从“差”到“倍”，在比较中发展数学眼光

“倍”是两个量之间倍数关系认识的开始，是数量比走向份数比的起点。学生在一年级比差关系的学习中经历了“识别对象—确定标准—寻找关系—表达关系—应用关系”的过程，积累了比较的经验。在教学三年级上册“倍的认识”时，学生借助生活中具体数量的比较，发现新关系，即倍数关系。认知路径更应凸显“确定标准”和“寻找关系”这两个环节，使学生清晰地认识到“倍是两个数量比较中以一个数量为标准，另一个数量包含几个标准的关系”。在这样的过程中，发展学生的数学眼光。

一、情境引入，唤醒比较

（一）热身活动。

观察老师和女儿用梨和石榴榨的果汁颜色，引导学生用数学的眼光看，发现使用的两种水果数量不一样，引发学生进一步分析两种水果数量关系的需求。

具体情境：周末，老师和女儿分别用梨和石榴混在一起榨汁。（图略）

核心问题：两种水果的数量有什么关系？

活动形式：学生观察图片，师生对话。

活动时间：3分钟。

【设计意图】在真实情境中唤醒学生对比差关系的回忆，唤醒比较的过程并巩固比差关系中两个比较的对象互为标准的事实。

（二）精彩片段回放。

师：（出示图1）谁来说说两种水果的数量有什么关系？

生：梨比石榴少4个。

师：真棒！这位同学做了一件特别重要的事，他在干什么？

生：比较！

师：他把这两种水果的数量进行比较。除了这样比，还可以怎么比？

生：石榴比梨多4个。

师：（指着图2）同样是这两种水果比，这两种说法有什么不一样的地方？

生：一个是梨比石榴，另一个是石榴比梨。

师：看到两种水果的顺序调换了。跟谁比，我们就把谁当成标准。你能找到这两个比较中的标准吗？

生：第一个跟石榴比，石榴是标准；第二个跟梨比，梨是标准。

师小结：找得真准确，当标准的数量多时，得到的结果就少；当标准的数量少时，得到的结果就多。所以，在比较的过程中，选的标准不一样，比出来的关系就不一样。（板书：标准）

二、进行比较，发现关系

（一）学习任务一。

具体情境：老师配的果汁，梨和石榴有什么关系？

核心问题：（1）你是怎么比较的？（2）比较石榴和苹果的个数，有什么新关系？

学习活动记录单：（如图3）

活动形式：学生独立思考，然后集体交流。

活动时间：15分钟。

【设计意图】应用比较的思维过程，寻找倍数关系，实现从数量比到份数比的转变，发展学生的数学眼光。

（二）精彩片段回放。

师：再次比较这两种水果，你能找到什么样的新关系？你是怎么比较的？

（学生独立思考后汇报交流）

1.建立“份”的视角。

生：我发现2个梨、6个石榴，这2个梨和2个石榴可以是1组。2个石榴是1组，所以画2组。（如图4）我找到的关系是石榴比梨多2组。

生：（如图5）我先看到了2个梨对应着2个石榴，所以2个石榴是1组，是1倍，有3组，就是3倍。

师：观察作品1和作品2，这个新关系是从什么角度发现的？

生：1组1组地看。

师：真厉害，你们现在已经不是1个1个地看了，而是1组1组地看，这很重要。

2.确定“标准”。

师：像这样1份1份地看，是把谁作为1份？为什么1组就圈2个？

生：因为这有2个梨，还有2个石榴。

师：你是看谁的个数来2个圈为1组的？也就是说，在确定1组圈几个的时候谁更重要？（生：梨）非常好，先看到梨有2个，看成1份，然后就从石榴里找有这样的几份。先确定1份，就是先确定标准。

3.认识有几个这样的标准。

师：看一看，这跟刚才我们的比较就不一样了，我们现在是拿其中一种事物的个数当成1份，然后拿另一种事物与它比较，有这样的几份？

生：3份。

师：你怎么表达这个关系？

生：石榴的个数比梨多2倍。

生：石榴的个数是梨的3倍。

4.完整地建立倍的表达。

师：我们一起回顾一下，刚才找倍数关系的过程特别重要，你们先用谁作为标准确定1组？得到了什么关系？

生：先看2个梨，以梨作为标准，得到了石榴是梨的3倍。

师：那现在如果让你讲一个比较的故事，你会讲吗？同桌两人试一试。

生：石榴和梨的个数比较，先看梨，根据梨的数量确定标准，这样2个梨是1组，或者说1份，然后2个圈1组，圈出了3组，所以石榴是梨的3倍。

师小结：说得真清楚，我们在讲比较的故事的时候，首先要知道谁和谁比，谁是标准，然后找有几个这样的标准，就能确定它是标准的几倍。

三、继续比较，巩固关系

（一）学习任务二。

具体情境：女儿榨的这杯果汁用的水果原料。

核心问题：你是怎么比较的？

学习活动记录单：（如图6）

活动形式：学生独立思考，然后全班交流。

活动时间：8分钟。

【设计意图】进一步应用比较的过程，自主认识新的倍数关系2倍并进行表达，发展数学的思维和数学的语言。

（二）精彩片段回放。

师：这是我女儿榨的这杯果汁用的原料。请看活动要求，自己先独立解决。

（学生独立思考后汇报交流）

生：我先找谁是最少的，然后发现石榴是最少的，（如图7）所以我就把石榴的个数看作1份，和石榴比，梨的个数就有这样的2份，所以梨的个数是石榴的2倍。大家同意吗？

师：刚才他说了一件特别重要的事儿，把谁看作标准？

生：石榴，因为石榴是少的。

师：在找份数关系的时候是以少的事物为标准，看来，同学们对标准的认识又深刻了一些。现在你知道找标准的小窍门了吗？

生：找少的当标准。

师：再请一位同学来说说。

生：我先看哪个数量最少，就以它为标准。石榴最少，有4个，这就是1份；梨有8个，4个为1份，圈出了2份。（如图8）所以，梨的个数是石榴的2倍。

生：我还发现梨的个数比石榴多1份，也就是梨的个数比石榴多1倍。

师：同学们真棒，不仅发现了梨的个数是石榴的2倍，还知道了梨的个数比石榴多1倍。看来，同学们从“份”的视角表达倍的关系越来越顺畅了。

四、比较关系，感悟价值

（一）学习任务三。

具体情境：榨一大桶跟老师榨的口味一样的果汁，进行关系的选择。

核心问题：选择哪种关系能保持口味不变？

学习活动记录单：（如图9）

活动形式：同桌讨论，全班交流。

活动时间：8分钟。

【设计意图】在解决问题中，体会倍数关系在保持果汁口味不变中的作用，感受数学在生活中的价值。

（二）精彩片段回放。

师：我跟女儿互相尝了尝彼此配出来的口味，后来发现石榴是梨的3倍关系的果汁口味最佳。如果榨一大桶，给你们下面这两个关系，（如图10）选哪个关系能帮助你配出与最佳口味一样的果汁？

（学生独立思考后汇报交流）

生：我选择倍数关系。要是相差关系的话，假如有50个梨，就有54个石榴。这个关系和老师榨果汁用的倍数关系不一样，口味肯定不一样。

生：假如我用50个梨，石榴就应该用150个。这样跟老师榨出的口味完全一样。

师：谁再来说说，口味怎么就保持一样了？

生：我觉得是倍数关系。如果说石榴有4个，相差关系的话，就没有梨的事情了。如果梨有0个，倍数关系的话……

（学生后面说不出来了，教师引导）

师：假设1个数吧。

生：梨有4个的话，石榴就有12个，梨有6个的话，石榴就有18个。这样都跟3倍果汁的口味一样。

生：1个梨对着3个石榴，以此类推，2个梨对着6个石榴，3个梨对着9个石榴，等等。

师：按照这样的方法，什么保持不变？

生：（齐）倍数关系。

师小结：只要保证它们的份数关系不变，它们的倍数关系就不变，就保证了原汁原味。

五、对比观察，体会联系

（一）学习任务四。

具体情境：对比相差关系和倍数关系的异同。

核心问题：相差关系和倍数关系，有什么相同和不同？

活动形式：先独立思考，然后全班交流。

学习活动记录单：（如图11）

活动时间：6分钟。

【设计意图】比较相差关系和倍数关系，认识比较的过程相同，突出标准的不同，沟通新知与旧知的联系，为今后认识分数做铺垫。

（二）精彩片段回放。

师：对比之前学的相差关系和今天学的倍数关系，有什么相同？有什么不同？

生：都是石榴和梨这两种水果在比较。

生：倍数关系和相差关系都得先看梨。

师：为什么要先看梨？

生：因为梨是标准。

师：真好！比较的时候都要先找到标准。有什么不一样？

（学生回答不出来，教师引导）

师：找相差关系的时候，可以用梨当标准，也可以用——（生：石榴）当标准。找倍数关系的时候，标准是——

生：只是用数量少的梨当标准。

师：可以用多的当标准吗？

生：不行。

师：今天不行，是知识不够，以后学到分数的时候就能以多的数量当标准了。让我们一起期待以后的学习！下课。

【本文系北京市教育科学“十三五”规划2020年度一般课题“运用大观念发展儿童关键数学能力的实践探索”（立项号：CDDB2020140）的阶段性研究成果】

（作者单位：北京小学丰台万年花城分校，北京教育科学研究院）H