常见函数解析式的求解方法

【摘要】函数是高中数学的重点内容.函数问题具有涉及范围广、知识点多、联系密切的特点.函数解析式是建立不同变量之间联系的纽带，函数变量之间的具体关系大部分通过解析式体现.函数解析式是解答综合性函数问题的基础，因此掌握求解函数解析式的方法和策略尤为重要.本文介绍四种求解函数解析式的方法，以期帮助学生掌握求解函数解析式的技巧，正确求出函数的具体解析式.

【关键词】函数解析式；高中数学；解题方法

1消元法

消元法是结合已知关系式结构特点，构造与自变量有关的方程式，在运算过程中消去其他与自变量无关的变量，从而得到具体函数解析式的方法.消元法适用于已知多变量关系等式求解析式的问题，具体解题思路为：（1）结合所给关系等式，确定所求函数变量与其他变量之间关系；（2）构造得到其他等价的关系等式，使其能通过基本运算消去与自变量无关的其他变量；（3）通过等式之间的运算，得到与x或fx的表达式，即为函数解析式.

例1已知3fx+2f1x=4x，求解函数fx的解析式.

分析在已知的关系等式中x与1x互为倒数，故可以采取消元方法求解函数fx的具体解析式.用1x代替x可得另一个等式3f1x+2fx=4x，联系问题中所给的关系等式消去f1x后，即可得到函数fx的解析式.

解由题意可得3fx+2f1x=4x①，

令x=1x，

可得3f1x+2fx=4x②，

联立①②，3×①－2×②，

得5fx=12x－8x，

故函数fx的解析式为：

fx=125x－85x.

变式已知定义在R上的函数fx满足3f2－x－2fx=x2－2x，求函数fx.

分析需要将已知等式3f2－x－2fx=x2－2x，消去其他变量f2－x后得到函数解析式，消元过程中应构造等价的关系等式，联合不同等式求函数解析式.

解因为定义在R上的函数满足3f（2－x）－2f（x）=x2－2x①，

将2－x替代x，

可得3fx－2f2－x=2－x2－2（2－x）=x2－2x②，

联立①②，可得fx=x2－2x.

2待定系数法

待定系数法适用于求解已知函数类型的解析式问题，通过已知条件列出含未知系数的函数解析式，将具体值代入其中得到方程组求解，可得具体解析式.运用该方法解题的具体思路为：（1）根据问题已知条件，假设已知类型的含未知系数的函数解析式；（2）结合所给条件，列出与未知系数有关的方程组；（3）求解方程组，即可得到函数f（x）的具体解析式.

例2已知二次函数f（x）满足f（2x+1）=4x2－6x+5，则函数f（x）的解析式为.

剖析已知所求函数是一元二次函数，假设对应的含系数的解析式为f（x）=ax2+bx+c，然后结合已知条件f（2x+1）=4x2－6x+5，可列出有关于未知系数a，b，c的方程式组，解答求出a，b，c的具体值，即可得到函数f（x）的具体解析式.

解析根据题意可知f（x）为二次函数，

所以假设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

所以f（2x+1）=a（2x+1）2+b（2x+1）+c=4ax2+（4a+2b）x+a+b+c.

因为f（2x+1）=4x2－6x+5，

所以由系数相同可得4a=4，4a+2b=－6a+b+c=5，，

解得a=1，b=－5，c=9，

故函数f（x）的解析式为f（x）=x2－5x+9.

变式已知二次函数fx满足f0=2，且fx+1－fx=2x，求函数fx的解析式.

分析首先函数是二次函数，未知系数包括a，b，c，需要分析已知条件列出与a，b，c有关的方程组，并运算求解，才能得到函数解析式.

解设fx=ax2+bx+c，

则有f0=c=2，

因为fx+1－fx=ax+12+bx+1－ax2－bx=2ax+a+b=2x，

所以2a=2，a+b=0，解得a=1，b=－1，

所以fx=x2－x+2.

3换元法

换元法适用于已知解析式与所求函数存在一定联系的问题.运用换元法求解函数解析式的具体思路为：（1）根据所给条件，明确已知的函数解析式与所求函数f（x）之间的联系；（2）引入变量t，用t表示已知的函数解析式；（3）由于f（x）与f（t）两者的自变量意义相同，故所求f（t）的解析式等价于问题所求f（x）的解析式.

例3若函数f（x）满足f（2x+2）=4x2－6x+5，求函数f（x）的解析式.

分析已知的解析式与所求函数f（x）存在一定联系，可引入变量t将2x+2进行替换，求出用t表达的等价函数解析式，此时f（x）与f（t）两者的自变量意义相同，故f（t）的解析式即为问题所求f（x）的具体解析式.

解设2x+2=t，

x=t－22，

所以f（t）=（t－2）2－3（t－2）+5=t2－10t+15，由于f（x）中x与f（t）中t意义相同，

故函数f（x）的解析式为f（x）=x2－10x+15.

4配凑法

配凑法与其他方法不同，具体在于增减具体项使原关系式能等价转化为同一个变量表示的关系等式，这种方法适用于已知自变量非所求函数的函数解析式，如已知f2x解析式求fx，应将已知等式用2x表示，根据定义可知fx解析式.具体解题步骤为：（1）用已知解析式中对应变量表示等式，配凑得到类似fmx－n=amx－n2的等式；（2）根据函数表达式定义，由fmx－n=amx－n2可对应得到函数fx=ax2，此时可求得函数解析式.

例4已知fx+1=2x－3，求fx.

分析首先将2x－3配凑成用x+1表示的等价表达式，此时fx+1与所求函数fx意义相同，可知fx对应的函数解析式.

解由题意可得，fx+1=2x2－3=2x+1－12－3

=2x+1－12－4x+1－1，

所以fx=2x2－4x－1，x≥1.

5结语

通过上述例题和解题思路的具体分析，可以发现不同方法有着对应的适用范围.求解函数解析式的问题是解答函数问题的基础，也是通往函数其他性质的大门.因此，学生们一定要熟悉掌握不同题型的函数解析式的求解方法.值得注意的是，不论哪一种方法的运用，定义域是不容忽视的细节.

参考文献：

[1]许万成.求函数解析式的常见方法[J].数理天地（高中版），2022（03）：15.

[2]秦雷宇.例析求函数解析式的四种方法[J].中学生数理化（高一使用），2023（10）：21.