巧用圆的参数方程求最值

【摘要】与圆有关的最值问题是近年来高考数学（非解答题）的热点之一.用参数方程解答相关题目往往较用别的方法更便捷，比如利用圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ（θ为参数）可以简化探究距离、长度、定值或取值范围等问题的运算，大大提高解题效率.本文通过析题对比不同解法加以说明.

【关键词】高中数学；圆；参数方程

1巧解数量积的取值范围问题

1.1题目呈现

例1（2022年北京市高考卷第10题）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°。P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA·PB的取值范围是（）

（A）－5，3.（B）－3，5.

（C）－6，4.（D）－4，6.

1.2解法对比

1.2.1平面向量基本定理法

解如图1，取线段AB的中点D，

因为PA=PC+CA，PB=PC+CB，

所以PA·PB=（PC+CA）·（PC+CB）=PC2+PC·（CB+CA）+CA·CB，

因为CB+CA=2CD，

所以PA·PB=1－2CP·CD，

设〈CP，CD〉=θ（θ∈［0，π］），

所以PA·PB=1－2×1×52cosθ=1－5cosθ，

因为－1≤cosθ≤1，故PA·PB的取值范围为－4，6.

点评用平面向量基本定理及平面向量数量积的定义（或投影向量）确定取值范围.

1.2.2圆的参数方程法

解建立如图2所示的平面直角坐标系xCy，则A（3，0），B（0，4），P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，可得动点P（x，y）的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，设点P（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），则PA·PB=（3－cosθ，－sinθ）·（－cosθ，4－sinθ）=1－3cosθ－4sinθ=1－5sin（θ+φ），其中tanφ=34，因为－1≤sin（θ+φ）≤1，所以PA·PB的取值范围为－4，6.

点评用圆的参数方程确定数量积的取值范围.

2巧解距离的最值问题

例2（2020年北京市丰台区高三二模第15题改编）已知集合P={（x，y）∣（x－cosθ）2+（y－sinθ）2=4，0≤θ≤π}.由集合P中所有的点组成的图形如图3中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 则在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为.

解设点M（cosθ+2cosα，sinθ+2sinα），α∈［0，2π），

则MO=|MO|

=（cosθ+2cosα）2+（sinθ+2sinα）2

=5+4cos（θ－α），

因为－1≤cos（θ－α）≤1，所以M到原点的距离的最大值为3.

例3（2019年清华大学领军计划第3题）已知P为单位圆上一动点，且A（0，2），B（0，－1），求|AP||BP|2的最大值.

解设点P（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），

则|AP|=|AP|=5－4sinθ，

|BP|2=BP2=2+2sinθ，

所以|AP||BP|2=5－4sinθ（2+2sinθ）=（5－4sinθ）（2+2sinθ）2，

当θ≠3π2时，则5－4sinθ>0，2+2sinθ>0，

所以，|AP||BP|2≥

（5－4sinθ）+（2+2sinθ）+（2+2sinθ）33

=33，

当5－4sinθ=2+2sinθ，即sinθ=12时取等号；

当θ=3π2时，则P（0，－1），所以|AP||BP|2=0，

综上，|AP||BP|2的最大值为33.

3巧求参数的取值范围问题

例4过点A（m，2）作直线l与圆C：x2+y2=1交于M，N两点，若M点恰好是线段AN的中点，则实数m的取值范围是.

解设M（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），则N（2cosθ－m，2sinθ－2），代入圆方程得，4cos2θ－4mcosθ+m2+4sin2θ－8sinθ+4=1，化简得4mcosθ+8sinθ=m2+7，在θ∈［0，2π）上有解，因为4mcosθ+8sinθ=16m2+64sin（θ+φ），其中，tanφ=m2，所以m2+7≤16m2+64，解得m∈［－5，5］.

例5已知圆的方程为x2+y2=1，点P（x，y）是圆上的任一点，则不等式x+y+xy≥t2+2t－4恒成立，则实数t的取值范围为.

解设P（cosθ，sinθ），θ∈［0，2π），则x+y+xy=cosθ+sinθ+cosθsinθ，

因为cosθsinθ=（cosθ+sinθ）2－12，

所以，x+y+xy=cosθ+sinθ+（cosθ+sinθ）2－12=12（cosθ+sinθ+1）2－1，

因为cosθ+sinθ=2sin（θ+π4）∈［－2，2］，

所以，x+y+xy∈［－1，1+222］，因为不等式x+y+xy≥t2+2t－4恒成立，

所以，－1≥t2+2t－4，即t2+2t－3≤0，所以实数t的取值范围为［－3，1］.

4结语

例1中的两种方法将与圆相关的最值问题，转化为由辅助角公式得到的三角函数值域问题，通过代数运算轻松解决了复杂的几何问题.例3中，同样的是利用三角函数及基本不等式将两条变化的距离问题进行了代数坐标化，从而实现了通过代数运算降低几何抽象带来的思维困难.例4及例5通过参数方程得到的三角函数的有界性，由此确定函数最值，解得不等式得到参数的范围.因此，我们不难发现利用圆的参数方程解决最值问题，实质上就是用三角代换表示圆上的动点坐标，通过将几何问题代数坐标化，转化为三角函数的值域问题，这种处理问题的方式明显达到了事半功倍的效果.

参考文献：

[1]张树鹏.破解向量最值问题的三种有效途径[J].数学学习与研究，2017（11）：126.

[2]蒋伟.化繁为简巧用圆的参数方程解题[J].理科考试研究，2015，22（03）：7.