卫星椭圆轨道运行中加速度与向心加速度的关系及成因分析

［摘 要］学生在学习“万有引力与航天”专题时，常对卫星在椭圆轨道上稳定运行时，近地点和远地点的加速度与向心加速度相等这一现象感到困惑。文章从椭圆的数学特性、牛顿第二定律及卫星轨道能量等角度出发，深入分析卫星椭圆轨道的成因，并进一步探讨一般曲线运动的普遍规律。

［关键词］卫星椭圆轨道；加速度；向心加速度

［中图分类号］" " G633.7" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）32-0040-03

一、问题来源

（2024届全国八省八校T8联考高三第一次学业质量评价物理试题）2023年11月28日，中国载人航天工程办公室公布了神舟十六号拍摄到的我国空间站的照片和在空间站拍摄到神舟十六号撤离时的震撼画面。神舟十六号载人飞船于10月30日成功撤离空间站组合体，标志着中国空间站建设又六重要里程碑。空间站与神舟十六号飞船分离前按照如图1所示的运行方向在圆轨道③上做匀速圆周运动，空间站与飞船在[Q]点分离，随后飞船进入椭圆轨道②，逐步转移到近地轨道①，再寻找合适的时机进入大气层。不考虑飞船、空间站在太空中受到的阻力，下列说法正确的是（ ）。

A.神舟十六号飞船在[Q]点分离时需要启动自身推进系统，朝与运行方向相反的方向喷火

B.神舟十六号飞船在从[Q]到[P]的过程中机械能越来越小

C.神舟十六号飞船在轨道②、轨道③上分别经过[Q]点时的向心加速度相同

D.神舟十六号飞船在轨道②上经过[P]点时运行速度小于第一宇宙速度

本题正确答案为C，核心考点是卫星发射及变轨过程中各物理量的变化。针对C选项的解析如下：飞船在轨道②与轨道③上经过[Q]点时，均仅受地球万有引力的作用，因此这两点处的加速度相同，同时在轨道②上的[Q]点，飞船速度最小，切向加速度为0，向心加速度相同，故C正确。

学生在分析该题时主要存在以下两点误解：

②将离心运动和向心运动相混淆。人教版高中物理必修第二册第六章第四节“生活中的圆周运动”描述了离心运动：做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。但是物体没有飞出去，这是因为向心力在拉着它，使它与圆心的距离保持不变。一旦向心力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去。除向心力突然消失这种情况外，在合力不足以提供所需的向心力时，物体虽然不会沿切线飞出去，也会逐渐远离圆心[1]。此外，教师在教学中会引入“向心运动”的概念，指出当合力大于所需向心力时，物体会趋向于圆心运动。

在思维迁移的作用下，学生认为飞船在经过轨道②的[Q]点时做向心运动，万有引力大于向心力；而在经过轨道③的[Q]点时做匀速圆周运动，万有引力等于向心力。

虽然答案解析能为学生暂时解惑，但怎样才能做到严密地证明而让学生摆脱思维困扰呢？

二、理论分析

（一）椭圆轨道上的速度推导

如图2所示，环绕天体沿椭圆轨道绕中心天体运动，设中心天体的质量为[M]，环绕天体的质量为[m]，椭圆轨道的半长轴[OA=a]，半短轴[OC=b]，椭圆的焦距[OD=c]。远地点为[A]，速度大小为[vA]，近地点为[B]，速度大小为[vB]，距离[O]最近的点为[C]，速度大小为[vC]。

我们先研究近地点和远地点，根据开普勒第二定律可知[vA]（[a+c]）=[vB]（[a]-[c]）" " " " " " " " " " " " " " " " "（2）

根据引力势能公式和机械能守恒定律，可得

联立（1）（2）式可得

同理，可以求得[C]点的速度：

（二）应用数学方法求解椭圆轨道的曲率半径

以上椭圆曲率半径的极坐标形式公式，[ρ]由极坐标[r]唯一确定。

将[r=a]代入（11）式，可得[C]点的曲率半径

（三）应用牛顿第二定律分析加速度

1.近地点和远地点的加速度和向心加速度

根据牛顿第二定律，可知远地点[A]的加速度为

将（4）和（12）两式代入向心加速度的定义式得

远地点B的加速度为

将（5）和（12）两式代入向心加速度的定义式得

由以上分析可以得出结论：卫星在近地点和远地点时，向心加速度等于加速度。

2.卫星在短半轴交点的加速度和向心加速度

根据牛顿第二定律，分析图1中卫星在[C]点的加速度，即

方向由[C]点指向[D]点。

将（6）和（12）两式代入向心加速度的定义式

方向由[C]点指向[O]点。

将（18）式的加速度沿[CO]方向分解得

由以上分析可以得出结论：卫星在短半轴交点时，向心加速度等于加速度沿曲率半径方向的分量。进一步推理，可以得到：卫星沿椭圆轨道运行时，只有在近地点和远地点时向心加速度与加速度相等，其他位置向心加速度等于加速度沿曲率半径方向的分量。

（四）卫星运行轨道分析

据观测，卫星运行的轨道包括椭圆轨道、圆轨道，以及无法围绕中心天体运动的双曲线轨道。那么，这些不同的轨道形态由什么因素决定呢？

设质量为M的行星仅受质量为[m]的中心天体的万有引力作用（[M]≫[m]），以质心位置为参考系，系统的机械能为[E]，角动量大小为[L]（[Lgt;0]）。

以中心天体为极点，建立极坐标系（[r]，[θ]），由机械能守恒与角动量守恒得：

联立（21）和（22）式，具体推导详见《更高更妙的物理》[2]。

结合（23）、（24）和（26）式可知卫星运动的轨迹类型与[E]有关，分别分析如下：

②行星轨道的半长轴[a]只与行星的机械能有关，与角动量[L]无关，角动量[L]只影响椭圆轨道的偏心率[e]。对于给定的机械能，[L]不能取任意大的数值。根据（25）式势能曲线方程，[L]的极大值为

此时的轨道为圆轨道，当[L]的取值小于极大值时，对应的轨道为不同偏心率下的椭圆。如图3所示是利用Matlab软件模拟不同[L]小于极大值和等于极大值时的卫星运行轨迹。

（五）知识迁移与应用

如图4所示，物体以初速度[v]与水平面成[θ]斜向上抛出，不计空气阻力。以抛出点为[x]轴，最高点为[y]轴，重力加速度为[g]。

根据平抛运动规律，可知抛物线方程为

根据（7）式可知，最高点的曲率半径为

[an=g]" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " nbsp; " " " " " " " " " （30）

由此可得抛物线的最高点向心加速度等于重力加速度。

三、结论

回顾人教版高中物理必修第二册第29页的一般曲线运动受力分析（如图5）[4]，我们得知，物体做曲线运动时，所受合力按照作用效果可分解为径向分力和切向分力。其中，径向分力提供向心力，改变速度方向；切向分力则改变速度大小。

综上所述，我们归纳得出：物体在做曲线运动时，所受合力按照作用效果可分解为两个方向的分力——径向分力和切向分力。径向分力提供向心力，使物体产生向心加速度，从而改变速度的方向，切向分力则改变速度的大小。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]［4］" 人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书 物理必修 第二册[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]" 沈晨.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大学出版社，2017.

[3]" 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程：力学[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.