数列求和方法突破与答题方法

在全国新高考数学试卷中，数列题目通常为中等难度试题，考查内容较为基础，且此类题目常作为解答题的第一题。这类试题主要评估大家对等差数列与等比数列概念的理解及运用通项公式的能力。此外，还要求大家熟练掌握数列求和的各种基本技巧，如公式求和、错位相减、裂项相消、分组求和以及倒序相加等，并能够灵活应用一般与特殊关系处理、化简与转换思维等数学策略。基于此，本文通过几个典型例题探讨五种解决数列求和问题的方法，希望能为大家后续的数学学习打下坚实的基础。

一、公式求和

数列求和的题目较为基础，通常由等差数列与等比数列构成。解题的关键在于明确区分数列中的等差部分与等比部分，接着便可直接应用相应的等差数列与等比数列的求和公式进行计算。

例题：求数列1，2，3，4，22，23，24，25，32，33，34的和。

解题过程：

1.分析数列，此数列可分为三个部分。

第一部分为等差数列1，2，3，4，根据等差数列求和公式，这部分的和为10；第二部分为等比数列22，23，24，25，根据等比数列求和公式，这部分的和为60；第三部分为等比数列32，33，34，同理可得这部分的和为54。

2.将三部分的和相加，得出：

10+60+54=124。

对于这种由等差数列和等比数列组合而成的数列求和问题，关键是要准确识别数列中的等差数列部分和等比数列部分，然后分别运用对应的求和公式进行计算，最后将各部分的和相加得到整个数列的和。在本题中，通过分析可以清楚地将数列分为三个部分，再按照求和公式分别计算后并求和，即可快速得出结果。

二、错位相减

错位相减法被广泛应用于求解等比数列与等差数列乘积形成的新数列的求和问题。利用该方法进行求和时，首先需构造出数列前n项和的表达式，其次将原等式两边同乘以等比数列的公比q，从而获得第二个等式，最后将这两个等式进行错位相减，得出数列前n项的总和。

例题：求数列的前项和。

解题过程：

1.写出Sn的表达式。

2.两边同乘公比2。

3.两式相减，化简可得：。

错位相减法能有效求出由等比数列与等差数列乘积形成的新数列的和。通过写出数列前项和的表达式，然后乘以公比得到新的表达式，再将两式相减，可以消去中间项，得到一个易于求解的等式。在这个过程中，要注意准确计算等比数列的和，并仔细进行化简和整理，最终求出数列前n项的和。

三、裂项相消

此方法主要是将数列的通项公式分解为两个项差值的形式，在求和过程中实现中间项的相互抵消，进而简便地求得数列的总和。

解题过程：

1.分析数列通项公式，将其裂项。

在数列求和问题中，当数列的通项公式可以拆分为两项之差时，就可以考虑使用裂项相消法。在本题中，裂项使得求和过程中相邻的两项相互抵消，从而简化了求和的过程。

四、分组求和

分组求和适用于处理那些既非等差数列也非等比数列的求和问题。通过适当的分组，将原数列转换为若干个可识别的子数列，如等差数列、等比数列或其他常见的数列形式，以便求和。这种方法主要有两个步骤：第一，观察结构，仔细观察和式结构特征，判断是否可以通过分组将其划分为多个易于求和的子序列。第二，实施求和，对每一组数列独立进行求和运算，最后将各组的结果相加，以完成整个数列的求和过程。

例题：求数列的前项和。

解题过程：

1.观察结构：数列的每一项都可以分为一个等差数列的项n和一个等比数列的项2n。

2 .实施求和：先求等差数列n的前n项和，再求等比数列2n的前n项和，那么本数列的前n项和Sn=n（n+1）/2+2n+1-2。

当数列既不是等差数列也不是等比数列时，可以考虑使用分组求和法。在本题中，该数列可以分为一个等差数列和一个等比数列，解题时，可以先分别求出它们的和后再相加，从而得到整个数列的和。这种方法的关键在于正确观察数列的结构特点，将其合理分组，然后分别运用等差数列和等比数列的求和公式进行求和。

五、倒序相加

已知数列具有“与首尾两端等距离的两项之和等于同一个常数”的特性时，可采用倒序相加法进行求和。首先，表示出数列的前n项和；其次，将该求和表达式按相反顺序重新书写；再将这两个表达式相加，由此可以得到数列前n项和的两倍；最后，对结果进行简化处理，即可求得数列前n项的和。

例题：设，

求S=f（1）+f（2）+f（3）+···+f（9）+f（10）的值。

解题过程：

1.S = 3+4+5+…+11+12。

2.倒过来写：S = 12+11+10+···+4+3。

3.两式相加，可以发现每一组的和都是15，一共有10组。所以2S=150，则S = 75。

本题中的数列具有“与首尾两端等距离的两项之和等于同一个常数”的特征，因此，可以使用倒序相加法。通过将原式和倒序后的式子相加，得到一个容易计算的结果，再除以2就得到了所求的和。这种方法适用于具有类似特征的数列求和问题。

文中所述的各类求和方法内在逻辑均在于重构原数列的形式与结构，转化为可应用等差数列或等比数列求和公式的形式，或是通过项的消除来求解。掌握了这一核心规律，数列求和的问题便能迎刃而解。