基于一道试题的解后反思

【摘要】近几年高考全国卷中出现了探究原函数和导函数对称性的试题，这些试题新颖抽象，研究内容具有前沿性，不仅考查了学生严谨的逻辑推理论证，还考查了学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考“基础性、综合性、应用性和创新性”的“四翼”考查要求.根据高考试题，近期的高三试卷中也出现了相关题型.本文由一道模拟试题引发的解后反思，进一步探究一些一般性结论，以供参考.

【关键词】原函数与导函数；高中数学；解题技巧

1题目展示

例设定义在R上的函数fx与gx的导数分别为f′x与g′x，已知fx=g3－x－1，f′x+1=g′x，且f′x关于直线x=1对称，则下列结论一定成立的是（）

（A）fx+f2－x=0.

（B）f′2=0.

（C）g1－x=g1+x.

（D）g′x+g′2－x=0.

这是江苏省泰兴中学2024届高三4月学情调研考试中的一道多项选择题，该题的全年级平均得分仅有0.52分，属于较难题.这道题主要是考查原函数和导函数的对称性问题，具有前沿性，也是热点题型.借助本题，本文探究原函数和导函数对称性的一般性结论，以期对今后的学习抛砖引玉.

2分析思考

解析对于（A）选项，选（A）项的学生高达82.7%，就其错误原因分析如下.

因为f′x的图象关于直线x=1对称，所以f′x=f′2－x，由这个式子很多学生得出等式fx=－f2－x，从而认为（A）选项正确.

事实上，由f′x=f′2－x我们应该得出fx=－f2－x+t（t为常数），也就是说若导函数图象关于直线x=1对称，那么原函数图象关于1，t2中心对称，而不一定关于1，0中心对称.例如函数fx=cosπ2x+1，其导函数f′x=－π2sinπ2x，f′x的图象关于直线x=1对称，而原函数图象关于1，1中心对称.

对于（B）选项，由f′x关于直线x=1对称，且f′x+1=g′x，得g′x的图象关于直线x=0对称，即g′x为偶函数；由fx=g3－x－1两边求导可得f′x=－g′3－x，再由f′x+1=g′x得f′x=g′x－1，所以g′x－1=－g′3－x.所以g′x=－g′2－x，g′x的图象关于1，0中心对称.

由f′x=g′x－1得f′x的图象关于2，0中心对称，所以f′x=－f′4－x①=1*GB3*MERGEFORMAT，在①=1*GB3*MERGEFORMAT中令x=2，得f′2=－f′2.所以f′2=0，故（B）选项正确.

对于（C）选项，由于g′x的图象关于1，0中心对称，所以g′x=－g′2－x，所以gx=g2－x+t②=2*GB3*MERGEFORMAT，在②=2*GB3*MERGEFORMAT中令x=1，得t=0，所以gx=g2－x，所以g1+x=g1－x，故（C）选项正确.

对于（D）选项，由于g′x的图象关于1，0中心对称，所以g′x=－g′2－x，所以g′x+g′2－x=0，所以（D）选项正确.

故选（B）（C）（D）.

思考1本题主要考查原函数和导函数的对称性问题，我们比较熟悉的根据原函数的对称性可以推导出其导函数的对称性，相关结论如下.

结论1对于定义在R上的可导函数fx，其导函数为f′x，若fx的图象关于直线x=m对称，则f′x的图象关于点m，0对称.

证明因为fx的图象关于直线x=m对称，

所以fx=f2m－x.

两边求导得：f′x=－f′2m－x，所以f′x的图象关于点m，0对称.

结论2对于定义在R上的可导函数fx，其导函数为f′x，若fx的图象关于点a，b对称，则f′x的图象关于直线x=a轴对称.

证明因为fx的图象关于点a，b对称，

所以fx=2b－f2a－x.

两边求导得：f′x=f′2a－x，所以f′x的图象关于直线x=a轴对称.

思考2下面探究已知导函数的对称性，那么原函数的对称性如何.根据本调研试题分析得到如下结论.

结论3对于定义在R上的可导函数fx，其导函数为f′x，若f′x的图象关于直线x=m对称，则fx的图象关于点m，fx0+f2m－x02

（x0为定义域内任意一个值）中心对称.

证明因为f′x的图象关于直线x=m对称，

所以f′x=f′2m－x，

∫f′xdx=∫f′2m－xdx，

故fx+c=－f2m－x+d，

即fx=d－c－f2m－x.所以fx的图象关于点m，d－c2中心对称.

其中d－c2=fx0+f2m－x02（x0为定义域内任意一个值），所以fx的图象关于点m，fx0+f2m－x02中心对称.

结论4对于定义在R上的可导函数fx，其导函数为f′x，若f′x的图象关于点t，0中心对称，则原函数fx的图象关于直线x=t轴对称.

证明因为f′x的图象关于点t，0中心对称，

所以f′x=－f′2t－x，

∫f′xdx=∫－f′2t－xdx.

故fx+c=f2t－x+d，

fx=f2t－x+d－c③=3*GB3*MERGEFORMAT.

在③=3*GB3*MERGEFORMAT中令x=t，得ft=ft+d－c，所以d－c=0.

所以fx=f2t－x，fx的图象关于直线x=t轴对称.

3结语

在近三年全国高考试卷中涉及原函数与导函数的对称性的试题有2021年新高考II=2*ROMAN*MERGEFORMAT卷第8题和2022年新高考I卷第12题，这些试题的出现改变了以往单一的考查微分思想，逐步渗透到由导函数探究原函数的积分领域，这不仅为后续学习微积分做了铺垫，更体现了新高考考查要求：基础性、综合性、应用性和创新性的“四翼”要求.

【本文系江苏省泰州市教育科学“十四五”规划2021年度重点立项课题《基于UbD理论的高中数学逆向教学设计》研究成果；课题编号：tjkzd2021-080】

参考文献：

[1]邓启龙.函数与导函数的图象的对称性[J].数理化解题研究，2023（16）：5-10.

[2]胡芳举.导函数与原函数的奇偶性、对称性、周期性的关系[J].中学生数学，2023（17）：3-5.

[3]刘海涛.探析导函数与原函数间的对称性关系[J].中学生数学，2021（07）：8-9.