像数学家一样探究，在探究中积累经验、发展经验

荷兰数学家弗赖登塔尔认为：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，即由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是协助学生进行知识的再创造，而不是把现成的知识教给学生。这是一种最自然的、最有效的学习方法。

教师如何设计教学，才能引导和帮助学生把要学的东西自己去发现或创造出来？下面以“圆的认识”一课为例进行探讨。

一、学生发现或创造新知的基础分析

（一）教学内容分析。

“圆的认识”安排在六年级上学期进行教学。在这一内容学习之前，学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形及其特征，还认识了长方体和正方体等立体图形及其特征，对圆已有初步认识。

本节课的知识技能目标是：认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。其中圆的基本特征包括：圆的边是曲线，圆有一个圆心、无数条半径、无数条直径，直径与半径的关系等。

这里主要涉及两方面的新知：用圆规画圆和圆的基本特征。按照让学生探究发现或创造新知的路径，需要学生自己发现用圆规画圆的方法，发现圆的基本特征，其中的难点是学生自己发现圆的基本特征。

（二）活动经验分析。

1.学生已有的研讨图形特征的活动经验。

新知的发现和创造都建立在已有经验基础上。为此，需要分析学生研究“图形的认识”的已有经验是什么，根据原有经验能否发现新知。

前期学生学习研究图形特征一以贯之的方法基本是：确定图形的关键部分，数关键部分的数量，看关键部分的形状，找关键部分之间的关系。

以长方形的特征和长方体的特征为例，认识图形特征的方法与发现的图形特征对应情况如表1。

2.学生依据经验发现圆的特征的活动分析。

在学生已经研究的图形中，图形特征所涉及的关键部分都是图形的组成要素，一眼就能看到。与其他平面图形的特征有所不同的是，圆的关键部分圆心、半径、直径都是看不到的，是隐性存在的。因此，学生如果依据已有经验，很容易发现圆是曲线图形，但较难发现圆心、半径、直径等关键部分，也较难感受其关键作用。而圆心、半径、直径等与圆的位置、大小密切相连，可以通过设计画圆的活动任务，让学生在活动中感受并发现看不见的关键部分。与此同时，关联图形的测量，让学生感受图形的认识与测量之间的密切联系。

二、学生发现或创造新知的支架设计

支架分为经验回顾和任务驱动两个方面。

（一）支架一：探究图形特征的经验回顾。

回顾和提示研究图形特征的方法：确定图形的关键部分，数关键部分的数量，看关键部分的形状，找关键部分之间的关系。

（二）支架二：画圆任务。

画圆活动目标不仅指向画圆技能，更指向圆的特征。为学生提供发现圆特征的支架，由易到难设计了三个层次的画圆任务。

第一层次，通过用喜欢的物品画圆，支撑学生发现圆的特征之一：圆是曲线图形。

第二层次，用圆规画圆，发现画圆的策略方法，并体会圆的形成过程，感悟除了看得见的部分，还有一些看不见的部分（圆心、半径、直径）对于圆的形成很关键。

第三层次，画与老师发的圆片同样大小的圆，再次感悟看不见的圆心、半径、直径不仅是圆形成的关键部分，还与圆的测量密切相关，这些与测量密切关联的部分也是图形的关键部分。

在活动中积累新的活动经验：研究图形特征时，有的关键部分可能是看不见的，决定图形大小、形状的部分应成为研究图形时需要关注的关键部分。

最后融入新的活动经验，完善对圆特征的探讨。

设计任务支架与发现新知的关系如图1所示：

分：圆是曲线图形][用圆规画圆][画与老师发的圆同样大小的圆][看不见的关键部分：圆心、半径、直径等][形成并发展新经验、方法][回顾并应用旧经验、方法][发现][初步感悟][圆心、半径、直径等的数量、关系等特点][关联测量发现][发现]

图1

三、前置探究，学生像数学家一样独立思考新问题

将支撑学生发现新知的支架设计以前置探究单的形式呈现，学生课前独立完成。探究单的任务是：画圆和寻找圆的特征。这两项任务学生从未学习过，对学生而言，就是新问题，学生完成任务如同数学家面临人类的新问题一样。

对新问题的探究，需要时间和精力。因此，前置探究的完成时间是上课前一天，学生独立思考、尝试解决问题。目的是保障学生不受同伴影响，能依据兴趣和需要，拥有充分的时间和空间自主解决问题。

探究单设计如下：

[“圆的认识”前置探究

1.用喜欢的物品画圆。你使用的物品是：""""""。

2.尝试用圆规画圆。使用圆规画圆，你有什么诀窍？

3.研究图形特征的方法：找图形的关键部分，数关键部分的数量，看关键部分的形状，找关键部分之间的关系。

按照这样的方法，请你写一写圆有什么特征。

4.想办法画一个和老师发的圆片同样大小的圆。（说明：不能印画）

独立探究后我的发现：

。

独立探究后我的困惑：

。]

在独立完成探究任务的过程中，学生体会画圆的方法，探索和发现圆的特征，感悟圆的特征与测量之间的关联。

四、课堂探究，学生像数学家一样讨论交流发现新知

（一）回忆旧知，唤醒研究经验。

师：大家学过哪些平面图形和立体图形？

生：角、长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形、长方体……

师：谁能举例说说对某个图形的认识？

生：长方形有4条边、4个角，4条边都是直的且对边相等，4个角都相等，都是直角。

生：长方体有6个面、12条棱、8个顶点，6个面都是长方形（也有可能有2个面是正方形），相对的面形状、大小都一样，相对的棱互相平行且相等。

师：想一想，我们是用什么方法认识这些图形的呢？

生：找图形的关键部分，数关键部分的数量，看关键部分的形状，找关键部分之间的关系。

教师相机出示表2，结合实例帮助学生回顾认识图形的经验、方法。

表2

[找关键部分数数量看形状找关系长方形边4条直对边相等角4个直角四个角都

是直角......]

（二）探索画圆方法，初步体会圆的特征。

1.欣赏生活中的圆，并揭示课题——圆的认识。

2.用自己喜欢的物品画圆。

同桌交流前置探究时选用什么物品画圆，方法怎样，教师请部分学生分享自己的作品，作品略。

师：同学们介绍用来画圆的物品有很多：硬币、水杯底座、笔套、尺子里的圆孔……为什么你们不像以前画长方形等图形一样，使用直尺呢？

生：因为圆的边不是直的。

3.用圆规画圆。

（1）反馈前置探究时遇到的困惑。

师：圆的边是曲线，因此人们使用了一种新的工具画圆，这就是圆规。昨天在家里，同学们已经尝试使用圆规画圆，我们一起看看大家遇到的问题。（如图2）

（2）交流使用圆规发现的方法。

师：在使用圆规画圆时，有没有什么诀窍？

学生先四人小组交流，再依据前置探究情况选取代表性观点进行分享。

生：我的诀窍是尖的那头不动，只动铅笔那头。

生：使用圆规画圆时，我先固定中心点，画时将纸拖动。“纸动笔不动”。

生：拖动纸转太麻烦了，用手握住圆规上的把手转动。

生：我要提醒大家，用圆规的针尖固定住中心点，转动时两脚张开的角度不能改变。

生：圆规的尖头固定在纸上，再用有铅笔那头转一圈，转的时候不要变大又变小。

在交流的基础上，师生共同演示并总结用圆规画圆的规范方法。教师请学生再次练习用圆规画圆，总结画圆的关键：圆规针尖所在的点不能移动，圆规两脚张开的大小不能变。

（三）探索圆的特征，画圆中感悟圆的特征。

1.运用活动经验探索圆的特征。

师：根据我们之前认识图形的方法，你能说说圆有什么特征吗？

学生在交流的基础上进行全班分享。

生：圆没有角，是一个封闭图形，也没有边。

生：圆没有角，四周是弧形，它有边，只不过是弧形的。

生：（如图3）我也同意圆是有边的，像是有许多短短的小边，光滑地挨在一起。

师：大家都发现圆没有角，圆的边与之前我们认识过的图形不一样，它的边是曲线，并且是封闭的。

生：圆有无数条高，不管怎么转，它都有条高。

生：我认为圆的关键部分是中间，只有一个关键部分在中间。

师：大家还认为圆有无数条高，最关键的部分在中间。

2.讨论画圆中，感悟圆的关键部分。

（1）讨论分享课前探究：如何画一个和老师发的圆同样大小的圆？

（2）小组交流、展示汇报、生生互动。

生：量出老师发的圆片的上、下、左、右四端的长度，再按照量出来的长度画一个相同的圆。

生：量出来这个长度，该怎么画这个圆呢？

生：（如图4）可以按这个长度画很多条线，再将线的两边（端）的点连起来。

生：还可以按照这个长度的一半，用圆规画圆。

生：我有更简单的方法：找中心、定长度、再画圆。可是我不知道怎么找中心。

生：（如图5）可以把圆对折再对折，就能找到中心，再把圆规打开一样的长度就可以画出和老师发的圆同样大的圆了。

（3）再次尝试画和老师发的圆同样大小的圆。

3.再次探究圆的特征。

（1）再次思考圆的关键部分。

师：通过画和老师发的圆同样大小的圆，你认为圆还有哪些关键部分？

生：圆的中心很重要。

生：圆心到边缘的这条线很重要，否则就画不出同样大小的圆。

生：圆的上、下、左、右四端的长度很关键。

师：很好，你们已经发现了看不见的圆的关键部分，这些关键部分的名称是什么呢？同学们可以打开书来看。

（2）借助教材，指导学生完整、清晰地建立圆心、半径、直径的概念。

（3）再次探讨：这些看不见的关键部分的数量、形状、关系是怎样的？你是怎样知道的？（略）

（四）练习（略）。

（五）总结。

师：想一想，后续可能还要学习圆的什么知识？

生：圆的面积、周长。

师：猜测一下，圆的面积、周长可能与什么有关？

生：应该会和半径、直径有关，直径就像高一样。

师：我们为什么要研究关键要素之间的关系？

生：知道了关系就可以通过一个部分计算出另一个部分了。

师：通过本节课的学习，如果再给你一个新的图形，你会研究吗？如何研究？

生：先确定关键部分，关键部分可能看得见，也可能看不见；再数各关键部分的数量，看关键部分的形状，找关键部分之间的关系。

总之，教学中，教师要把解决新问题的机会留给学生，搭建探究支架，鼓励学生像数学家一样探究，在思维碰撞中发现新知、解决问题。同时，鼓励学生长期坚持深入思考，积累经验、运用经验、发展经验，建立起结构化的知识体系和认知体系，发展核心素养。

（作者单位：广东中山市教育教学研究室）[WH]