圆锥曲线中定值定点问题的探究与总结

【摘要】圆锥曲线在高中数学中占据重要地位，作为解析几何的一部分，不仅是高考的常考内容，同时也是学生进一步学习高等数学的基础.在圆锥曲线的学习中，定值定点问题尤为重要，涉及椭圆、双曲线、抛物线等知识点，是培养学生综合运用数学知识、逻辑推理能力的重要题型.本文通过对高考真题中定值定点问题的研究和总结，旨在帮助学生更好地理解和掌握这一类问题的解题思路与方法，提高解决实际问题的能力.

【关键词】圆锥曲线；定值定点；高中数学

1题型总结

1.1无参数定值

例1（2011四川理科高考卷第21题节选）在一个椭圆上，已知存在两个顶点，分别用A与B来表示，其中，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（1，0），此时有一条直线l过椭圆焦点F（0，1），并与椭圆相交，交点分别为点C与点D，另外，该直线l和x轴相交于点P处，用Q表示直线AC和直线BD的交点.

（2）如果点P与A，B两点不同，那么请证明：OP·OQ是定值.

解（2）当直线l和x轴表现为垂直关系之时，不符合题意.

设l为y=kx+1（k≠0且k≠±1），

因此P－1k，0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

可知x1+x2=－2kk2+2，x1·x2

=－1k2+2，

直线AC为y=y1x1+1（x+1），

直线BD为y=y2x2－1（x－1），

联立，消去y得x+1x－1=y2（x1+1）y1（x2－1），

因为-1< x1<1，-1<x2 < 1，

所以x+1x－1与y2y1异号，

x+1x－12=k－1k+12，

y1y2=－2（1+k）2k2+2·k－1k+1，

y1y与k－1k+1异号，x+1x－1与k－1k+1同号，

所以x+1x－1=k－1k+1，

解得x=－k，因此Q（－k，y0），

OP·OQ=－1k，0·（－k，y0）=1，故OP·OQ为定值.

1.2含参数定值

例2（2015年四川卷文科高考第20题节选）如图2所示，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，P（1，0）在短轴CD上，且PC·PD=－1.

（2）此处设O是坐标原点，有一条动直线经过点P，并和椭圆分别在A，B两点处相交，请问此时是否有常数λ存在，令OA·OB+λPA·PB的结果为定值？如果确实存在该常数λ，请对其值进行求解；如果不存在该常数λ，请说出不存在的原因.

解可求得椭圆E方程为x24+y22=1，

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x24+y22=1，y=kx+1，

得（2k2+1）x2+4kx－2=0，

Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，

则x1+x2=－4k2k2+1，x1·x2=－22k2+1.

OA·OB+λPA·PB=x1·x2+y1·y2+λx1·x2+（y1－1）（y2－1）=－λ－12k2+1－λ－2.

当λ=1时，－λ－12k2+1－λ－2=－3，

此时，OA·OB+λPA·PB=－3为定值，

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时OA·OB+λPA·PB=－3.

故存在常数λ=1，使得OA·OB+λPA·PB为定值-3.

分析当λ取某一特殊值时OA·OB+λPA·PB为定值，即我们/c7XaOBvfsDDIO4JVuhqkw==要让λ－12k2+1中的k消失.将参变量λ转化了视角将其看做一个定量常数，k作为了一个变量.

1.3无参数定点

例3（2017年全国课标1卷高考第20题节选）已知有一个椭圆C用x2a2+y2b2=1（a>b>0）来表示，另外，有四个点P1，P2，P3，P4，其坐标分别为（1，1），（0，1），－1，32，1，32，在这四个点中，正好有三个点位于椭圆C之上.

（2）有直线 l，该直线并不经过点P2（0，1），并和椭圆C在A，B两个点处相交，如果此时由点A，B，P2组成的两条直线P2A与P2B满足条件：斜率之和为-1，请证明直线l过定点.

解（2）可求得椭圆C方程为x24+y2=1，

①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，－yA），kP2A+kP2B=－1，得m=2无两个交点，与条件不符.

②当斜率存在时.设l：y=kx+b（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=kx+b，x2+4y2－4=0，整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b2－4=0，x1+x2=－8kb4k2+1，x1·x2=4b2－44k2+1，kP2A+kP2B=－1，b×1=－2k－1，可得Δ=－64k，k满足Δ>0，

直线l：y=kx－2k－1，令x=2，对应地有y=－1，最终可以判断，直线l经过定点（2，－1）.

分析直线的斜率有两种类型，对于y=kx－2k－1过定点，此时需要将x与y看做定值，k看做是变量.

2策略研究

两根之和与两根之差可以建立点的坐标与直线解析式之间的关系.当一个代数式中含有多个字母时，我们将哪个字母看作是常数，哪个字母看做是变量牵扯到我们需要的代数结构，其中结构与表示变量的字母对应.

参考文献：

[1]徐粉芹.一例三法解决圆锥曲线中的定点定值问题[J].中学生数理化（高二数学），2023（11）：17-19.

[2]朱印祯.把握核心找思路 通巧结合谋题解——以圆锥曲线定点定值问题为例[J].数学之友，2023，37（19）：31-33.

[3]王寅，李兆庆，陶闺秀.新旧课标下高考圆锥曲线定点定值问题探究——以近5年全国卷试题为例[J].数学教学研究，2022，41（06）：60-64.