数列“－1n·f(n）”模型求和策略

【摘要】“微专题”是日常教学的重要手段，数列求和问题是高考重点考查的内容.数列常见模型有“－1n·f（n）”，本文立足“通性通法”寻求“模型化”，探索其本质，让学生深刻体会到不同解题的方法的计算量.通过对数列通项公式的剖析和变形，不难发现最终可以转化成数列常用的数列求和方式进行求取.本文通过具体实例，谈谈数列通项公式中含“－1n”形式的解决策略．

【关键词】数列求和；高中数学；解题技巧

高中阶段，数列求和是高考常考的题型，既是重点也是难点，数列求和变化多样，技巧性强，总归万变不离其宗．数列常用的求和基本方法：直接用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等.在高考题中数列求和经常会遇到通项公式有“－1n·f（n）”的形式，往往通过对通项公式分析再进行变形，才能转化成常见的求和模型，这类题目综合性很强，难度也较大，所以在日常更加注重培养学生逻辑思维和数学中转化思想的核心素养．本文通过微专题模式，总结出几种处理数列“－1n.f（n）”模型求和解题策略．

1探究1“－1n×等差通项”型

例1设cn=（-1）n·（4n-3），求数列{Cn}前n项和An.

解决策略1由于“－1n”的产生造成通项公式正负相间出现，可以采用奇偶分类的思想解决，这样分类就把正负数据区分开，可得cn=3－4n（n为奇）4n-3（n为偶），由于求前n项和，求和时尾项到底是谁？此时再次需要分奇偶讨论求和，通常先讨论n为偶数情况，当n为偶数时，An=（c1+c3+c5+…+cn-1）+（c2+c4+c6+…+cn）=[-1+（-9）+（-17）+…+（7-4n）]+（5+13+21+…+4n-3），由于前后两部分和均为等差数列，可以直接用公式法进行求和，An=n2（－1+7－4n）2+n2（5+4n－3）2=2n；

当n为奇数时，可借助偶数情况求取，避免重复运算，即An=An+1-cn+1=2（n+1）-4n-1=-2n+1．

解决策略2通过观察发现相邻两组数据相加，会构成一个新的等差数列，此时可以采用并项求和法解决，此时再次需要分奇偶讨论求和，先讨论偶数，这样恰好两两结组，无剩余项．当n为偶数时，An=（c1+c2）+（c3+c4）+（c5+c6）+…+（cn-1+cn）=（4+4+4+…+4）=4.n2=2n ，当n为奇数时，可借助偶数情况求取，即An=An+1-cn+1=-2n+1；这样就大大减少了计算量，提升解题效率．

解决策略3“－1n”是一个摆动数列，也可以看成以-1为首项，-1为公比的等比数列，此时转化成等差数列乘等比数列模型，可以采用错位相减法求和．

2探究2“－1n×等差通项×等差通项”型

例2已知cn=（-1）n·（3n-2）·（3n+1），求数列{Cn}的前n项和An．

解决策略对于这个题目，大多数学生会想到奇偶分类，但是奇偶分类每段都是二次函数模型，用常规方法依然无从下手，此时，依然可以列举出若干项，若单独项无特点，可以通过相邻两项或者三项结对，观察规律变化，也不违是一种好的分析办法．对此，通过相邻两项的和构成的数值，构成一个新的等差数列，c1+ c2=24，c3+c4=60，c5+ c6=96.

分类讨论，当n为偶数时，cn-1 + cn=18n-12，

可利用等差数列求和公式得：

An=n2（24+18n－12）2=n2（9n+6），

当n为奇数时利用An=An+1-cn+1求取即可．

3探究3“－1n×等比通项”型

例3已知cn=（-1）n·3n+1，求数列{Cn}前n项和An.

解决策略依然可以采用奇偶分类的基本方法，写成分段数列，采取分组求和方法直接用等比数列求和解决；另外一种思路，可以想到把“－1n”与后面指数型进行合并，将3n+1拆分成3·3n，合并结果cn=3·（-3）n，此时可以采用等比数列求和公式求取，即An=3×－3－（－3）n+11－（－3）=－34［3+（－3）n+1］.

4探究4“－1n×等差通项×等比通项”型

例4已知cn=（-1）n·3n+1·（2n-1），求数列{Cn}的前n项和An.

解决策略可以采用奇偶分类的基本方法，写成分段数列，由于每段都是等差比数列，这时候需要采用两次错位相减法进行求和，计算量较大，容易犯计算错误．

还可以将（-1）n与后面指数型进行合并，将3n+1拆分成3·3n，合并结果cn=（6n-3）·（-3）n.可以采用一次错位相减法，此处计算过程不再重复．

能通过两种办法对比，能消除“－1n”往往会减少计算过程，在数列求和问题上更应该讲究解题策略，不要盲目去求解，处理求和问题一定要先观察通项公式，变形成常见的求和模型，简化计算过程，才能避免出现更多错误．

5探究5“－1n×常见分式”型

例5已知cn=－1n-1·4n+4（2n+1）（2n+3），求数列{Cn}的前n项和An.

解决策略通常看到分式问题，常常会联想到错位相减法，裂项的本质就是项与项之间能出现一组相反的数才能抵消掉，所以我们可以尝试将4n+4（2n+1）（2n+3）进行分离，分离的本质思想就是分子用分母整体表示，4n+4=（2n+1）+（2n+3），可得4n+4（2n+1）（2n+3）=1（2n+1）+1（2n+3），由于分离部分的通项公式全部是正数，无法直接裂项，那么－1n-1起到调和裂项的作用，只有引入－1n-1，才可造成通项公式出现正负变化，cn=－1n-1·4n+4（2n+1）（2n+3）=－1n-1[1（2n+1）+1（2n+3）]，所以，An=13+15－（15+17）+…+－1n-1[1（2n+1）+1（2n+3）]

=13+－1n-11（2n+3）.

利用裂项的好处就在于减少了奇偶分类讨论，更加巧妙，同时减少了计算量.在解决数列求和问题时，选择最佳求和方法，才能更准确快捷计算．

例6已知cn=－1n·（6n+5）·2n－1（2n+1）（2n+3），求数列{Cn }的前n项和An.

解决策略要想把通项公式分离开，本质就是分子用分母整体表示，而由于分母不含有指数型，通常可将分子的指数型先剔除，拆分（6n+5）（2n+1）（2n+3）=1（2n+1）+2（2n+3），然后为了出现正负变化需要引入－1n，

即－1n[1（2n+1）+2（2n+3）]·2n－1.

此时通过观察，可知仍然不满足裂项相消的条件，那么2n－1起到非常重要的作用，用来调和裂项，原式可得－1n[2n-1（2n+1）+2n（2n+3）]，此时求和方式很明显，裂项相消法求和，An=－13－25+25+47+…+－1n[2n-1（2n+1）+2n（2n+3）]=－13+－1n2n（2n+3），在裂项求和时一定要检验所剩项数，永远保证剩余对称项，不可能剩余单项，这也是检验裂项是否正确的一种手段．

6探究6“－1n×对数型”

例7已知cn=－1n·ln［n.（n+1）］，求数列{Cn}的前n项和An.

解决策略对数问题往往非常有迷惑色彩，可以利用对数的运算法则将ln［n·（n+1）］进行再次拆分，可得ln［n·（n+1）］=ln n+ln（n+1），观察－1n.［ln n+ln（n+1）］，可知－1n仍然用来调和裂项，An=-ln1-ln2+ln2+ln3+…+－1n.[lnn+ln（n+1）]=－1nln（n+1），所以裂项问题不仅仅存在分式中，也可能存在对数型整式中，这就要求在日常数学学习中不断总结，不断探索.

通过以上几个简单类型的分析，不难发现，无论通项公式多么复杂，最终可以转化成简单的通项公式，采用直接公式法，错位相减，裂项相消等常见的方法解决数列求和问题，通过节选2022年天津卷数学高考数列题目，感受上述的几种求和方法解决“－1n·f（n）”模型的策略．

例8（2022天津卷17题节选部分）设an是等差数列，bn是等比数列，且 a1=b1=a2-b2= a3-b3= 1．

（1）求an与bn的通项公式；

（2）求∑2nk=1ak+1－（－1）kakbk．

解（1） an=2n-1，bn=2n-1.

（2）求和剖析.

角度1通过分奇偶消除“（-1）n”

对于数列求和，通常先求通项公式，再进行求和，可以令ck=[ak+1-（-1）kak]·bk=[（2k+1）-（-1）k（2k-1）]·2k-1.

对通项公式中“（－1）k”分奇偶讨论，当n为偶数时，可知ck=2k；当n为奇数时可知ck=k·2k+1；所以，通项公式可以写成分段形式：

ck=k·2k+1（n为奇）2k（n为偶）.

由分段数列可以分析，奇数部分为等差数列乘等比数列模型，可以借助错位相减法，偶数部分显然是等比数列，可以采用直接公式法求解，所以可以采用分组求和，进而得出整体和式， 简要过程：

∑2nk=1ck=（c1+c3+c5+…+c2n-1）+（c2+c4+c6+…+c2n）.令An=c1+c3+c5+…+c2n-1;Bn=c2+c4+c6+…+c2n.

An=（83n-209）·4n+209.

Bn部分可直接采用等比数列求和公式法，可得Bn=13（4n+1-4），最后通过An+Bn得出结果即可．

角度2通过合并，将“（－1）k”消除

如何将题干中“（－1）k”与相关项合并，值得我们去思考和探究．题目中含有“（－1）k”和2k-1，这部分乘积都含有k次幂，可以把2k-1拆分成12·2k的形式，此时“（－1）k”和12·2k同次幂可以进行合并为12·-2k的形式．

所以此时转化为ck=[ak+1-（－1）kak]·bk=[（2k+1）-（－1）k（2k-1）]·2k-1=（2k+1）·2k-1-（－2）k·（k-12）.

通过观察，（2k+1）.2k-1和-2k.（k-12）两部分分别采用错位相减法分别求出和式即可.

角度3含有“－1n”可考虑并项求和法

当数列中常含有“－1n”符号，项常常体现为正负相间隔出现，也可能会出现周期性变化，此时可以尝试将其中两项或者三项合并成一组，观察规律，然后进行求和．

通过观察相邻两项结组，构成一个新的通项公式，即因为[a2k-（-1）2k-12k-1]b2k-1+[a2k+1--12ka2k]b2k＝（4k-1+4k-3）22k-2+[4k+1-（4k-1）]×22k-1＝2k·4k，可以采用错位相减法求其前n项和．

策略归纳通过三个角度对比，我们不难发现，针对（-1）n的模型，最基本可以采取奇偶分类讨论的思想，去观察每段通项公式特点，进行分组求和．我们在处理（-1）n还可以考虑并项求和法，这道天津卷高考题，精妙之处在于让考生可以采取多种途径进行求和处理，更能培养学生的逻辑思维能力，提升计算水平以及自主学习探究的能力．

“微专题”更具有模块化特点，针对性强，更有助于提升学生的思维能力，增强课堂氛围，培养学生独立思考的能力，更能提升课堂效率，满足学生的需求．数学学习的本质是学习思维方法、提高思维能力.在数学思想方法的引导下，探究拓展问题，分析对比变式拓展前后的问题对象的共同特征，思考能否将问题转化为探究前的问题加以解决，让学生从思维的角度找到解决问题的切人点.

7结语

《普通高中数学课程标准》明确指出：“高中数学教学以发展学生数学核心素养为导向，创设合适的情境，启发学生思考，引导学生探索数学本质内容.”在日常教学中，教师更加注重总结，实现微专题化模式教学，不断探索数学的本质和方法，致力于培养学生持续性发展的数学思想和理念，引导学生探索数学的方法，这也是提升学生数学核心素养的关键，同时也能实现立德树人，为国育才的目的．

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.