糖水不等式

在一杯水中加入糖后，水会变甜，再加入一些水后，水又会变淡，这些都是我们的生活常识。

把a g糖放进玻璃杯，加入白开水，使糖充分溶化并摇匀，得到一杯质量为 b g的糖水（b＞a＞0），此时，这杯糖水的甜度（含糖量）是[ab]。

如果再向这杯糖水中添加m g糖（m＞0），则糖水的甜度是[a+mb+m]。显然，加糖后糖水的甜度增大，糖水更甜，因此有[a+mb+m]＞[ab]。

当然，以上是结合生活经验总结出来的规律，充其量只是对不等式进行了直观的“解释”，不能称为严格的证明。我们不妨用数学方法验证一下：

因为[a+mb+m]-[ab]

=[b（a+m）-a（b+m）b（b+m）]

=[（b-a）mb（b+m）]，

又因为b＞a＞0，m＞0，

所以[（b-a）mb（b+m）]gt;0。

所以[a+mb+m]gt;[ab]。

这就是所谓的糖水不等式。如果向这杯糖水中添加适量的白开水，这杯糖水的甜度会发生怎样的变化呢？请你用数学的语言描述，并试着进行代数证明。

在糖水不等式的基础上，两杯甜度不同的糖水，一杯较淡（浓度为[a1b1] ），一杯较浓（浓度为[a2b2] ），那么混合后的糖水一定是比浓的更淡，同时又比淡的更浓，这样可以得到糖水不等式的推论：

由b1gt;a1gt;0，b2gt;a2gt;0，[a1b1]lt;[a2b2]，

则[a1b1] lt;[a1+a2b1+b2]lt;[a2b2]。

同样地，我们可以用作差法进行证明。有兴趣的同学不妨一试。

一杯糖水，一个不等式，居然是一回事。你说有趣不有趣？