巧用常数代换法配凑基本不等式

使用基本不等式≤、bgt;0）的条件为“一正”“二定”“三相等”.运用基本不等式求最值，关键是配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.当两式的和为定值时，其积有最大值；当两式的积为定值时，其和有最小值.配凑基本不等式的方法很多，如常数代换法、配凑法、分离常数法等，其中常数代换法比较常用.

常数代换法常用于求解以下两种类型的最值问题.

1.已知正数x，y满足ax+by=1，若agt;0，bgt;0，mgt;0，ngt;0，求+的最小值.

其解题思路为：将+乘以“1”，并将“1”用“ax+by”替换，得+=+（ax+by）=am+bn++，由基本不等式可得+≥2=2，当且仅当=时取等号.

2.已知正数x，y满足+=1，若agt;0，bgt;0，mgt;0，ngt;0，求mx+ny的最小值.

可以仿照上一种类型的解题思路进行求解.将 mx + ny 乘以“1”，并将“1”用“ a x + b y ”替换，得 mx + ny = （mx + ny） æ è ç ö ø ÷ a x + b y = am + bn + any x + bmx y ，由基本不 等式可得 any x + bmx y ≥ 2 any x ∙bmx y = 2 abnm ，当且仅 当 any x = bmx y 时取等号.

在运用常数代换法配凑基本不等式时，要将已知 关系式化为“常数”，使其形如 a x + b y = 1或 ax + by = 1， 这样将“1”进行代换后与目标式相乘，即可构造出两 分式的和，而其积为定值，直接运用基本不等式就能 求得最值.

下面举例加以说明.

例1.已知正数x，y满足x+2y=1，求+的最小值.

解：

我们采用常数代换法，将“1”与 1 x + 2 y 相乘，并将 “1”替换成“ x + 2y ”，即可将目标式化为 5 + 2æ è ç ö ø ÷ y x + x y ， 此时 y x ∙x y = 1为定值，即可根据基本不等式求出最小值.

例2

解

总之，运用常数代换法可以快速配凑出基本不等 式，进而求得最值.但需要注意的是，常数代换法的适 用范围较窄，且在求得最值后，需检验取等号的情形 是否满足题意.

（作者单位：广东省江门市培英高级中学）