从一道模拟题谈抛物线的对称美

【摘要】圆锥曲线中的综合问题是高考的难点，由于题型比较灵活，学生往往难以突破，究其原因是没有很好的把握圆锥曲线的性质和特点.圆锥曲线具有很好的对称性，特别是在定点、定值等命题中有很好地体现，也是命题者在命题中喜欢深度挖掘的问题.如果我们能够探索其中的规律，就能够很好的突破难点.本文从一道模拟题出发，探索抛物线中的定点、定值和最值等问题，体现抛物线的对称美，还体现由特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想.

【关键词】圆锥曲线；定点；定值；高中数学

1题目及解析

例在平面直角坐标系内，点F1，0，过点P作直线l：x=m的垂线，垂足为M，MF的中点H在y轴上，且PM+PF·FM=0.设点P的轨迹为曲线Q.

（1）求曲线Q的方程;

（2）已知点D－1，0，A为曲线Q上一点，直线AD交曲线于另一点B，且点A在线段BD上，直线AF交曲线Q于另一点C，△BCD内切圆的半径是否存在最小值？若存在，求出最小值.若不存在，请说明理由.

分析本题第（2）问需要证明当点D与抛物线相切时，△BCD内切圆的半径达到最小值.但是当点D与抛物线相交时，由几何法可以证明随着直线的倾斜角变小，△BCD内切圆的半径越来越大.所以当相切时内切圆的半径取不到最小值.

解（1）y2=4x.

（2）如图1所示，过点D作抛物线y2=4x的两条切线，设切点分别为Cx1，y1，Bx2，y2.

直线CD的方程为：y=k1（x+1）（k1>0），

设直线BD的方程为：y=k2（x+1）（k2<0）.

联立方程组y=k1x+1，y2=4x，

得：k1y2－4y+4k1=0.

因为直线CD与抛物线相切，

所以Δ=16-16k2=0，

所以k1=1，

所以y2－4y+4=0，y1=2，

同理得k2=－1，y2=－2，

所以k1k2=－1，x1=x2=1，BD⊥CD，B，C关于x轴对称且线段BC过焦点F，

所以△BCD为等腰直角三角形，

CD=BD=22+22=22，BC=4，

此时r=2S△BCDC△BCD=2×12×22×2222+22+4=22－1.

如图2所示，已知点D－1，0，A为曲线Q上一点，直线AD交曲线于另一点B，且点A在线段BD上，直线AF交曲线Q于另一点C，设Ax1，y1，Cx2，y2，Bx3，y3，直线AF的方程为：x=my+1，直线AD的方程为：x=ny－1，

联立方程组x=my+1，y2=4x，

得：y2－4my－4=0，

所以y1y2=－4，

同理联立x=ny－1，y2=4x，

得：y2－4ny+4=0，

所以y1y3=4，

所以y2=－y3，即B，C关于x轴对称.

设BC交x轴于点E，CE=m，△BCD内切圆的圆心为M，半径为r，

设∠MCE=α，

则∠CDE=π2－2α，r=m·tanα.

当∠CDE越小，则α越大，tanα越大，m越大，易知r=m·tanα越大.

故当BD、CD与抛物线相交时，r>22－1，即△BCD内切圆的半径r不存在最小值.

2一般结论的推导

笔者思考是否可以把题目中的抛物线和相关的点进行一般化，并做了尝试，证明得到了以下的结论.

结论1在平面直角坐标系内，点Fp2，0，过点P作直线l：x=m的垂线，垂足为M，MF的中点H在y轴上，且PM+PF·FM=0.设点P的轨迹为曲线Q.

（1）求曲线Q的方程;

（2）已知点D－p2，0，A为曲线Q上一点，直线AD交曲线于另一点B，且点A在线段BD上，直线AF交曲线Q于另一点C，△BCD内切圆的半径是否存在最小值？若存在，求出最小值.若不存在，请说明理由.

解如图1所示，过点D作抛物线y2=2px的两条切线，设切点分别为Cx1，y1，Bx2，y2.

设直线CD的方程为：

y=k1x+p2k1>0.

设直线BD的方程为：

y=k2x+p2k2<0.

联立方程组y=k1x+p2，y2=2px，

得：k1y2－2py+k1p2=0.

因为直线CD与抛物线相切，

所以Δ=4p2-4k12p2=0，

所以k1=1，

所以y2－2py+p2=0，故y1=p，

同理：得k2=－1，y2=－p，

所以k1k2=－1，x1=x2=p2，BD⊥CD，B，C关于x轴对称且线段BC过焦点F，

所以△BCD为等腰直角三角形，

CD=BD=p2+p2=2p，BC=2p，

此时r=2S△BCDC△BCD=2×12×2p×2p2p+2p+2p

=p2－1.

如图2所示，已知点D－p2，0，A为曲线Q上一点，直线AD交曲线于另一点B，且点A在线段BD上，直线AF交曲线Q于另一点C，

设Ax1，y1，Cx2，y2，Bx3，y3，

直线AF的方程为：x=my+p2，

直线AD的方程为：x=ny－p2，

联立方程组x=my+p2，y2=4x，

得y2－2pmy－p2=0，

所以y1y2=－p2，

同理联立x=ny－p2，y2=4x，

得：y2－2pny+p2=0，

所以y1y3=p2，

所以y2=－y3，即B，C关于x轴对称，

设BC交x轴于点E，CE=m，△BCD内切圆的圆心为M，半径为r，

设∠MCE=α，则∠CDE=π2－2α，

r=m·tanα，

当∠CDE越小，则α越大，tanα越大，m越大，易知r=m·tanα越大.

故当BD、CD与抛物线相交时，r>p2－1，即△BCD内切圆的半径r不存在最小值.

参考文献：

[1]龙宇.构造斜率方程妙解定值问题[J].数理化学习，2018（07）：21-23.

[2]杨仑元.抛物线焦点弦的一组性质在高考中的应用[J].课程教育研究（学法教法研究），2017（14）：195.

[3]秦江铭.浅谈抛物线中的定点、定值问题[J].中学数学教学参考，2022（15）：39-40.

[4]杨松松，王东伟.一道抛物线中定点定值试题的探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022（13）：32-33.