的12，于是图中Ⅲ区域的概率等于Ⅱ区域的概率等于112，故PA+B=16+112+112=13.

评析"韦恩图计算条件概率，分析简洁直观，不易出错，关键就是要将各事件的概率用图形的面积表示，有助于把复杂的事件分解成简单的事件从而对条件概率有着直观的理解，对条件概率计算起到化繁为简的作用.

四、巩固练习

题1"若B， C是互斥事件且PB|A=13，PC|A=14，则P（B∪C）|A=（"）.

A.12"""B.13"""C.310"""D.712

解析"P（B∪C）|A为事件B、C与事件A的公共部分的概率之和，即韦恩图（见图13）中的Ⅱ和Ⅰ区域占事件A的比例之和，

若设P（A）=x，因为PB|A=13，PC|A=14，所以韦恩图中Ⅱ区域和Ⅰ区域分别占事件A的13和14，于是Ⅱ区域的概率为13x，Ⅰ区域的概率为14x，所以P（B∪C）|A=13x+14xx=712.

题2"设P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（AB）=0.5，则P（B|（A+B））=______.

解析"如图14，A为韦恩图中的Ⅰ区域，AB为韦恩图中的Ⅱ区域，B为韦恩图中的Ⅲ区域，Ⅳ区域为事件与事件的公共部分A∪B，所以Ⅰ区域的概率为0.5，因为Ⅰ区域和Ⅱ区域之和为事件A，且P（A）=1－P（）=0.7.所以Ⅱ区域的概率为0.7－0.5=0.2.又因为Ⅱ区域和Ⅲ区域之和为事件B，且P（B）=0.4，所以Ⅲ区域的概率为0.4－0.2=0.2.由于P（）=0.3，所以图中的Ⅲ区域和Ⅳ区域的概率之和为0.3.于是Ⅳ区域的概率为0.3－0.2=0.1.而因为A+为Ⅰ区域、Ⅱ区域、Ⅳ区域之和，所以P（B|（A+））为Ⅱ区域与Ⅰ区域、Ⅱ区域、Ⅳ区域之和的比值，即P（B|（A+））=0.20.5+0.2+0.1=0.20.8=14.