概率与数列综合问题的解题策略

【摘要】概率与数列综合问题是近几年高考的热点，也是难点.此类问题需要对概率有深入的理解，常需要建立递推数列、构造等比数列求通项公式和前n项和解决.本文给出概率与数列综合问题的解题策略，并应用于解决实际问题.

【关键词】概率；数列；高中数学；解题策略

概率与数列结合的方法在数学和统计学中是一种常见且重要的方法.而概率与数列的综合问题通常涉及对数列的特性和概率的深入理解，以及如何将这两者有效地结合起来.本文结合具体实例介绍概率与数列综合问题的解题策略.

1解题策略

（1）理解题意：首先，需要清楚理解题目的要求和背景，识别出与数列和概率相关的关键信息.

（2）识别数列模式：在理解了题目后，需要识别出与概率问题相关的数列模式.这可能涉及离散型随机变量的分布列和数学期望.

（3）建立数列模型：根据识别出的数列模式，需要建立一个合适的数列模型.这可能涉及数列的递推公式、通项公式，或者等比数列的求和等.

（4）应用数列模型：建立好数列模型后，需要将其应用到概率问题的处理中.这可能涉及计算某些事件的概率，或者求解随机变量的期望等.

（5）应用数列的性质和公式：利用等比数列的性质和公式，求出数列的通项公式或求和公式.

（6）求解概率：最后，根据数列的通项公式或求和公式，求出题目要求的概率.

以上步骤仅是一个大致的流程，具体的步骤可能会因题目的不同而有所变化.在解题过程中，还需要灵活运用所学的数学知识，如排列组合、对称性、全概率公式等，简化问题，提高解题效率.

2题目应用

例1杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第n步台阶的概率为pn（0≤n≤8），记p0=1．

（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列；

（2）①求证：数列pn－pn－1（1≤n≤7）是等比数列；

②求队员赢得吉祥物的概率．

解析（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为23，爬两步台阶的概率为13，所以随机变量X可能取值为4、5、6、7、8，可得X的分布列如表1.

（2）①证明：n=1，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，向上点数不是3的倍数概率p1=23，则p1－p0=－13.到达第n步台阶有两种情况：

a.前一轮爬到第n－2步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为13pn－2；

b.前一轮爬到第n－1步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为23pn－1.

所以pn=13pn－2+23pn－1（n=2，3，…，7），

则pn－pn－1=－13pn－1－pn－2，

所以数列pn－pn－1（n=1，2，…，7）是首项为－13，公比为－13的等比数列．

②因为数列pn－pn－1是首项为－13，公比为－13的等比数列，

所以pn－pn－1=－13n，

得p1－p0=－13，p2－p1=－132，

…，

pn－pn－1=－13n.

各式相加，得pn－p0=－141－－13n，

所以pn=34+14－13n（n=1，2，…，7）.

所以活动参与者得到纪念品的概率为

p8=13p6=13×34+14×－136=14+

14×137=5472187．

例2一只蚂蚁在正四面体的表面爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往三个相邻顶点之一，小蚂蚁在第n秒爬回初始位置的概率为pn，其中n∈N*．

（1）解释p1的实际意义，并求p1，p2的值；

（2）写出pn+1和pn满足的关系式，并求数列pn的通项公式．

解析（1）p1为蚂蚁第1秒爬回初始位置的概率．因为一秒钟后小蚂蚁已离开出发点到达正四面体另外一个顶点，所以p1=0.

因为两秒内蚂蚁爬行的路径有9种，其中能回到初始位置的路径有3种，所以p2=13．

（2）因为小蚂蚁在第n秒爬回初始位置的概率为pn，其中n∈N*，所以第n秒时位于非初始位置的三个顶点之一的概率为1－pn，

所以pn+1=131－pn+0×pn，且p1=0，

整理得pn+1－14=－13pn－14，且p1－14=－14≠0.

可知数列pn－14是以－14为首项，－13为公比的等比数列，

则pn－14=－14×－13n－1，

所以pn=34－13n+14．

3结语

概率与数列有着紧密的联系.利用概率模型可描述数列问题，比如在某些情况下，数列的生成或变化可以通过概率模型来描述.而在随机过程中，数列的每一项可能是随机变量的实现，而这些随机变量的分布和特性可以通过概率来描述.同样，也可以用概率来分析数列的性质，例如数列的收敛性、数学期望、方差等.这种分析方法特别适用于那些与随机性有关的数列，都需要对数列和概率有深入的理解，同时还需要一些数学和统计学的知识.

参考文献：

[1]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2022.