在多元表达中发展学生的推理意识

2022年版课标新增“推理意识”这一核心词。推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟，是推理能力的初级阶段，主要是让学生经历初步的逻辑推理过程，基于经验的感悟，形成初步的意识，既能进行合情推理，又能进行初步的演绎推理[1]。培养推理意识有助于学生养成讲道理、有条理的思维习惯，而乘法分配律是运算教学中普遍应用的规律，具有丰富的内涵。在教学过程中，鼓励学生运用不同的数学表达方式对乘法分配律进行解释与说明，对增强他们的交流能力、发展推理意识，具有明显的促进作用。

一、在操作活动中感悟归纳推理

归纳推理，是从特殊到一般的推理，即依据一类事物中部分对象的相同性质，推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法[2]。归纳推理是小学阶段主要的推理方式[3]。

本节课，先让学生动手操作求“一共有多少个方格”，在“分”与“合”的解决过程中，初步感悟“分配”的道理。

师：拿出学具袋中的方格卡片，算一算，一共有多少个方格？请列综合算式解答。（如图1）

生：我是分别算蓝色和黄色的方格，再相加，列式为2×6＋3×6＝30（个）。

生：我把两幅方格图拼起来看，蓝色2列，黄色3列，一共是5列，每列6个，列式为（2＋3）×6＝30（个）。

师：还有其他拼法吗？

生：我是把黄色方格图平着放在上面，蓝色方格图放在下面，每行6个，一共5行，列式为6×（2＋3）＝30（个）。

生：我觉得这两种拼法是一样的，都是拼成一个更大的长方形。

生：我也觉得是一样的，都是把长度相同的6个方格拼在一起。

师：同学们不仅用了分开求和合并求两种方法解决问题，还发现了“拼”的奥秘，那么为什么方法不同，结果却相等呢？

生：因为无论分开求还是拼起来求，方格数都没有变。

生：无论用什么方法，都是求一共有多少个方格，所以结果一定相等。

[教师板书：（2＋3）×6＝2×6＋3×6]

师：像这样的等式你还能写吗？想一想方格图，再写一写！

（学生写出算式，教师巡视。举例略）

（教师板书：学生列举的3～5个等式）

师：观察这些等式，你有什么发现？

生：我发现等式左边都有括号，两边都有乘号和加号。

生：我发现左边都是先加后乘，右边都是先乘后加。

生：我发现括号外面的数就是右边式子中那个相同的乘数，也就是用来“拼”的边上的格数。

师：你能尝试用字母写出自己发现的结论吗？

生：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

师：没错，我们通过观察一些等式的特点，提出了猜想，得到了一个一般性结论，这就是乘法分配律。

[教师板书：乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c]

通过“算”“拼”“写”“看”“说”等数学活动，学生经历了利用不完全归纳法逐步抽象、概括得到乘法分配律的完整过程；通过回答“为什么方法不同，结果却相等呢”等问题，在表达交流中领悟乘法分配律的道理；在等式举例的过程中，体会无论算式中的数怎样变化，等式仍然成立。在充分举例的过程中，学生积累多个相同的经验，并在经验中发现规律，为逐步从几个特例的共性中提炼一般性的结论打下基础，并感悟归纳推理在探索思路、发现结论中的重要作用。

二、在应用迁移中领会类比推理

类比推理，是从特殊到特殊的推理，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法[2]。类比既可以是结论的类比，也可以是方法的类比[1]。

在上一环节，虽然学生已经得到一般性的结论，但他们是利用不完全归纳法得到的，这个过程是合乎情理却又不那么严谨。本环节，通过解决实际问题，学生从不同角度再次说理，为乘法分配律意义的构建和理解提供丰富的直观经验。

师：上衣46元，裤子54元，买28套服装，一共要多少元？请尝试用不同方法解决。（如图2）

生：可以先算1套服装的价钱，再乘套数，列式为（46＋54）×28＝2800（元）。

生：也可以分开求28件上衣和28条裤子的价钱后再相加，综合算式为46×28＋54×28＝2800（元）。

[教师板书：（46＋54）×28、46×28＋54×28]

师：这两个算式相等吗？说一说你是怎么想的。

生：这两个算式相等，因为答案都是2800元。

生：虽然方法不同，但都是求28套服装的价钱，所以是相等的。

生：写成等式为（46＋54）×28＝46×28＋54×28，满足乘法分配律。

师：谁能完整说一说，这个等式为什么成立？

生：算买28套服装要用多少钱，可以分开求上衣和裤子的价钱再相加，也可以先求1套衣服的价钱，再乘套数。因为都是求28套服装的总价钱，所以（46＋54）×28＝46×28＋54×28。

[教师板书：（46＋54）×28＝46×28＋54×28]

师：这个同学能用上“因为……所以……”，把自己的想法表达得非常有条理，如果把题目中的衣服、裤子换成铅笔、尺子，铅笔的单价是5.4元，尺子的单价是4.6元，要买28套，求一共要多少钱，不计算，你还能写出一个等式吗？

生：我列出的等式是（4.6＋5.4）×28＝4.6×28＋5.4×28。

[教师板书：（4.6＋5.4）×28＝4.6×28＋5.4×28]

师：你同意他写的等式吗？说说你的想法。

生：他说得对，因为可以先算1套的价钱再乘28，也可以分别算28支铅笔和28把尺子的价钱再相加，所以可以写成这样的等式。

生：因为和买服装的问题一样，两种不同的方法，但是都是求一共多少钱，所以等式成立。

生：这个式子满足乘法分配律，只是里面有小数。

生：小数乘法虽然还没学，我不会算4.6×28＋5.4×28，但我会算（4.6＋5.4）×28＝280（元），所以4.6×28＋5.4×28也等于280元。

师：同学们把自己的想法说得真清楚，通过举生活中的例子，不仅可以证明乘法分配律是成立的，还能发现乘法分配律在小数中也适用。

（教师板书：生活实例）

师：再来看另外一个例子，如图3，安乐小学操场上原来有一个长3米、宽2米的长方形沙池，扩建后，宽不变，长增加1米，现在的沙池面积有多大？你可以用几种方法解决？

生：我会用两种方法，可以用原面积加上扩建后的面积，即3×2＋1×2，也可以直接求扩建后的总面积，看图发现，扩建后宽不变，为2米，长为（3＋1）米，所以列式为（3＋1）×2。

师：不计算，这两个算式相等吗？

生：我认为是相等的，因为都是求扩建后的沙池面积。

生：因为等式左边算的是现在的面积，等式右边算的是原来面积加上扩建的面积，也就是现在的面积，所以相等。

生：看图3，大长方形的面积就是黄色长方形的面积加上绿色长方形的面积呀！

[教师板书：（3＋1）×2＝3×2＋1×2]

师：除了举生活中的例子，结合几何模型，也能说明乘法分配律是成立的！

（教师板书：lt;E：＼小教数学＼24年10月小教数学＼202410-16-004.jpggt;几何模型）

师：其实一个标准沙池的宽应该增加0.75米，如果这个沙池长不变，还是3米，宽在2米的基础上增加0.75米，现在这个沙池的面积是多少呢？你能试着画一画图，直接写出一个等式吗？

生：（图略）等式是（2＋0.75）×3＝2×3＋0.75×3。

[教师板书：（2＋0.75）×3＝2×3＋0.75×3]

师：观察这个等式，你有什么发现？

生：我发现这个等式满足乘法分配律，只不过中间有小数。

师：小数乘法，我们还没有学习，如果不计算，你们觉得这个等式会成立吗？

生：我认为是成立的。因为等式两边其实都是在算扩建后的沙池面积，只不过等号左边是合起来算的，等号右边是分别算再相加的。所以等式两边一定是相等的。

师：通过列举生活中的例子、看几何模型，我们类比发现，乘法分配律在小数中也同样适用，也就是说，无论是整数还是小数，乘法分配律都是成立的。

借助生活经验和几何直观，是小学阶段帮助学生理解数学知识的两种重要策略。结合购买衣服、沙池扩建等具体情境，学生进行说理，为上一环节的不完全归纳推理提供了形象直观的理解支撑，并以此为脚手架，通过将同一情境中的整数换成小数，鼓励学生利用已有经验进行有效迁移，解释乘法分配律在小数中同样适用，领悟类比推理的思想方法。

三、在算理解释中渗透演绎推理

演绎推理是指从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算，得到某个具体结论的推理[4]。

在前面的环节中，学生积累了丰富的归纳推理和类比推理的经验，对乘法分配律的意义有了一定的认识，但培养学生的推理意识，仅仅有合情推理的经验是不够的。本环节引导学生利用乘法意义再说理，适时渗透演绎推理。

师：乘法分配律还可以这样推理，（如图4）你能看懂吗？

生：我看懂了，2×6就是2个6，3×6就是3个6，它们加起来就是5个6，也就是（2＋3）个6。

[教师在等式（2＋3）×6＝2×6＋3×6下面对应板书“2个6”“3个6”“（2＋3）个6”]

师：你说得真有条理，从乘法意义的角度也能说明等式成立。你能再写一个等式，并说一说为什么成立吗？

（学生举例，教师巡视。举例略）

师：观察这些例子，你有什么发现？

生：我发现算式要能转化成相同的加数，如果像2×6＋3×7这样，算式就无法继续了。

生：是的，就是算式中有相同的乘数，才能进一步写成相同的加数相加。

生：我发现相同的乘数是几，接下来改写的加数就是几，比如2×6＋3×6，相同的乘数是6，所以我就转化为几个6相加。

师：你说得真清楚。无论相同乘数是几，这样的合并都是成立的。如果老师在原来的算式后面再加上4×6，你能把推理的过程补充完整吗？

（教师在“2×6＋3×6”后面板书“＋4×6”）

生：就在后面再加上（6＋6＋6＋6），这样一共就有9个6了，也就等于9×6。

生：其实就是2个6加3个6再加4个6，一共是9个6，也就是（2＋3＋4）个6。

[教师板书：（2＋3＋4）×6＝2×6＋3×6＋4×6，并对应板书“2个6”“3个6”“4个6”“（2＋3＋4）个6”]

师：只要有相同的乘数，后面加几项都行。

[教师板书：lt;E：＼小教数学＼24年10月小教数学＼202410-16-007.jpggt;乘法意义]

基于已知探索未知。虽然学生完成的是“几个具体的数”的相关命题证明，但以上的推理过程实质上就是在演绎推理。在这个过程中，学生联系乘法意义，经历了“看懂”“举例”“说理”“迁移”四个步骤，进行了合乎逻辑的“说理”，明白了乘法分配律可以从两项相加迁移到多项相加形式的道理。虽然四年级的小学生受思维特点的影响，完成严格意义上的“演绎推理”还比较困难，但通过以上环节，有意识地让学生经历演绎推理的过程，有益于培养学生“有条理地思考，有根据地表达”的习惯。

四、在联系比较中沟通不同的推理形式

对于运算律的学习，不同的推理形式有自身的优势和作用。通过运用简单的归纳推理与类比推理，学生猜测并初步发现了结论，结合乘法与加法运算的意义以及法则运用，学生又体验了从一般到特殊的逻辑推理过程。在此基础上，还应引导学生对不同的推理方式进行联系与沟通，对自己及他人的数学表达过程，给出合理的解释或“转译”，促进学生对乘法分配律形成深度理解。

师：千金难买回头看，我们一起回过头来。（逐步展示图5，与学生一起梳理学习过程）通过对这些方格卡片的“分”与“合”的操作过程，我们发现了这样形式的等式，初步得到了乘法分配律的猜想。紧接着，通过联系生活中的事例，我们发现乘法分配律不仅在整数范围内适用，在小数范围内同样适用。最后，我们又从乘法与加法运算意义的角度，对这一规律进行解释，确定乘法分配律是成立的。

师：我们用画图、举例、算理解释等不同的方式，都可以说明乘法分配律是成立的。请大家认真观察，这些不同的表达方式之间，有什么联系吗？

生：我发现方格图和面积图是一样的，都是用求长方形面积的方法来解释乘法分配律。

生：我觉得不论是画图还是举例子的方法，都可以用乘法的意义来解释，也就是“几个几”加“几个几”，合起来是“几个几”。

师：他的意思，你们能听明白吗？

生：我能明白，如沙池这幅图，（如图5）就是3个2加上1个2，合到一起就是4个2。如果在长方形里面加上方格，就和上面这个格子图的方法是一样的。

师：看来，这些数学表达的形式虽然有所不同，但实际上是一样的，方法之间还是有着密切联系的。

师：今天，我们一起研究了乘法分配律。其实，对乘法分配律，我们可不是第一次见到。请大家认真观察，在以前的学习过程中，你能找到乘法分配律的影子吗？（如图6）

生：我可以在点子图中找到，6×5＋6×2其实就等于6×（5＋2）。

生：我也能够找到，6×4＋6×3=6×（4＋3）。

生：我能够在竖式的计算过程中，找到乘法分配律的应用。这个竖式的计算过程，如果改写成乘法分配律的形式，就是114×（20＋1）=114×20＋114×1。

师：同学们很善于观察和思考，很有数学眼光，能够从原来所学的内容中发现今天学习的新知识，为你们点赞。

本节课，推理意识的培养贯穿在多种数学活动中，教师借助丰富的素材，鼓励学生通过操作、画图、举例以及算理解释等多元表达方式，在操作活动中说理，在应用迁移中辨理，在算理解释中明理，经历了“猜想—验证—解释”的推理过程，在感悟不同推理形式的同时，达到了对运算律的深度理解，发展了推理意识。

参考文献：

[1]孙晓天，张丹.义务教育课程标准（2022年版）课例式解读（小学数学）[M].北京：教育科学出版社，2022.

[2]王永春.小学数学核心素养教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[3]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[4]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社，2014.

【本文系广东省教育研究院2022年度教育研究课题中小学数学教学研究专项课题（重点课题）“基于问题引领的小学数学深度教研模式实践研究”（课题批准号：GDJY-2022-M-a3）的阶段性研究成果之一】

（作者单位：广东深圳市宝安区安乐小学，深圳市宝安区教育科学研究院）[WK]