多元函数极值问题的创新解题应用

【摘要】高中数学教学中，多元函数极值问题的学习不仅强化理论知识，更注重培养学生解决实际问题的能力.通过工厂生产优化案例，学生学会应用偏导数和拉格朗日乘数法处理约束条件，以最大化利润或效益，从而提升数学建模与解决问题的技能能力.

【关键词】函数极值；高中数学；解题方法

1引言

多元函数极值问题是高中数学教学中的重要内容，不仅涉及多个变量函数的极大值和极小值的求解，还在实际应用中具有广泛的意义.通过解决此类问题，学生不仅能够掌握数学理论知识，还能将其应用于复杂的实际问题中，如资源优化和生产效率最大化等.为了帮助学生更好地理解和解决多元函数极值问题，教学过程中可以引入创新的解题方法，例如拉格朗日乘数法、对称性简化计算以及数值方法.

2多元函数极值问题的解题分析

多元函数极值问题是高中数学的重要内容，涉及多个变量函数的极大值和极小值的求解.解题步骤包括计算偏导数、求驻点、利用Hesse矩阵判断极值点.创新方法包括利用对称性简化计算、拉格朗日乘数法求解约束极值、借助数值方法和计算工具，以及通过绘制图象进行几何直观分析[1].

3多元函数极值解题教学

3.1多元函数极值的概念和意义

学生掌握了基础解题技巧，引入创新方法如简化计算、拉格朗日乘数法和数值方法，不仅扩展了解题思路，也培养了学生的逻辑推理和创新能力[2].

例1考虑函数fx，y=x2+y2－4x+6y在区域D=x，y∈R2x2+y2≤9上的极值问题.

解析计算偏导数：

fx=2x－4，fy=2y+6.

求驻点：使偏导数等于零，得到方程组：

2x－4=0，2y+6=0，

解得x=2，y=－3.

判断极值：构造Hesse矩阵：

H=2002.

计算行列式D=4>0，且fxx=2>0，所以驻点2，－3是一个局部极小值点.

在区域D上的极值：区域D是圆x2+y2≤9.

检查边界x2+y2=9上的极值：

参数化边界x=3cosθ，y=3sinθ函数变为

gθ=9cos2θ+9sin2θ－12cosθ+18sinθ.

求解g′θ=0，得到极值点.

比较边界上的极值和内部的极小值，得出整个区域D上的极值点.

例2考虑函数fx，y=x3+y3－3xy在区域D={（x，y）∈R2|x≥0，y≥0，x+y≤4}上的极值问题.

解析计算偏导数：

fx=3x2－3y，fy=3y2－3x.

求驻点：将偏导数等于零，得到方程组：

3x2－3y=0，3y2－3x=0，

化简为：x2=y，y2=x，

解得x，y=1，1或x，y=0，0.

判断极值：

对于x，y=1，1，

构造Hesse矩阵：

H=6x－3－36y1，1=6－3－36.

计算行列式D=36－9=27>0，且fxx=6>0，所以x，y=1，1是一个局部极小值点.

在区域D上的极值：区域D是在第一象限中的一个三角形区域.

检查边界x+y=4上的极值：参数化边界y=4－x，将函数fx，4－x化简为关于x的函数.

求解fx=0得到极值点.

比较边界上的极值和内部的极小值，得出整个区域D上的极值点.

3.2提供实际问题的解题思路和方法

在高中数学教学中，多元函数极值问题不仅可以帮助学生理解数学概念，还能够培养他们解决实际问题的能力.通过提供实际问题的解题思路和方法，学生学会将数学知识应用于复杂的优化问题，包括问题建模、偏导数计算、驻点分析、约束条件处理和创新解题方法的应用.

例3企业生产两种产品A和B，其利润分别由PAx，y=3x+5y和PBx，y=4x+2y给出，其中x和y分别表示产品A和B的生产量.企业的生产条件是总成本不超过1000元，即约束条件为3x+2y≤1000.如何确定生产量x和y以最大化总利润？

解析目标函数建立：总利润函数为fx，y=PAx，y+PBx，y=7x+7y.

约束条件：总成本约束为3x+2y≤1000.

求解驻点：计算偏导fx=7和fy=7，得到驻点x，y=0，0.

考虑约束条件下的最优解：将总成本约束3x+2y≤1000纳入考虑.通过拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数：

Lx，y，λ=7x+7y+λ1000－3x－2y.

求解方程组Lx=0，Ly=0，

1000－3x－2y=0，

得到最优解x，y=2003，2003

确定最优生产量：在给定的成本约束条件下，最大化总利润的最优生产量分配为x=2003和y=2003，对应的最大总利润约为f2003，2003≈933.3元.

3.3组织实践活动和讨论

在高中数学教学中，多元函数极值问题的学习不仅限于理论知识的传递，更重要的是通过组织实践活动和讨论，培养学生探索和应用数学知识解决实际问题的能力.通过引入实际问题并建立数学模型，学生学会计算偏导数、寻找驻点，并利用拉格朗日乘数法处理约束条件.这种综合的学习方式不仅促进了数学思维的发展，还培养了学生的问题解决能力和创新思维，为他们未来的学术和职业生涯打下坚实的数学基础[3].

例4考虑一个农场主要种植小麦和玉米，目标是在有限的土地和资源下最大化收益.已知小麦的单价为每单位100元，玉米的单价为每单位80元.假设种植小麦和玉米需要的土地分别为x、y公顷，每公顷土地种植小麦和玉米所需要的水量分别为3万立方米和2万立方米，而总土地面积为10公顷.此外，农场的水资源限制要求小麦和玉米的种植所需水量不超过30万立方米.如何确定种植小麦和玉米的最佳分配以最大化总收益？

解析目标函数建立：总收益函数为R（x，y）=100x+80y，表示小麦和玉米的总收益.

约束条件：土地约束条件：x+y≤10，总土地不超过10公顷.

水资源约束条件：3x+2y≤30，总水资源不超过30万立方米.

求解最优解：计算偏导数Rx=100，Ry=80.

根据偏导数为零的条件，得到100=λ·1和80=λ·1.

通过拉格朗日乘数法和约束条件解出x=6.

4结语

多元函数极值问题的学习不仅传授理论知识，更培养学生解决实际问题的能力.通过应用数学模型和优化方法，学生学会在复杂约束下最大化利润或优化资源分配，提升数学思维和解决现实挑战的能力.