转动的不止是齿轮

角动量是物理学中用于描述物体绕轴旋转运动的重要物理量，是力学研究中的核心概念之一。作为矢量，角动量反映了物体的旋转状态，受物体的转动惯量和角速度的双重影响。角动量守恒定律在刚体动力学、天体运动和微观粒子自旋等多种物理现象中均发挥着作用。当系统不受外力矩作用时，其总角动量保持恒定，这一守恒特性为复杂旋转运动问题的分析提供了物理依据。笔者将结合实际例题，让我们直观地感受到在无外力矩作用下系统总角动量保持不变的规律，进而掌握如何运用角动量守恒解决溜冰运动员旋转和物体碰撞后的运动状态等问题。

一、什么是角动量

角动量是描述物体绕某一轴旋转运动状态的重要物理量，定义为质点的线动量对参考轴的矢量积，其表达式为，其中r表示质点相对于参考点的位矢，p为线动量矢量。对于刚体的转动，角动量可以进一步表示为，其中I为转动惯量，代表物体对旋转轴的质量分布特性；为角速度，代表物体绕轴旋转的速度大小。

当角动量的矢量方向与物体的旋转轴一致时，符合右手定则。由于角速度的变化通常伴随转动惯量的变化，因此角动量是一个依赖于物体几何结构和运动状态的物理量。系统的角动量是各个质点角动量的矢量和，对于刚体，转动惯量是该物体在给定轴上分布的质量的量度，表示物体质量对旋转轴的分布效应。角动量是守恒的，当没有外力矩作用时，系统的总角动量不随时间变化。在研究一个物体或系统的角动量变化时，通常需要分析其受到的外部力矩。如果外力矩为零，物体的角动量将保持不变，这为分析旋转运动的复杂问题提供了有效的理论依据。

二、角动量守恒的条件

角动量守恒的条件主要是指在系统没有外力矩作用时，系统的总角动量保持不变。要满足角动量守恒条件，需要符合以下几点：第一，系统必须是孤立系统，即外力矩的合力为零。这意味着系统中的所有作用力要么彼此抵消，要么作用力的力臂和方向使总力矩为零。这要求我们在分析过程中对外力矩作出细致判断，确保它对系统的影响不构成角动量的改变。第二，系统内部的角动量交换必须是内部保守的，即如果系统中的不同部分存在相互作用，这些作用力只能导致系统内部各部分之间的角动量转移，而不能改变整个系统的角动量总和。在这种情况下，内部力矩引起的相互作用并不影响系统的整体角动量，因此，内部角动量的变化只会体现为不同部分之间的转移。第三，系统的质心运动不能引入额外的力矩，即质心的平动必须与角动量守恒条件兼容。这通常要求质心的运动不改变系统的转动惯量，或者与外部环境的相互作用不产生新的力矩。若质心发生剧烈加速或者减速，可能会通过惯性耦合引入外力矩，导致角动量守恒条件失效。因此，在分析角动量守恒时，质心运动的状态同样需要详细考量。

三、角动量守恒判定的技巧

在判定角动量守恒问题时，首先需要确认系统是否存在外力矩的作用。判定技巧如下：第一，通过系统的力矩平衡进行判定。依据牛顿第三定律，如果系统的外力矩为零或内力矩相互抵消，则可以初步判定该系统的角动量守恒。第二，通过分析系统的轴对称性及旋转轴的稳定性来判断角动量是否守恒。若系统的旋转轴不发生变化，且各个物体相对于该轴的角动量不受外部扰动，则认定该系统遵循角动量守恒原则。第三，依据系统的相对独立性进行判定，若系统内的物体运动仅受内部力作用，并且这些内力产生的矩不改变系统的总角动量，则系统的角动量守恒。对于刚体系统或质点系来说，内力矩的作用往往无法引起系统总角动量的改变，因此需要仔细判断这些内力是否存在会对整体产生影响的分量，从而确定角动量是否守恒。

四、角动量守恒在实际例题中的应用

【例1】已知，如图所示，质量为m0，长度为L的均匀细杆静止于光滑的水平桌面上，现有一质量为m的小球（可视为质点）以水平初速度v0与杆的右端B发生完全非弹性碰撞。

试求：（1）碰撞后系统质心的速度

（2）碰撞后系统绕其质心的角速度

解：（1）设碰撞前系统质心的位置xc相对于杆左端，得到：

计算，得到：

小球与细杆碰撞后的系统质心位置向右移动的距离为：

在碰撞的过程中系统满足质心动量守恒，得到：

解得系统质心的速度：

（2）已知系统包括细杆和小球，在碰撞后的系统中，质心的转动惯量分为两部分：

杆绕质心的转动惯量I0：

杆对质心的转动惯量为：

系统对质心的转动惯量为：

碰撞后系统的角动量为：

根据角动量守恒定律可得：

解得系统绕其质心的转动角速度：

例1结合角动量守恒定律技巧，通过分析系统在无外力矩作用下的角动量不变特性求解。在碰撞过程中，先确定系统的总转动惯量，其中包括细杆绕质心的转动惯量和小球相对于质心的转动惯量。再利用角动量守恒定律，即碰撞前的系统总角动量等于碰撞后的总角动量，这个守恒方程结合系统的动量变化，有助于确定碰撞后绕质心的角速度。这种技巧充分利用了角动量在闭合系统内守恒的物理特性，是分析旋转运动中速度和惯量变化的核心方法。

【例2】在光滑水平桌面上，有一个轻弹簧，一端固定在O点，另一端连接一个木块。一颗子弹水平飞来并射入木块中（射入的时间可以忽略），随后子弹和木块一起从A点运动到B点。

以下说法中的错误项有（" " "）：

（A）子弹射入木块的过程中，子弹和木块动量守恒；

（B）子弹射入木块的过程中，子弹和木块相对于O点的角动量守恒

（C）从A点到B点，子弹和木块动量守恒

（D）从A点到B点，子弹和木块相对于O点的角动量守恒

例2主要围绕动量守恒和角动量守恒的原理进行分析，在子弹射入木块的过程中，由于没有水平外力作用，系统的水平动量是守恒的。因此，选项（A）是正确的。在子弹射入木块的瞬间，由于木块与子弹的碰撞过程中存在内力矩，系统相对于O点的角动量不守恒。因此，选项（B）是错误的。从A点到B点的过程中，系统从A点到B点的运动受到了弹簧的作用力，这个力是内部力，但是因为弹簧固定在O点，所以对系统不施加水平方向的净外力，因此系统的水平动量不守恒，选项（C）错误。在从A到B的过程中，由于系统的力矩作用点在O点，弹簧的作用力不会改变相对于O点的角动量，因此系统的角动量相对于O点是守恒的，所以选项（D）是正确的。综上所述，最终选择（B）和（C）选项。

五、通过练习掌握角动量守恒的核心技巧

要通过练习掌握角动量守恒的核心技巧，关键在于从简单的理想化模型入手，逐步过渡到复杂的物理系统，并利用归纳解题步骤和思维框架，建立清晰的物理图像。

首先，在初级练习中，选择具有对称性和简化条件的物体，例如均匀刚体或质点系统，着重理解外力矩为零时的角动量守恒条件。通过分析这种情况下的角速度变化和物体的旋转运动特征，掌握瞬时角动量守恒的基本概念。在这些练习中，应专注于判断外力矩是否为零，明确质心运动与角动量之间的关联。

接下来，逐步引入多刚体的相互作用和非均匀刚体的转动问题等更复杂的系统，这类题目往往涉及不同轴心的选择，要求我们熟练使用动量矩和惯量张量等物理量。通过这些练习，建立对不同参考系下角动量的守恒性的理解，并准确判断出物体受力的瞬间力矩变化。

通过以上练习，我们可以逐步形成一套完整的解题步骤与思维框架：第一步，准确判断系统是否满足角动量守恒的前提条件；第二步，找出影响系统的所有外力矩并分析其对角动量的影响；第三步，根据初始条件和守恒定律推导出系统的最终状态。除此以外，讨论学习也是深度理解角动量守恒的有效途径，通过与其他研究者的交流，借鉴他人在相同问题上的思路和方法，可以开阔思维，强化对物理现象本质的把握。