经历丰富的建模过程有效提升核心素养

后测思考：

人教版教材六年级上册在第三单元“分数除法”内容的最后安排了例7“工程问题”的分析与解答，这类较为特殊的实际问题的编排，并不是要我们去教学各种各样的“工程问题”，而是要借此让学生经历自主探究、合作交流等解决问题的过程，理解和掌握运用假设尝试、估算分析、合理计算等方法解决问题的基本策略，使学生有效体会模型思想。2022年版课标中的“模型意识”作为核心素养之一，要求我们在教学中引导学生用模型思想理解数学的抽象模式，经历与体会数学化的过程，从而更好地学习数学概念的形成、发展和应用。然而，现实的教学效果还是不尽如人意。自己对本地区城镇、乡村12所不同小学78个班级的2969名六年级学生（学完“分数除法”这个单元后）进行了有关“工程问题”的后测，情况如表1：

初步结论是：有相当一部分学生的审题能力比较差，在解决问题时缺乏估算意识和方法，以“工程问题”解法的形式记忆替代了数学信息的分析和数学模型实际意义的理解，不善于运用数量关系解决数学应用问题，对解决问题后的结果又不能自觉地进行回顾与反思来确定其正确性。教师在教学中也是一味追求解决问题的顺向性和单一性，没有很好地引导学生去发现问题，大胆质疑，寻找新旧知识的生长点，在不断探索中逐步发现解决问题的方法。

教学实践：

一、创设情境，提出问题——感知“工程问题”现象

师：同学们，分数知识和计算在我们的生活实际和生产中应用很多。今天我们继续用这些分数的知识和有关分数乘除法计算的方法来分析、解决有关分数应用问题。

出示：1.加工一批零件，计划5小时完成。

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2.修建一条公路，修路队每天完成这项工作的[18]。"""""""？

师：根据已有的数学信息，请同学们先进行联想，再提出数学问题，并进行简要的回答。

生：根据“加工一批零件，计划5小时完成”，可以提出“平均每小时完成这批零件的几分之几”，是[15]。

生：还能提出“2小时完成这批零件的几分之几”，是[25]。

生：根据“修建一条公路，修路队每天完成这项工作的[18]”，可以提出“完成这项修建工作需要多少天”，是8天。

生：还可以提出“3天能完成这项工作的几分之几”，是[38]。

生：还可以提出“要完成这项工作的[58]，需要多少天”，列式是[58]÷[18]=5（天）。

师：大家都说得很具体、很完整，说明同学们对工作总量、工作时间和工作效率之间的数量关系掌握得比较好。那么，谁来说说这三种量之间的数量关系呢？

生：工作效率×工作时间=工作总量，也可以说工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量÷工作效率=工作时间。

师：是的。刚才我们对工作总量、工作时间和工作效率之间基本的数量关系进行训练和解决简单的数学问题。但在我们的生活实际和生产中还有比较复杂的数学问题。

出示教材第40页例7：一条道路，如果甲队单独修，12天能修完；如果乙队单独修，18天能修完。

师：现在你们又能提出什么不同的数学问题呢？

生：甲队每天能够修这条道路的几分之几？乙队每天能够修这条道路的几分之几？

生：甲队每天比乙队每天多修了这条道路的几分之几？

生：如果两队合修，多少天能够修完？

师：大家提出数学问题的水平很高，相信前面的三个问题大家很快能够回答，谁来告诉大家？

生：甲队每天能够修这条道路的[112]，乙队每天能够修这条道路的[118]。

生：对于“甲队每天比乙队每天多修了这条道路的几分之几”，列式是[112]-[118]，结果是[136]。

师：很好。现在就来研究解决“如果两队合修，多少天能够修完”这个问题，这就是我们今天重点研究的数学问题——“工程问题”。

【反思】解决“工程问题”的基本数量关系还是工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系，只是题中没有给出具体的工作总量。而学生的数学学习过程是新知同原有认知结构中的有关知识和方法相互作用、有效重组，发展新的数学认知结构的过程。因此，在新课伊始，教师既要引导学生进一步加强熟练运用三个量之间的关系解决具体实际问题，又要对这三个量之间的关系进行及时的归纳总结，为新旧知识的连接和新知识的生长创造必要的条件。

二、判断选择，探究新法——明确“工程问题”的特征

师：根据我们知道的数学信息和要解决的数学问题，现在老师给大家提供了6种不同的结果，请大家认真地合作研究，先找出哪些结果肯定是错误的。

师出示：①18天；②15天；③12天；④9天；⑤7.2天；⑥6天。生进行合作探究活动。

生：我认为18天和12天都是错误的。因为这条道路，甲队单独修只要12天就能够完成，乙队单独修只需18天就能完成，那么甲、乙两队合修，肯定不是18天和12天修完。

生：肯定比18天要少，也肯定比12天要少，所以15天也是错误的。

生：9天也是不正确的。

师：为什么？

生：如果甲队和乙队单独修都是18天，那么，两队合修就可以是9天完成，现在甲队的工作效率比乙队高，两队合修的时间肯定要比9天少。

生：是的。6天这个结果也是不对的，如果每个队单独修都能够12天完成，那么两个队合修就可以是6天完成，现在因为乙队的工作效率比甲队要低，所以两队合修肯定比6天要多。

师：这样说来，5种结果都是错误的，那如果有1种结果是正确的，只有7.2天是正确的答案吧？

生：是的。

师：要解决这个数学问题，你们先来思考一下，和以前的解决数学问题内容比起来，有什么不同的地方？大家再讨论一下吧。

生：缺少这条道路的总长度。

师：是呀，如果有这条道路的总长度，我们就可以解决这个数学问题啦，那怎么办呢？

生：假设一个总长度试试看。

师：你这个孩子很会数学思考，值得表扬。是的，我们不妨假设一个具体的总长度，来尝试一下解决这个数学问题的过程，是否能够解决这个数学问题？老师相信同学们通过团队合作的力量，能够创造性地完成这个任务！

生很主动地自觉进行合作探究。

师：老师很高兴地看到，大家的探究很有效果，有的方法正确，但结果不太理想；有的方法也是正确的，但假设数据不是很合理；当然，也有方法正确，结果也正确的同学。现在谁愿意先把你们的探究成果分享给大家？

生：我们两个人假设这条道路的总长度是36千米，36÷（36÷12+36÷18）=7.2（天）。

生：我们两个人假设这条道路的总长度是30千米，30÷（30÷12+30÷18）=7.2（天）。

生：我们两个人假设这条道路的总长度是100千米，100÷（100÷12+100÷18）=7.2（天）。

师：大家仔细观察这三个假设和计算的过程以及解答的结果，你们有什么发现？

生：我发现假设的三个总长度都不同，但是结果都一样，都是7.2天。

师：还有其他假设的总长度与这三个都不一样，但是结果都一样吗？

生：我假设的总长度是72千米，算出来的结果也是7.2天。

师：我们一起来算一算，72÷（72÷12+72÷18）=7.2（天）。这是巧合吗？

生：不是。因为不管总长度怎样变化，甲队单独修都是12天完成，每天都是完成总工作量的[112]；乙队单独修18天完成，说明每天都是完成总工作量的[118]。这两个队的工作效率没有变化，所以合修的天数也不会改变。

生：老师，我们可以把总工作量看作单位“1”，这样很方便计算。

师：这位同学的想法正确吗？大家不妨再尝试算一算。

生：正确。算式是：1÷（[112]+[118]）=7.2（天）。

师：那如果用假设具体的总长度的方法，要使计算方便一点，你们觉得假设的数量应该是怎样的？

生：应该是12和18的公倍数，最好是最小公倍数，这样算起来比较方便。

师：太棒啦！老师为你们的主动好学和创新解决问题的方法点赞！

……

【反思】在这个环节中，教师通过让学生先进行判断、选择和说理，说明18天、15天、12天、9天和6天的不合理性，加强学生估算意识的培养，接着探索运用基本的数量关系分析与解决问题，确认7.2天的正确性，这样一个探索的过程，不但使解决数学问题与学生的生活实际相联系，创设一种与前概念冲突的认知情境——缺少具体的工作总量（道路的总长度），而且使处于同一级认知水平的学生之间通过略有差异的认知与思维的碰撞，各自产生内部的认知冲突。这种认知矛盾的解决将会引起每一个个体内部认知的新建构——不同的学生假设不同的具体工作总量（道路的总长度），这就是一个猜想与尝试的过程，学生在这个过程中经历了发现问题、提出问题。通过假设，可以把抽象问题具体化，使复杂的数量关系明显化和简单化。不同的学生假设的总长度不同，又体现了解决问题的开放性和多样性。然后发现无论假设的道路有多长，甲、乙合修完成的工作时间没有变化，进而去寻找不变的原因是无论道路的长度是多少，只要各自单独修的工作效率不变，合修的时间就不会变。最后在此基础上水到渠成地用单位“1”代表工作总量，那么各自的工作效率就是它们单独完成所用时间的几分之一，根据“工作总量÷工作效率和”求得“合修的工作时间”，从而初步认识“工程问题”的特征。

三、灵活分析，有效建模——理解“工程问题”的解法

师：有了刚才解决这个数学问题的经验，又掌握了解决问题的方法，我们就能够进行灵活思考和解答。（出示：一堆煤120吨。甲车单独运，运完需要6小时；乙车单独运，运完需要4小时。如果甲、乙两车合运，几小时可以运完这堆煤？选择判断并说明理由）请同学们认真分析下面这些结论或算式。

（1）3小时内能够把这堆煤运完…（"）

（2）120÷（6+4）…（"）

（3）120÷（120÷6+120÷4）…（"）

（4）120÷（[16]+[14]）…（"）

（5）1÷（120÷6+120÷4）…（"）

（6）1÷（[16]+[14]）…（"）

学生主动进行分析和讨论。

生：（3）号是正确的。因为要求甲、乙两车合运完成的时间，应该用工作总量除以它们合起来的工作效率……

师：合起来的工作效率我们可以简单地称为“合工效”，或者叫“工效和”。

生：（1）号也是正确的。因为如果乙车单独运完也需要6小时的话，那么甲、乙两车合运只要3小时就可以啦。我计算的结果是2.4小时，这说明3小时内能够把这堆煤运完是正确的。

生：（2）号的算式肯定是错误的。如果这个算式是对的，那么计算的结果是12小时，怎么可能呢？

生：我也认为（2）号的算式肯定是错误的。因为求合运的工作时间时，它在用“工作总量”除以“合起来的工作总时间”，但是除以“它们合起来的工作效率”才是正确的。

生：（6）号的算式也是正确的，它把工作总量看作单位“1”。也是用工作总量除以它们合起来的工作效率。

师：大家认为用这样的理由来说明，是正确的吗？

生：正确。

师：那（4）号和（5）号也用单位“1”，也是正确的吗？大家可以先讨论一下。

生：这两个式子都是错误的，（4）号的算式中前面的工作总量是具体数量120吨，后面用单位“1”表示，没有统一。（5）号的算式中前面用单位“1”，后面用具体数量120吨，也没有统一。

生：根据它们的式子，计算出来也是错误的，一个结果是288小时，另一个结果是[150]小时，肯定都是错的。

师：估算一下，谁知道甲、乙合运的时间应该在几小时到几小时之间？

生：应该比2小时多，比3小时少……

【反思】解决一类数学问题时，如果可以找到一个共同的样例或模型，在以后遇到同类数学问题时就可以将其转化为此样例或模型，这就体现了数学模型的普适性。以教材中的“工程问题”为例，其本质还是在研究工作总量、工作时间和工作效率之间的关系，只是在工作总量上发生了变化，由原来的具体量变为抽象的单位“1”的量参与运算，从而扩充了学生原有的认知结构。本节课的反馈环节中将工作总量的具体量再次呈现，让学生通过对两种不同的解决问题的方法进行比较和分析，再结合估算方法的运用和两个错误解法的辨别，从不同侧面来再次理解“工程问题”的解法，避免学生对新学知识和方法与形似实异的旧知识产生混淆，从而进一步促进学生对“工程问题”本质特征和一般解法的掌握。

四、对比思考，巩固深化——掌握“工程问题”的结构

出示：（1）加工一批零件，甲单独做要2小时完成，乙单独做要3小时完成。两人同时做，多长时间可以完成？（2）加工一批零件，甲单独做要[12]小时完成，乙单独做要[13]小时完成。两人同时做，多长时间可以完成？

生1：对于第（1）题，我们先判断两人合作的时间肯定比1小时要多，比1.5小时要少。列式是1÷（[12]+[13]）=1.2（小时），符合我们的判断。

生2：对于第（2）题，一开始我也是列成1÷（[12]+[13]）=1.2（小时），后来发觉两人合做的时间比每个人单独做的时间还要多，所以修改了。[12]小时就是30分钟，[13]小时就是20分钟，那么列式成1÷（[130]+[120]）=12（分钟）。

生3：我们的解答方法是1÷（2+3）=[15]（小时），也就是12分钟。

师：大家先仔细讨论一下这个解法（指生3的解法），有没有道理？

生有针对性地进行讨论。

师：大家认为这个算式和结果正确吗？

生：正确。

师：那么，谁能够对刚才的算式进行解释？

生：这个2，就是[12]的倒数，总工作量假设为单位“1”的时候，工作效率是工作时间的倒数，这个2+3就是甲、乙的工作效率之和，总工作量除以工作效率之和就等于他们共同合作的工作时间，所以是正确的。

生：是的，第（1）题中的[12]表示的是甲的工作效率，第（2）题中的[12]表示的是甲单独完成的工作时间，意思是不一样的。

师：大家分析数学信息和研究数学问题都很仔细、很深入，老师为你们的自觉探究行为感到由衷的高兴！那么，你们觉得这一类数学问题有什么共同特点？解决的方法又有什么可以总结的呢？

生：这一类数学应用问题的特点是没有告诉我们工作的总量，而要求的往往是它们合做的工作时间。

生：解决这类数学问题的时候，我们经常把工作总量假设为单位“1”，它们的工作效率分别就是它们工作时间的倒数。

师：那刚才的两个错误算式：120÷（[16]+[14]）和1÷（120÷6+120÷4），它们的错误原因还记得吗？

生：它们把具体数量和单位“1”的量混在一起啦。

师：是呀，如果用具体量进行分析，正确的列式应该是120÷（120÷6+120÷4），如果用假设单位“1”的方法进行分析，正确的算式应该是1÷（[16]+[14]）。

生：我觉得在解决这些数学问题的时候，先估算判断一下很重要。

师：这位同学讲得太好啦！我们在解决数学问题的时候，不但要会分析和列式解答，而且要善于进行验证，例如，可以用估算的方法来判断计算结果的正确性，也可以用不同的方法求出结果再进行对比……

【反思】为了能够集中突破“工程问题”解法中形式上的1÷（[1A]+[1B]）这个强信号负迁移的影响，有效建立能够体现本质意义的“1÷合工效=合工时”基本模式，教学中采用有类似“工程问题”数学情境的题组进行对比思考和分析，力求使学生真正掌握“工程问题”这个数学模型的实际意义和使用方法，同时结合估算等方法进行合理验证，提高学生解决数学问题的能力。

（作者单位：浙江舟山教育学院）L