浅谈构造法在数学解题中的应用

数学教育家G·波利亚指出：“人的高明之处就在于当他碰到一个不能克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。”这段话道出了一种重要的数学解题方法——构造法。那么什么叫构造法呢？当遇到一个比较棘手的问题A时，我们可以不直接去解决所给的问题A，而是构造一个与A有关的辅助问题B，通过对问题B的研究，达到解决问题A的目的，这就是构造法。对于有些代数问题，可观察题目的数字结构特征，发掘其隐含的数或形的信息，借助于形式联想，巧妙地构造出几何图形，使问题在数形结合中，形象直观地获得解决。构造法解题过程的一条模式可用框图表示如下。

一、构造几何图形

例1 已知a，b，c，m，n，p均为正数，且满足a+m =b+n=c+p=k.求证：an+bp+cm＜k2.

分析1：本题的常规方法是用代数方法证明。注意到待证式的左边是三个数的和，每一个数都是两个正整数的积，这使我们联系到面积，于是可用构造法证明。如图1，构造边长为k的正方形ABCD，则S1=an，S2=cm，S3=bp，S正方形ABCD=k2.显然S1+S2+S3＜S正方形ABCD，即an+bp+cm＜k2.

分析2：上面我们通过构造正方形的方法证明了原不等式。如果把分别a+m、b+n、c+p分别看作三角形的三条边长，我们也可以通过构造等边三角形的方法证明。在证明过程中，要用到三角形的面积公式：S=[12]absinα（其中a、b表示三角形的两边长，锐角α表示a、b两边的夹角，证明过程留给学生们完成）。如图2，构

造边长为k的等边三角形DEF，在边DE、DF、EF上分别取一点K、M、N，使DK=a，FN=b，EM=c，则EK=m，DN=n，FM=p，连结KM、KN、MN.

易证S△DKN=[34an]，S△FMN=[34bp]，S△EKM=[34cm]，S△DEF=[34k2].

显然S△DKN+S△FMN+S△EKM＜S△DEF，即[34an]+[34bp]+[34cm]＜[34k2].

即an+bp+cm＜k2.

二、构造有理化因式

如果两个根式的和与积都为有理式，那么这两个根式互为共轭根式。如[a+cb]与[a-cb]（其中a，b，c表示有理数）是一对共轭根式。在解答二次根式有关的问题时，有时需要构造已知根式的共轭根式，然后再借助其他数学手段，使问题巧妙简捷地获解。

例2 已知c＞1，[x=c-c-1]，[y=c+1-c]，[z=c+2-c+1]，x、y、z则的大小关系是（ ）

A.x＞y＞z" " "B.z＞x＞y" " C. y＞x＞z" " D.z＞y＞x

解：∵（[c-c-1]）（[c+c-1]）=1，（[c+1-c]）（[c+1+c]）=1，（[c+2-c+1]）（[c+2+c+1]）=1，

∴（[c-c-1]）（[c+c-1]）=（[c+1-c]）（[c+1+c]）=（[c+2-c+1]）（[c+2+c+1]）.

而[c+c-1]＜[c+1+c]＜[c+2+c+1]，且[c+c-1]、[c+1+c]、[c+2+c+1]都是正数，

∴[c-c-1]＞[c+1-c]＞[c+2-c+1]，即x＞y＞z。答案选A。

从上面可以看出，构造法是一种创造性的解题方法，重在“构造”。在解答一些具有明显数字结构特征的问题时，如果能够根据题目特点，灵活构造几何图形求解，这样可以化腐朽为神奇，收到事半功倍，出奇制胜之效，对学生的多元思维培养，学习兴趣的提高以及独创钻研精神的发挥也大有裨益。