基于关系的发现和表达，发展数学关键能力

在学习“比”之前，学生已经学习了“倍”“分数”，经历了共性化的认知路径“识别对象—确定标准—寻找关系—表达关系—应用关系”，积累了“比较”的经验，初步形成了倍数关系的结构。因此，在“比的认识”学习中引导学生借助已有的比较经验，认识“比”是“倍数关系”的表达，进一步加强对倍数关系的认识，丰富倍数关系的表征方式，发展数学关键能力。

一、创设情境，引发比较

通过课前谈话，从班级中的跳远冠军谈到奥运会中的跳远冠军，引出动物界的跳远冠军，由此在真实的情境中导入课。

（一）学习任务一：谁是动物界的跳远冠军——比什么？

具体情境：出示袋鼠、蝗虫、跳蚤图片，（图略）教师提问：谁是动物界的跳远冠军？

核心问题：判断哪种动物是跳远冠军，需要比什么？

活动形式：学生先独立思考，再集体交流。

活动时间：10分钟。

【设计意图】在真实的情境中激发比较的需求，引发对比较对象的识别，培养数学的眼光。

（二）精彩片段回放。

师：判断哪种动物是跳远冠军，需要比什么？

学生有的说比脚腕的力量，有的说比动物跳的距离是身长的多少倍，还有的说比身长或比它跳的距离。

师：有不同的意见，看来有必要进行小组讨论。想一想，“比什么”更可行？

小组讨论2分钟后集体交流。

小组1：只比身长不一定能比出来。比如，蚯蚓的身子挺长，但是它跳不动。

小组2：直接比跳的距离也不公平。跳蚤跳的距离肯定不远，袋鼠稍微一跳就能跳很远。

小组3：比肌肉力量，不方便测量。但是，比跳的距离是身长的多少倍，这两个方面都好测量。

师：通过讨论，要想比出动物界的跳远冠军，比什么相对公平？

小组4：不仅要看跳的距离，还得看动物的身长，要看跳的距离是身长的多少倍。

师：很好，我们来比一比“跳的距离与身长之间的倍数关系”。从这个角度看，能不能比出跳远冠军？

生：（齐）能。

师：好，给大家一些数据，看看能否比出谁是跳远冠军。

二、实施比较，表达关系

（一）学习任务二：谁是动物界的跳远冠军——怎么比？

具体情境：（出示每种动物身长和跳的距离的数据）看到这些数据，你打算怎么比呢？先独立思考并完成学习记录单。

核心问题：可以怎么比？

活动形式：学生独立完成学习单，然后集体交流。

活动时间：15分钟。

【设计意图】在解决问题的过程中，引导学生关注比较标准，初步体会比是对倍数关系的表达。

（二）精彩片段回放。

师：（出示图1）看到这些数据，你打算怎么比呢？

生1：我先算的是袋鼠，它跳了13米，体长是2米，直接用跳的距离除以体长，13÷2等于6.5倍。（如图2）跳蚤和蝗虫也用这种办法算，最后200gt;20gt;6.5，所以说跳蚤是跳远冠军。

生2：我用身长除以跳的距离，得到各个动物的身长与跳的距离的比。（如图3）我把这三种动物的身长都变成了1，只需要看后面的数据，谁大就说明谁是跳远冠军。

师：真好，老师还发现了一种写法，（如图4）你看懂了什么？

生3：这个是把跳远距离看作标准，比如2∶13，当把13看作1时，前面的2就需要除以13，得到[213]，继续化简得到[16.5]。这种比的形式把跳远距离看作标准，刚才我们是把身长看作标准。

师：那此时看到比的形式，你有了什么新的感受？

生4：既可以把前面的数看成标准，又可以把后面的数看成标准。

师：说得真好！此刻再看除法算式的形式，你有什么想说的？

生5：除法算式只能把除号后面的看成标准，而比的形式可以互为标准，我更喜欢写成比的形式。

师：同学们的讨论很精彩，你们发现了比号的前面和后面都可以作为标准。现在你们对比是不是更有感觉了？那老师给你们一个更大的挑战。

三、变式比较，深化认知

（一）学习任务三：哪杯水更甜？

具体情境：（出示图5）哪杯水更甜？比什么？怎么比？

核心问题：比什么？怎么比？

活动形式：学生独立完成学习单，然后集体交流。

活动时间：10分钟。

【设计意图】在解决新的问题时，运用前两个活动的经验，再次经历识别对象、确定标准的过程，巩固比的本质是对倍数关系的表达。

（二）精彩片段回放。

师：（出示图5）这两杯糖水哪杯更甜？你在比什么？怎么比？

生1：我比的是糖和水的倍数关系。（如图6）当把糖都化成1份看成标准时，“水少更甜”，所以第一杯水更甜。

生2：如果要体现“糖多更甜”，（如图7）可以把水看作1，谁的糖多谁就甜。

生3：我不是看糖和水之间的关系，我看的是糖和糖水之间的关系。（如图8）第一杯中共有50克糖水，糖和糖水之间的关系是1比5，第二杯中糖和糖水之间的关系是1比7，当糖一样多时，水少就甜，所以第一杯糖水甜。

师：判断甜度的时候，还可以看糖和糖水之间的关系。我还发现了一个与众不同的想法，我们一起来看看！（如图9）他比的什么？

生4：横着比。糖和糖之间的关系是2∶1，水和水之间的关系是4∶3，我想办法把其中的某一项变得一样，比如把2∶1变成6∶3，这样就变成了6∶3和4∶3在比，立即就能看出第一杯水更甜。

师：同学们，你们运用比的关系解决了新的问题，真好！那现在你们对比是不是有了更深刻的理解？接下来，请完成下一个任务，自己写一写“什么是比”。

四、归纳总结，抽象意义

（一）学习任务四：比是什么？

具体情境：写一写，比是什么？

核心问题：比是什么？

活动形式：学生独立完成学习单，然后集体交流。

活动时间：8分钟。

【设计意图】在解决了两个问题后，学生自己总结归纳比的定义，完成对比的意义的抽象概括。

（二）精彩片段回放。

师：（出示图10）看看下面几种想法，你读懂了什么？

生1：我从作品1中知道了比只是表示关系的一种方式，作品2告诉我比表示两数之间的倍数关系。表示倍数关系的方式，以前我们还学习了倍。

生2：比的表达比倍的表达更好，理由是，比的形式能看出谁和谁比，可以互为标准，但是倍的形式是一个数，是比较的结果。

生3：作品4告诉我比是在比较里面。

师：比较可以比什么呢？

生4：比个数，比份数。

师：在讨论中，同学们对倍和比的相同点和不同点更明确了，是什么呢？

生5：相同点是都表示倍数关系，只不过倍是关系的大小，而比不仅有比的对象，也能一眼看出比的结果。

师：书上说“两个数相除又叫两个数的比”，你怎么看？

生6：这句话不完全对。今天我们学习的是两个数相除只是算出比的结果。

师：学习需要质疑，请大家用热烈的掌声，送给这位勇敢质疑、追求真理的同学！

【本文系北京市教育科学“十三五”规划2020年度一般课题“运用大观念发展儿童关键数学能力的实践探索”（立项号：CDDB2020140）的阶段性研究成果】

（作者单位：北京小学丰台万年花城分校，北京教育科学研究院）H