一元一次方程助力“农场主”的诞生

学校“尚臻园”准备了12个长宽为4m×1.5m的种植箱让同学们感受蔬菜从播种到收获的一生。夏天，饭桌上常以绿色蔬菜和瓜类为主。下表是3月可以开始种植，夏季收获的常见蔬菜，以及它们的产量、平均成本和平均售价。

[蔬菜品种 番茄 空心菜 黄瓜 丝瓜 产量（kg/m2） 10 7 8 6 平均成本（元/m2） 9 6.5 7.5 2.5 平均售价（元/kg） 5 5 6.5 8 ]

问题一：整个收获季，食堂为全校师生烹饪午餐需要两种蔬菜，共计600kg，请同学们通过合理规划种植面积，让种植箱发挥最大的功能，收获更多的蔬菜，实现“蔬菜自由”。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年级＼12＼P48思路分析.psd>[思路分析]四种蔬菜选两种进行种植，一共可以产生多少种方案？我们可以通过举例的方式列出来。每种方案是否可取，我们需要根据题目给的条件进行筛选。同时，为了满足食堂需求，是需要刚好种植出600kg，还是比600kg多，我们要用不同的眼光去看待。

问题二：为了满足食堂的蔬菜需求，现每名同学拥有600元可支配成本，请根据每种蔬菜平均JDhKL8gAW3lF2KAgozDzUg==成本及售价，设计出最优方案，实现600kg蔬菜的经济最优化。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年级＼12＼P48思路分析.psd>[思路分析]600kg蔬菜经济最优化是指在可使用成本600元之内的纯利润最大，但在这里并不代表成本要等于600元 ，而是要不超过600元，所以600元只是方案筛选的一种限制条件。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年级＼12＼P48解法.psd>[解法一：]

问题一：12×1.5×4=72（m2）。

①设种番茄xm2，空心菜（72-x）m2。10x+7（72-x）=600。解得x=32，72-x=40。

②设种番茄xm2，黄瓜（72-x）m2。10x+8（72-x）=600。解得x=12，72-x=60。

③设种番茄xm2，丝瓜（72-x）m2。10x+6（72-x）=600。解得x=42，72-x=30。

④设种空心菜xm2，黄瓜（72-x）m2。7x+8（72-x）=600。解得x=-24，72-x=96（舍）。

⑤设种空心菜xm2，丝瓜（72-x）m2。7x+6（72-x）=600。解得x=168，72-x=-96（舍）。

⑥设种黄瓜xm2，丝瓜（72-x）m2。8x+6（72-x）=600。解得x=84，72-x=-12（舍）。

所以可以种植番茄32m2和空心菜40m2，或者种植番茄12m2和黄瓜60m2，或者种植番茄42m2和丝瓜30m2。

问题二：①32×9+40×6.5=548＜600，10×32×5+7×40×5=3000（元），3000-548=2452（元）；

②12×9+60×7.5=558＜600，12×10×5+60×8×6.5=3720（元），3720-558=3162（元）；

③42×9+30×2.5=453＜600，42×10×5+30×6×8=3540（元），3540-453=3087（元）。

因为2452＜3087＜3162，所以选择种植番茄12m2和黄瓜60m2为最优化方案。

【点评】这名同学认为问题一需要满足食堂600kg的需求，通过枚举法将四选二的6种可能结果全部列举出来，是标准的解决方案选择类问题的第一步。该同学通过考虑实际问题的限制条件来筛选方案，同时也关注到问题二中成本对方案选择的限制作用。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年级＼12＼P48解法.psd>[解法二：]

问题一：12×1.5×4=72（m2）。

600÷10=60（m2），600÷7=[6007]（m2），600÷8=75（m2），600÷6=100（m2）。

因为60＜72＜75＜[6007]＜100，所以无法找到合理数据选择空心菜和黄瓜、空心菜和丝瓜、黄瓜和丝瓜的组合，必须选择番茄和另一种蔬菜的组合。具体可能情况如下表（单位：m2）：

[番茄+空心菜 番茄+黄瓜 番茄+丝瓜 32 40 ②12 60 ③42 30 39 30 20 50 48 20 46 20 28 40 54 10 ④53 10 36 30 60 0 ①60 0 44 20 52 10 60 0 ]

问题二：①方案获利2460元，但不存在该方案，因为只有一种蔬菜；④方案规划合理且获利2458元；②方案获利3162元；③方案获利3087元。

根据验算后的数据，我用12m2种番茄，60m2种黄瓜，支出成本558元，全部售价3720元，获得最优化利润3162元。

【点评】这名同学通过极限思维思考，将四种蔬菜在600kg极根情况下的单位产量进行测算。如果只种一种蔬菜，得到每种蔬菜所需的种植箱面积，发现空心菜、黄瓜、丝瓜所需要的种植箱面积超出72m2，所以必须种植番茄对这三种蔬菜进行补充。该同学将每种可能出现的整数解情况通过列表展现出来，不仅得到数据的过程复杂，而且不全面，因为实际问题中会出现非整数解情况。针对这两种不足，这里如果利用一元一次方程可以很好解决。

同时，这名同学在问题一中认为72m2种植区域不一定用完，也就是产量可以超过600kg，但是在问题二中又认为72m2种植区域一定要用完，能看出两种想法的矛盾。这里我们需要对一种想法一以贯之，坚持到底。

<D：＼JR工作＼初中生＼2024＼7年级＼12＼P48解法.psd>[解法三：]

问题一：12×1.5×4=72（m2）。

因为10＞8＞7＞6，所以相同面积中，番茄和黄瓜的产量较大。

设番茄的种植面积为xm2，黄瓜的种植面积为（72-x）m2。

10x+8（72-x）=600。解得x=12。

题目并未有其他要求，只需满足食堂总需求即可，所以总产量越多越好。当番茄种植量越来越多时，总产量也会越来越多。所以当x无限接近72时，产量最大，所以12≤x＜72。

问题二：考虑1m2各蔬菜的获利情况。

番茄为10×5-9=41（元），空心菜为7×5-6.5=28.5（元），黄瓜为8×6.5-7.5=44.5（元），丝瓜为6×8-2.5=45.5（元）。

因为45.5＞44.5＞41＞28.5，所以相同面积（1m2）中，丝瓜、黄瓜、番茄的获利较高。

以等于600kg为临界位置，总产量越多越好。

①设种黄瓜ym2，丝瓜（72-y）m2。

8y+6（72-y）=600。解得y=84＞72（舍）。

②设种番茄xm2，丝瓜（72-x）m2，总获利W元。

10x+6（72-x）=600。解得x=42＜72。W=41x+45.5（72-x）=3276-4.5x。

当x越来越大时，利润W会越来越小。所以当x=42时，W有最大值，为3087元。

③设种番茄xm2，黄瓜（72-x）m2，总获利W元。

10x+8（72-x）=600。解得x=12＜72。W=41x+44.5（72-x）=3204-3.5x。

当x越来越大时，利润W会越来越小。所以当x=12时，W有最大值，为3162元。

所以选择种植番茄12m2、黄瓜60m2所得经济最优化。

【点评】这名同学关注到“食堂需求是600kg”并不代表“种植箱”产能只能为600kg，而是代表在满足学校食堂需求量的情况下，“种植箱”的最低产能为600kg。因此，他利用一元一次方程将x的取值调整为一个范围，这是非常值得赞赏的。但他忽略的是，在选取蔬菜时，并不能简单以单位产量最大作为满足条件的选择对象，也存在最大产量与中间产量的组合作为满足条件的选择对象。例如解法一中，番茄和空心菜、番茄和丝瓜的组合也能够满足需求，所以在方案设计最初出现了漏解的情况，但在进一步优化方案时又体现了可以有三种方案的选择。

为什么在三种解法中，大家最终提供的可选取方案中总是要选取番茄呢？

在四种蔬菜中，产量最高的是番茄，其次是黄瓜。当所有面积全部用于种黄瓜时，总计可获得576kg黄瓜，没有达到食堂需求。因此，在所选取的两种蔬菜中一定需要单位面积产量最高的番茄作为填补。

可见，对于方案规划类问题，首先，我们要对可能出现的结果分类，坚定以一种想法走到底，抓住问题中的等量关系，列出对应的一元一次方程并解出答案。其次，我们要根据问题中的条件限制、生活中的常识等对方案进行取舍。当然，也可以利用等量关系将需要求解的内容用字母表示出来，通过一般规律对方案进行理性筛选。