基于考试逻辑判断题的数理逻辑教学案例设计

摘要：数理逻辑是采用数学方法研究逻辑形式及其规律的数学分支，是“离散数学”和“人工智能”课程的重要内容。现有的数理逻辑教学以理论讲解为主，教学案例较少且较为抽象，学生难以理解。为了提升数理逻辑的教学效果，本文结合公务员考试中的逻辑判断题，从数理逻辑角度分析解题思路与方法，增强学生逻辑思维能力。教学实践结果表明，以公务员考试中的逻辑判断题作为教学案例，可以激发学生自主学习兴趣，提升课堂教学效果。

关键词：离散数学；数理逻辑；命题逻辑；谓词逻辑

中图分类号：TP391.4

数理逻辑是数学的一个分支，通过逻辑的符号化、形式化对逻辑推理过程进行研究。数理逻辑包含经典逻辑和非经典逻辑，在计算机科学、哲学、语言学等领域具有广泛的应用。

数理逻辑是“离散数学”课程的核心内容之一，离散数学教材通常将命题逻辑与谓词逻辑规划为两个章节进行介绍［12］。此外，“离散数学”中涉及的多种证明方法，如直接证明、间接证明法（反证法）等都是基于数理逻辑的原理［3］。

数理逻辑在“人工智能”课程中同样占有重要位置。人工智能中专家系统的构建通常以数理逻辑作为理论基础［45］。在专家系统中，命题逻辑与谓词逻辑使用逻辑符号表示逻辑规则，推理引擎结合前向推理和后向推理，根据给定的规则和事实推导出新的结论。专家系统使用规则库表示专家知识，依赖推理引擎模拟专家的决策过程。

数理逻辑为离散数学和人工智能提供了一种强大的工具，用于形式化表达、推理和解决问题。通过学习数理逻辑，学生可以更好地理解人工智能领域的基本概念和方法。然而，现有的数理逻辑教学过于偏重理论，缺少实际应用案例支撑，导致学生难以理解逻辑概念的实际价值和应用场景。缺少案例练习，学生容易产生“这些我都懂了”的错觉，因此，教学实践中需要更多的应用练习来巩固理论知识。

解决上述问题需要教师不断探索和改进教学方法，提供更多样的学习资源，并与实际应用相结合，提高数理逻辑教学的质量和效果。本文结合公务员考试中的逻辑判断题，以提升学生逻辑推理能力为导向，打造“以学生为中心”的“离散数学”课程教学案例［67］。公务员考试是公务员录用工作的重要环节，逻辑判断题是考试中的常见题型。逻辑判断题与数理逻辑关系密切，可以从命题逻辑与谓词逻辑角度对题目进行分析求解。

1命题逻辑

1.1命题逻辑主要教学内容

“离散数学”课程中，命题逻辑部分主要介绍命题的基本概念、Eo9oJqO6LXjZoDjLkH9+FaN5a/dHiU1wuGv9Xp93Yfk=联结词、命题符号化方法、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、范式以及推理理论。命题是可以判断真假的陈述句，通常用一个字母表示命题。简单命题又称原子命题，它是不包含任何联结词的命题。联结词可看作是命题或命题变元的运算符，由原子命题和联结词组成的复杂命题称为复合命题。主要的联结词包括否定、合取、析取、蕴含以及双条件，分别使用符号┐、∧、∨、→、表示。命题公式是由代表命题的字母以及联结词符号组成的一个符号串，将一个自然语言表述的命题翻译成命题公式的过程称为命题符号化。假设有一个命题公式G，P1，…，Pn是命题公式G中的命题变元，指定其中每个命题变元Pi的真值，这组真值称为G的一个解释。如果命题公式G在所有解释下真值均为1，则称G为永真式（重言式）；如果命题公式G在所有的解释下真值均为0，则称G为永假式（矛盾式）；如果存在一种解释使得G的真值为1，则称G为可满足式。如果两个命题公式G和H在任意解释下，其真值相同，则称公式G和H是逻辑等价的，记作GH。命题公式的规范化表示形式称为范式。设P、Q是命题公式，若P→Q是永真式，则称P逻辑蕴含Q，记作PQ。推理就是从前提出发，按规则推出结论的过程。推理过程中可以使用的规则包括前提引入规则（P）、结论引入规则（T）以及CP规则。

1.2命题逻辑教学案例

公务员考试中的部分逻辑判断题可以利用命题逻辑知识进行分析与求解。本小节选取典型的逻辑判断题，挖掘题目关键信息与命题逻辑的关联，对关键信息进行符号化，从命题逻辑角度对题目进行解析，得出正确选项。

案例1：某仓库发生了失窃事件，四个仓库保管员均存在嫌疑，被要求接受公安机关调查。在询问过程中，他们供述如下：

甲：我们四个人都没有参与盗窃。

乙：我们中间至少有一个人参与了盗窃。

丙：乙和丁之中，至少有一个人没有参与盗窃。

丁：我是无辜的，我没有参与盗窃。

调查结果显示这四个人中，有两个人说的是真话，另外两个人说的是假话。从调查结果可知，以下哪项断定成立？

A.说真话的是甲和丁

B.说真话的是乙和丙

C.说真话的是甲和丙

D.说真话的是乙和丁

解析：用字母P、Q、R、S分别表示甲作案、乙作案、丙作案、丁作案四个命题，则四个人的陈述可以用命题符号化为：┐P∧┐Q∧┐R∧┐S，P∨Q∨R∨S，┐Q∨┐S，┐S。根据题意，四个人中有两个人说真话，两个人说假话，共有12种可能组合。四个选项提供了四种组合，逐一验证即可。先取假话的否定，然后验证四句话的合取是否为永假式。如果为永假式，则该选项错误。例如选项A，甲和丁说的是真话，那么乙和丙说的是假话。乙和丙的陈述的否定为┐P∧┐Q∧┐R∧┐S和Q∧S。对四句话进行合取并化简，可得命题公式（┐P∧┐Q∧┐R∧┐S）∧（Q∧S）∧┐S，该命题公式为永假式，选项A错误。考察选项B，乙和丙说的是真话，那么甲和丁说的是假话。甲和丁的陈述的否定为P∨Q∨R∨S和S。对四句话进行合取并化简，可得命题公式（P∨Q∨R∨S）∧（┐Q∨┐S）∧S，该命题公式为可满足式，选项B正确。

案例2：所有真正关心教师福利的校长，均已被证实为管理得法的校长。而这类校长在行动上都会首先关注并解决中青年教师的住房问题。所以，我们可以推断出，那些没有将首要关注点放在解决中青年教师住房问题上的校长，不属于管理得法的范畴。为了使这一推断成立，以下哪项陈述必须为真？

A.中青年教师的住房问题，在教师的整体福利中占据核心地位

B.所有管理得法的校长，都无一例外地关心教师的福利

C.近年来，中青年教师在教师群体中的比例有了显著增加

D.所有将首要关注点放在解决中青年教师住房问题上的校长，都无一例外地展现了管理得法的特质

解析：题目涉及命题逻辑推理，先对题目陈述进行命题符号化。设P表示校长关心教师福利，Q表示校长管理得法，R表示校长把首要关注点放在解决中青年教师住房问题上，则题目中的前提可以符号化为P→Q以及P→R，结论可以符号化为┐R→┐Q。题目含义为增加选项中的哪个前提，可以推导出结论。其中选项B可以命题符号化为Q→P，增加该前提可以推出结论，推理过程如下：

（1）P→RP

（2）┐R→┐PT（1）

（3）Q→PP

（4）┐P→┐QT（3）

（5）┐R→┐QT（2）（4）

因此，该题正确选项为B。

案例3：正如所有生命体依赖新陈代谢来维持生存，文明也需要通过不断的交流和学习来保持其活力。如果文明长时间处于封闭状态，不与其他文明进行交流和学习，那么它会逐渐走向衰退。交流互鉴是文明得以持续发展的核心要素。只有当文明与其他文明进行深入的交流，相互学习、相互补充时，它才能够持续展现出强大的生命力和活力。基于这一逻辑，我们可以推断出：

A.如果一个文明没有长时间处于封闭状态，那么它就不会走向衰退

B.如果一个文明与其他文明进行交流互鉴，那么它就能够保持旺盛的生命力和活力

C.如果一个文明没有与其他文明进行交流互鉴，那么它就无法保持旺盛的生命力和活力

D.如果一个文明没有展现出旺盛的生命力和活力，那么它就没有与其他文明进行交流互鉴

解析：题目涉及命题逻辑推理，先对题目陈述进行命题符号化。设P表示文明长期自我封闭，Q表示文明走向衰落，R表示文明交流互鉴、取长补短，S表示文明保持旺盛生命活力。题目陈述可以符号化为P→Q，S→R。选项A、B、C、D可以分别符号化为┐P→┐Q、R→S、┐R→┐S、┐S→┐R。选项C是前提S→R的逆否命题，他们逻辑等价，因此可以从前提推导出选项C。

2谓词逻辑

2.1谓词逻辑的主要教学内容

“离散数学”课程中，谓词逻辑部分主要介绍谓词与量词的基本概念、命题符号化方法、范式以及谓词逻辑推理理论。在谓词逻辑中，将描述个体词的特性或个体词之间的关系的语句称为谓词。含有n个个体变元的谓词称为n元谓词。一元谓词表达了个体词的性质，多元谓词表达了多个个体词之间的关系。零元谓词中无个体，可以理解为命题。因此，谓词逻辑包括命题逻辑。个体变元的变化范围称为论域。量词用来表示个体数量，有两种不同含义的量词，即全称量词和存在量词。全称量词记为，x表示“对任意的x”。存在量词记为，x表示“存在一个x”。量词的作用范围称为辖域。谓词公式是由谓词、量词、个体常量、个体变元以及联结词符号组成的一个符号串。如果两个谓词公式G、H在共同的论域中的任意一个解释下所得的命题具有相同的真值，则称谓词公式G、H在该论域上逻辑等价，记为GH。设P、Q为谓词公式，若P→Q为永真式，则称P逻辑蕴含Q，记为PQ。在谓词公式中，如果所有的量词都出现在公式的最前面，且它们的辖域为整个公式，则称此谓词公式为前束范式。谓词逻辑推理演算中可以使用命题逻辑的推理规则，此外，谓词逻辑的推理过程新增了消去量词与引入量词的规则。

2.2谓词逻辑教学案例

公务员考试中的部分逻辑判断题可以利用谓词逻辑知识进行分析与求解。本小节选取典型的逻辑判断题，挖掘题目关键信息与谓词逻辑的关联，对关键信息进行符号化，从谓词逻辑角度对题目进行解析，得出正确选项。

案例4：在军训的尾声，一班学生进行了实弹射击训练，三位教官对一班学生的射击成绩进行预测。张教官认为，由于军训时间有限，这个班级里没有任何一个学生的射击成绩能够达到优秀的标准。孙教官则持不同观点，他表示有几位学生之前有过训练经验，他们的射击成绩理应达到优秀水平。而周教官则预测，班长或体育委员中至少有一人能够取得优秀的射击成绩。射击结果出来后，我们发现这三位教官中只有一位的预测是准确的。基于这个信息，我们可以推断出哪一项陈述是准确无误的？

A.该班级所有学生的射击成绩均未达到优秀标准

B.该班级所有学生的射击成绩均达到了优秀标准

C.班长的射击成绩达到了优秀标准

D.体育委员的射击成绩并未达到优秀标准

解析：设论域为班里所有学生的集合，谓词A（x）表示x射击成绩优秀，个体词a和b分别表示班长和体育委员。三位教官的预测可以命题符号化为x┐A（x），xA（x），A（a）∨A（b）。依据题意，三位教官仅有一位教官说对。若周教官说对了，那么孙教官必定也对，与题设矛盾，因此周教官说错了。周教官陈述的否定为┐A（a）∧┐A（b），因此选项D正确。

3教学实践与教学反馈

3.1教学实践

在运用案例之前，需要强化学生的基础知识，确保学生掌握命题逻辑与谓词逻辑的主要知识点。在课堂讲授中采用多样化的教学方法，结合讨论、习题课和案例分析等形式，提高学生的参与度和兴趣，同时强调数理逻辑的实践应用。通过解决实际问题，学生了解了数理逻辑在现实世界中的应用。教师收集公务员考试中与数理逻辑紧密相关的逻辑判断题，提供充分的习题训练，鼓励学生通过大量练习来巩固理论知识。在教学过程中关注学生思维发展，引导学生思考，培养学生独立思考的能力。定期评估教学效果，收集学生反馈，及时调整教学策略以满足学生的学习需求。

3.2教学反馈

使用公务员考试中的逻辑判断题作为教学案例，结合多样化的教学方法，学生在课堂上的参与度明显增加，表现出更浓厚的兴趣和更强的积极性。通过强化基础知识和提供充分的习题训练，学生理解能力增强，能够更深刻地理解数理逻辑的概念和原理，课程成绩有所提高。教师通过强调实践应用，增强了学生将数理逻辑知识应用到现实世界问题的能力，学生综合素质得到提升。

结语

本文梳理了数理逻辑在“离散数学”和“人工智能”课程中的重要地位，指出当前数理逻辑教学存在的问题。为了贯彻“以学生为中心”的教学理念，本文结合公务员考试中的逻辑判断题，以增强学生逻辑推理能力为导向，设计生动有趣的数理逻辑教学案例，从数理逻辑的角度分析求解各式各样的实践应用题。教学实践结果表明，把公务员考试中的逻辑判断题作为教学案例，可以提升学生学习的自主性，提升教学效果。

参考文献：

［1］古天龙，徐周波，常亮.离散数学［M］.2版.北京：清华大学出版社，2022.

［2］屈婉玲，刘田，耿素云，等.离散数学［M］.4版.北京：清华大学出版社，2022.

［3］傅彦，顾小丰，王庆先，等.离散数学及其应用［M］.3版.北京：高等教育出版社，2019.

［4］王万良，王铮.人工智能应用教程［M］.北京：清华大学出版社，2023.

［5］蔡自兴，刘丽珏，陈白帆，等.人工智能及其应用［M］.7版.北京：清华大学出版社，2024.

［6］潘晓衡，张宇辉.“以学生为中心”的“离散数学”教学改革［J］.科技风，2024（07）：130132.

［7］谭作文.新工科背景下离散数学课程“案例+四层次实验”实践教学探索［J］.计算机教育，2024（03）：199204.

基金项目：2022年度广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目“以学生为中心的《离散数学》课程教学改革与实践”；2022年广东省研究生教育创新计划项目“《人工智能》高水平课程及教材建设”（2022SFKC080）；2022年度东莞理工学院质量工程项目“产教融合和多学科交叉背景下人工智能的教学改革与实践”（202202013）

作者简介：张宇辉（1990—），男，广东梅州人，博士，讲师，主要研究方向为群体智能与进化计算；李青青（1991—），女，河南平舆人，博士，讲师，主要研究方向为统计学及人工智能。

*通讯作者：潘晓衡（1983—），男，湖南衡阳人，硕士，高级工程师，主要研究方向为云计算及人工智能。