灵活运用张角定理，快速解答三角形问题

张角定理在平面几何中应用广泛，常用于求解有关三角形的问题，如求三角形的边、角及其关系，求三角形的面积、周长，求参数的取值范围等.

如图，在 ΔABC 中， D 是 BC 上的一点，连接 AD ， 则 sin ∠BAC AD = sin ∠BAD AC + sin ∠CAD AB .这就是张角定 理，特别地，当 AD 平分 ∠BAC ，即 ∠BAD = ∠CAD 时， 有 2 cos ∠BAD AD = 1 AC + 1 AB .

证明

仔细研究，可以发现 ∠BAD、∠CAD 均为顶角 ∠BAC 的一部分，且 ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD ，AB、AC 为三角形的两条邻边，AD 为过三角形顶点的一条线 段，且这三条线段都过顶点 A .运用张角定理解答三角 形问题，需首先确定顶点，以及过同一个顶点的三条 直线或线段；然后确定过三条直线（线段）所夹的三个 角；再找出对应的边角，建立关系式.运用张角定理，可 以快速建立三角形的两条边、顶角，以及过顶点的线 段之间的关系，再结合正余弦定理、三角函数的基本 公式，即可快速求得问题的答案.

例1

解

由题意可知，AB、AC、AD 均过三角形 ABC 的顶 点 A ，且 ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD ，由张角定理即可得 2 cos ∠BAD AD = 1 AC + 1 AB ，再根据余弦定理求得 AC ，即 可快速求得 AD.

例2

解

由题意可知 BD 为 ΔABC 内部的一条直线，且过 顶点 B ，于是根据张角定理得出 sin ∠ABC BD = sin ∠ABD BC + sin ∠CBD AB ，据此建立关于 a、c 的关系式 1 = 2 3 ⋅ æ è ö ø 1 c + 1 2a ，然后通过“1”的代换配凑出两式的和，利用 基本不等式求出最值.

总之，运用张角定理解答有关三角形的问题，要 注意：（1）找准顶点，寻找三条过同一个顶点的线段以 及其所在的三角形；（2）根据张角定理建立边、角关系 式；（3）灵活运用数形结合思想，以提升解题的效率.

（作者单位：江苏省盐城经济技术开发区中学）