以课程标准和高考评价体系为导向命制圆锥曲线压轴题

本次命题以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》和《中国高考评价体系》为导向，通过对教材多道例（习）题及其背后的数学文化等进行深层次的挖掘分析、整理融合，力争该题能促进教、学、考有机衔接，保证该题含基础性、综合性、应用性、创新性等多方面的考查，注重学生数学学科核心素养的形成和发展过程，最终形成了集韦达定理、设而不求、定点、定直线、定值（定比例、定乘积）、非对称性韦达定理、类准线、齐次化、数学文化等热点问题于一题的圆锥曲线压轴题.

1 试题内容

已知A，B两点的坐标分别是（0，3），（0，－3），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的积是－34，点M的轨迹是C，过点N（0，1）的直线l交C于点P，Q，设直线PA的斜率为k1，直线QB的斜率为k2.

（1）求C的轨迹方程；

（2）证明k2k1为定值，并求出该定值；

（3）设PA和BQ的交点为E，求当∠AEB最大时点E的坐标.

2 命制过程

本次命题来源于实际教学中发现的问题，如第（1）问来源于人教A版（2019）选择性必修第一册第108页例3，即圆锥曲线中常见的斜率之积为定值的问题;第（2）问来源于第109页练习的第4题，是斜率之商为定值的问题，不过轨迹是直线.于是引发了思考：圆锥曲线中是否有斜率之商为定值的问题？通过Geogebra动态演示，发现了圆锥曲线中也有斜率之商为定值的系列结论，并且通过计算还发现利用到了圆锥曲线中的常规方法及其高阶版本，如韦达定理和非对称性韦达定理.第（3）问来源于人教版必修《数学5》第113页B组第2题及2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷理科）第20题，考查最大视角问题，目的是为了突出数学的实际应用价值.

为了找到一般性的规律，本题第一稿题目如下：

双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右顶点分别为A，B，过点M（t，0）（tgt;a）的直线l交该双曲线C于点P，Q，设直线PA的斜率为k1，直线QB的斜率为k2.

（1）证明k2k1为定值，并求出该定值；

（2）设PA和BQ的交点为N，求N的轨迹方程；

（3）证明NM和BQ的斜率之商为定值；

（4）求当∠MNB最大时点N的坐标.

3 试题分析

第（1）问为常规轨迹问题求解，同时也是圆锥曲线统一定义下的性质考查，学生较为熟悉，是基础知识的考查.该问题来源于人教A版（2019）第108页的例3：

如图1，设A，B两点的坐标分别为（－5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49，求点M的轨迹方程.

第（2）问依据《中国高考评价体系》，理顺教考关系，实现“以考促教、以考促学”的目的，引导师生共同深入挖掘课本知识，促进学生形成完整的知识体系，具有较高的综合性和应用性，对学生思维能力、计算能力以及逆用结论的能力等要求较高.该问题来源于上述例3和人教A版（2019）选择性必修第一册第109页的第4题，不过是这两道题结论的逆向运用.

（第109页练习第4题）已知A，B两点的坐标分别是（－1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是２，点M的轨迹是什么？为什么？

第（3）问丰富和延伸了高考真题（2022年全国甲卷理科第20题）的考查内容，还突出了与数学文化（米勒圆最大张角定理）的联系，体现数学的应用价值，强化数学思想方法的渗透，与数学思想方法密切联系.该问题来源于人教版必修《数学5》第113页B组第2题：

如图2，树顶A离地面a m，树上另一点B离地面b m，在离地面c m的C处看此树，离此树多远时视角最大？

根据以上分析，形成如下思维导图，如图3和图4.

试题详细解析过程略，可扫码查看.

4 试题实际测试情况和原因分析

本次测试满分12分.第（1）问2分，后两问各5分，

共32人参加测试，

具体得分情况如表1所示.

学生解答中出现的主要问题有：没有考虑分母不为零的情况，将k2k1代数化后对非对称性问题处理能力不足，圆锥曲线中夹角的处理方法欠缺和计算能力不足等.

5 命题体会

（1）依据课程标准，发挥引导作用

本题贯穿高考内容改革要求，依据高中课程标准，进一步增强考试与教学的衔接，引导学生形成学科知识系统，注重本原性方法，强调对通性通法的深入理解和综合运用，促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构.

（2）突出与教材的联系，加强教考衔接

本题来源于教材却高于教材，是对教材最好的利用，让学生明白教材才是最好的学习资料，忽略教材的学习将会变得盲目.

（3）突出和高考真题的联系，体现考试的传承性

本题是高考题型的补充，丰富和延伸了高考真题的考查内容，体现考试的传承性.如与本题联系较为紧密的高考题有2005年浙江高考理科数学第17题、2010年江苏高考理科数学第17题以及2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷理科）第20题.

（4）突出与数学文化的联系，体现数学的应用价值

本题第（3）问是德国数学家米勒提出的最大视角求解问题，它是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题因而引人注目，该类最大视角问题的研究有着实际价值.

（5）突出圆锥曲线的一般研究规律，融合热点问题

本题是基于线段和角度（斜率）的一系列圆锥曲线问题，对圆锥曲线中有关斜率之商的一类问题不断进行深入研究，完善了教材中的斜率之积问题，同时圆锥曲线的热点问题也一一得到展示.

（6）突出考查数学学科核心素养，发挥选拔功能

本题强化数学思想方法的渗透，如转化与化归思想、函数与方程思想等，增强思维的灵活性，深入考查学生的数学学科核心素养，助力提升学生综合素质，发挥考试的选拔功能.

Z