2024年高考全国甲卷理数第12题的解析与思考

【摘要】2024年高考全国甲卷理科第12题考查的是动直线与圆相交所得弦的最值问题.本文通过分析动直线的方程特点、圆的方程及几何性质，从几何角度和代数角度推导出弦长的最值.文中结合实例详细阐述求解问题的步骤：审题、思路指引、精细化解题，并总结规律，给出教学思考，旨在帮助学生深入理解相关概念，提升解题能力，为数学教学提供有价值的参考.

【关键词】动直线；圆；弦长；最值问题

在高中数学中，圆与直线的位置关系是重要的知识点.其中，动直线与圆相交所得弦的最值问题常令学生感到困惑.准确求解此类问题，不仅需要扎实的数学基础，更需要清晰的解题思路.本文从一道高考题出发，旨在对此类问题进行系统研究，为教学和学习提供帮助.

1高考试题

（2024年高考全国甲卷理科第12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y－1=0交于A，B两点，则AB的最小值为（）

（A）2.（B）3.（C）4.（D）25.

2审题

本题考查直线与圆的位置关系，属于动直线与圆相交弦的最值问题，我们一般有两种思路解决问题.

从形的角度：观察到直线方程为一般式形式，且含有三个参数，根据等差中项的性质可消参，进而确定其过定点；最后根据定点到动直线的距离确定圆心到直线距离最值，利用弦长公式求最值即可.

从数的角度：根据弦长公式得到弦长的含参表示，再根据等差中项的性质结合比值换元消参，将问题转化为求代数式的最值即可.

3精细化解题

3.1解法1：从形的角度

思路指引（1）观察到直线方程含有三个参数，而b是a，c的等差中项，可利用等差中项的性质消元；

（2）整理直线方程得到ax－1+by+2=0，由式子结构得到直线过定点1，－2；

（3）将圆的方程化为标准方程，作出直线与圆的图形，由数形结合得到圆心与定点连线垂直于直线时弦长可取得最小值；

（4）利用弦长公式计算最值得出结果即可.

解因为a，b，c成等差数列，

所以2b=a+c，c=2b－a，

代入直线方程ax+by+c=0，

得ax+by+2b－a=0，

即ax－1+by+2=0.

令x－1=0y+2=0，得x=1y=－2，故直线恒过点1，－2，设P1，－2.

将圆的方程化为标准方程得x2+y+22=5，设圆心为C，则C0，－2，半径r=5，

画出直线与圆的图形，如图1所示，

易知PC=1，AC=r=5.

当PC⊥AB时，AB最小，

此时AB=2AP=2AC2－PC2=25－1=4.

故选（C）.

点评利用等差中项性质消参，这里化三元为两元，消哪个参数都可以，如消a可得直线方程为b2x+y－cx－1=0，消b得a2x+y+cy+2=0.根据直线方程的特征确定直线过定点，化圆的方程为标准方程，作出直线与圆的图形.解答本题的关键是过圆心作直线的垂线，垂足为D，如图2，可知CD≤CP=1，而AB=2r2－CD2，利用数形结合可判定D，P重合时，AB最小.

3.2解法2：从数的角度

思路指引（1）先将圆方程化为标准方程，确定圆心及半径；

（2）利用点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d，根据弦长公式得：

AB=25－c－2b2a2+b2；

（3）弦长表达式中含有三个参数，由条件b是a，c的等差中项，可利用等差中项的性质消c得AB=25－a2a2+b2；

（4）通过比值换元得：

AB=25－11+ba2，

利用1+ba2≥1计算最值即可.

解将圆的方程化为标准方程得x2+y+22=5，设圆心为C，则C0，－2，r=5.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离

d=c－2ba2+b2.

由弦长公式得：

AB=2r2－d2=25－｜c－2b｜2a2+b2.

b是a，c的等差中项，

所以2b=a+c，c=2b－a，

AB=25－a2a2+b2=25－11+ba2.

易知1+ba2≥1，所以AB≥25－1=4，当且仅当b=0时取得等号.故选（C）.

点评将圆的一般式方程化为标准方程从而确定圆心及半径，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，利用弦长公式含参表示AB.解答本题的关键是根据等差中项的性质消参得AB=25－a2a2+b2，但表达式仍含有两元，注意到式子为二元分式，上下齐次，故可利用比值换元消参得AB=25－11+ba2，利用1+ba2≥1从而确定代数式的最值.

4教学思考

在动直线与圆相交所得弦的最值问题的教学中，首先要强化学生对圆的基本性质和直线方程的理解，这是解决此类问题的基础.应注重培养学生的想象能力，通过多媒体等工具直观展示图形变化，帮助学生更好地理解弦长的变化规律.同时，要引导学生善于运用数形结合的思想，将代数方程与几何图形紧密结合，从而更快捷地找到解题思路.此外，多设计不同类型和难度层次的练习题，让学生在实践中积累经验，提高解题的灵活性和准确性.

5结语

上文通过对动直线与圆相交所得弦的最值问题的研究，为教学提供了新的思路和方法.在今后的教学中，教师要不断引导学生深入思考，培养学生的创新思维和解决实际问题的能力.同时，教师也要不断更新教学理念，提高自身的专业素养，为学生的数学学习创造更有利的条件，促进学生数学水平的全面提升.

参考文献：

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[2]石舢，赵丹丹.直线与圆易错点梳理与分析[J].中学数学教学，2024（03）：32-35.

[3]张志强.直线与圆的位置综合问题探究[J].数理天地（高中版），2024（11）：16-17.