探究导数不等式恒成立的判定方法及其数学原理

【摘要】本文探究导数不等式恒成立的判定方法及其数学原理.主要采用分类讨论的思想、参数隔离法以及等价转化和函数构造法等方法，通过具体例题分析说明判断导数不等式恒成立的参数范围的求解过程.利用分类讨论思想可将复杂的参数范围求解问题简化，通过参数隔离法可确定参数取值区间，应用等价转化和函数构造则法可将不等式问题转化为函数单调性问题从而确定参数范围.

【关键词】高中数学；导数不等式；解题

1引言

在高中数学教学中解答导数不等式时常常感到困惑，究其原因主要在于对导数不等式恒成立条件的判定方法掌握不够全面深入.探究导数不等式恒成立的判定方法及其数学原理对提高学生解题能力和数学素养具有重要意义.本文将从分类讨论、参数隔离以及等价转化和函数构造三个角度通过实例分析阐述导数不等式恒成立的判定方法，以期为高中数学教学提供一些新的思路和启示.

2利用分类讨论的思想求参数范围

例1现有f（x）=x－1·lnx－2－a（x－3），a∈R.试求：

（1）当a=1时，函数f（x）=x－1·lnx－2－ax－3的单调性；

（2）若x>3时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

解析（1）f（x）的定义域为（2，+∞）.

若a=1，

则f（x）=x－1·lnx－2－x－3，

故f′（x）=lnx－2+x－1x－2－1=ln（x－2）+1x－2.

令h（x）=lnx－2+1x－2，

则h′（x）=1x－2－1（x－2）2=x－3（x－2）2.

令h′（x）=0，可得x=3.

所以当x∈2，3时，h′（x）<0，h（x）单调递减；

当x∈3，+∞时，h′（x）>0，h（x）单调递增.

故h（x）min=h（3）=1>0，

则当x>2时，h（x）=f′（x）>0恒成立.

因为f（x）的定义域为2，+∞，

故当a=1时，f（x）仅有单调递增区间2，+∞.

（2）若x>3时，f（x）>0恒成立可等价为lnx－2－a（x－3）x－1>0在3，+∞恒成立.

令g（x）=lnx－2－a（x－3）x－1，x>3，

则g′（x）=1x－2－2a（x－1）2

=x2－2（a+1）x+4a+1（x－2）（x－1）2.

令φ（x）=x2－2（a+1）x+4a+1，x>3，

则当a≤2时，a+1≤3，故φ（x）在区间3，+∞上单调递增.

φ（x）>φ（3）=4－2a≥0，即g′（x）≥0，故g（x）在3，+∞上单调递增.

令g（x）=0，

解得x=3，

所以g（x）>0，在3，+∞上恒成立.

当a>2时，a+1>3，φ（3）=4－2a<0，故φ（x）=0的两个实数根分别为x1，x2，故x1<3<x2.

x∈（3，x2）时，φ（x）<0，g′（x）<0，在（3，x2）上g（x）单调递增.

因为g（3）=0，故当x∈（3，x2）时g（x）<g（3）=0，故在（3，x2）上g（x）>0不恒成立.

故a的取值范围为（－∞，2］.

3利用参数隔离法确定参数取值区间

例2现有f（x）=ex+ax－1．若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，试求a的取值范围.

解析由题意可得f（x）=ex+ax－1≥x2，

得a≥1+x2－exx，

令g（x）=x+1－exx，

所以g′（x）=（2x－ex）x－（1+x2－ex）x2=（x+1－ex）（x－1）x2

令h（x）=x+1－ex，x∈（0，1），

则h′（x）=1－ex，

又因为x∈（0，1），

所以h′（x）=1－ex<0，

所以在区间（0，1）上h（x）=x+1－ex单调递减.

故对于x∈（0，1），有h（x）<h（0）=0.

又因为x－1<0，x2>0，

所以g′（x）=（x+1－ex）（x－1）x2>0，故在区间（0，1）上，g（x）单调递增.

g（x）<g（1）=2－e，

故a的取值范围为［2－e，+∞）.

4通过等价转化和函数构造确定参数范围

例3现有f（x）=aeax－lnx，已知当x>1时，f（x）≥0恒成立．试求a的取值范围.

解析因为当a≤0时，f（x）<0不符题意.

当a>0时，有aeax≥lnx.axax≥xlnxeaxlneax≥xlnx.

令h（x）=xlnx，x>1.h′（x）=lnx+1>0恒成立，所以在（1，+∞）上h（x）单调递增.

因为x>1，a>0，

故eax>1.又axeax≥xlnx，

也即h（eax）>h（x），

故eax≥x，ax≥lnx，a≥lnxx.

令g（x）=lnxx，x>1，

则h′（x）=1－lnxx2.

令g′（x）>0，得1<x<e，g（x）在（1，e）上单调递增；

令g′（x）<0，得x>e，g（x）在（e，+∞）上单调递减.

g（x）max=g（e）=1e，

故a的取值范围为1e，+∞.

5结语

判定导数不等式恒成立的方法主要有分类讨论、参数隔离法、等价转化和函数构造法等，每种方法都有其独特的优势和适用范围.在实际解题过程中，应根据题目的具体情况灵活选择和综合运用这些方法，这样才能更高效、准确地求解出参数的取值范围.同时，深入理解这些方法背后的数学原理，对于培养学生的数学思维能力和创新意识也有着重要的促进作用.

参考文献：

[1]何晨霞.不等式恒成立参数取值范围——一道函数最值的探究[J].数理化解题研究，2024（16）：28-30.

[2]沈丽红.不等式恒成立问题常见易错题剖析[J].中学生数理化（高考数学），2024（06）：24-25.

[3]周建权.例谈不等式恒成立求参数范围问题的解题策略[J].中学数学，2024（09）：87-89.