高中数学解析几何定点定值问题的难点剖析与突破

【摘要】本文旨在深入剖析高中数学解析几何中定点定值问题的难点，并重点分析齐次化、赋值法（点乘双根法）、极点极线等方法在处理这类问题时的应用.通过结合具体例题进行说明，帮助学生更好地理解这些方法的原理和使用技巧，从而提高解题能力.

【关键词】高中数学；定点定值；解题方法

1引言

高中数学中的解析几何定点定值问题因深度和广度而成为学习挑战.这些问题涉及圆锥曲线的复杂特性，需要学生掌握向量、坐标、方程等代数知识.学生在解题中常感困惑，因此寻找高效解题方法至关重要，对学生的学习发展意义重大.

2齐次化法

齐次化法处理解析几何定点定值问题有效.通过平移坐标系或代数变换，转化为齐次方程求解.适用于斜率之和或积为定值的解析几何问题.

例1已知椭圆C：x24+y23=1过点A1，32，E，F是椭圆上的两个动点.

（1）如果直线AE的斜率与AF的斜率之和为2，证明直线EF恒过定点；

（2）如果直线AE的斜率与AF的斜率之积为2，证明直线EF恒过定点．

解析（1）首先完成（平移构造+齐次化）平移坐标系．

平移坐标系，使得坐标原点和点A1，32重合，则x=x′+1，y=y′+32，得新坐标系x′Oy′，在新坐标系中，

椭圆方程为（x′+1）24+y′+3223=1，

化简得3x′2+4y′2+6x′+12y′=0①=1*GB3，

直线EF平移后变为E′F′，其方程不妨设为mx′+ny′=1.

代入①=1*GB3中构建齐次式得3x′2+4y′2+6x′（mx′+ny′）+12y′（mx′+ny′）=0，

化简得（4+12n）y′x′2+（6n+12m）y′x′+（3+6m）=0②=2*GB3，

易知kAE′和kAF′是方程②=2*GB3的两个根，由韦达定理得kAE′+kAF′=－6n+12m4+12n=2，

化简得n=－615m－415，

代入直线mx′+ny′=1，

得mx′+－615m－415y′=1，

整理得mx′－615y′－415y′－1=0，

直线E′F′恒过x′－615y′=0和直线－415y′－1=0的交点－32，－154，

直线EF恒定过点－12，－94．

（2）kAE′·kAF′=3+6m4+12n=2，即m=4n+56，

直线E′F′的方程为n（4x′+y′）+56x′－1=0，

直线E′F′恒过4x′+y′=0和直线56x′－1=0的交点65，－245，

则直线EF恒定过点115，－3310．

3赋值法（点乘双根法）

赋值法（点乘双根法）简化解析几何问题，利用二次函数与其根的关系，设定值或表达式确定条件，快速找到解题关键点.

例2已知椭圆C：x24+y23=1，若直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以直线AB为直径的圆恒过椭圆C的右顶点．求证：直线l恒过定点，并求出该点的坐标．

解析联立方程，构建双根式.设椭圆的右顶点为E（2，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

所以EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0，

联立x24+y23=1，y=kx+m，

化简得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=0，

又因为x1，x2是方程（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=0的两个根，

所以（3+4k2）x2+8mkx+4（m2－3）=（3+4k2）（x－x1）（x－x2）①=1*GB3.

点乘双根法赋值目的是对目标EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0中的（x1－2）（x2－2）和y1y2进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式①=1*GB3中的x进行赋值x=2，

再整体代入EA·EB=（x1－2）（x2－2）+y1y2=0，

即4k2+16mk+7m2=0，

分解因式得（7m+2k）（m+2k）=0，

所以m=－27k或m=－2k.

当m=－2k时，直线l：y=kx+m=kx－2，故直线恒过定点2，0，与直线不过椭圆顶点矛盾，舍去；

当m=－27k时，直线l：y=kx+m=kx－27，故直线恒过定点27，0．

4极点极线法

极点极线法是指通过选极点，将几何关系简化为数学表达式，简化计算.适用于圆锥曲线定点定值问题.

例3如图1，已知椭圆G：x24+y22=1.点P是直线l：y=－12x+2上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当MT=TN时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.

解析判断直线l与椭圆G的位置关系为点P在椭圆G外.

根据极点P求极线方程.又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线，对于椭圆x24+y22=1，与点P（x0，y0）对应的极线方程为x0x4+y0y2=1.

求出定点T：将y0=－12x0+2代入x0x4+y0y2=1，整理得x0x－y+4y－4=0，

显然定点T的坐标与x0的取值无关，即有x－y=0，4y－4=0，解得x=1，y=1，所以存在定点T（1，1）恒在直线MN上.设M（x1，y1），N（x2，y2） ，

代入椭圆G：x124+y122=1x224+y222=1，两式相减，

化简得：y1－y2x1－x2=－12.

故直线MN的方程为：y=－12x+32.

5结语

通过对典型例题的深入剖析，我们洞察到极点极线法、齐次化法和点乘双根法在解决定点定值问题时的优势.这些方法突破了传统解题难点，帮助学生高效解题，深化对圆锥曲线性质的理解，提升解题技巧和数学素养.系统学习这些方法，对学生数学能力发展具有深远意义.

参考文献：

[1]王丽萍.由一道解析几何题引发的一题多解与多题归一[J].中学数学，2024（07）：73-75.

[2]王浩，潘静，陈次光.圆锥曲线中一类定值定点问题的解题策略及拓展[J].中学生数学，2024（07）：16-18.

[3]杨平平.圆锥曲线中有关双割线定点定值问题的研究[J].数学大世界（上旬），2024（03）：71-73.