绝对值函数的探究与应用

【摘要】本文主要对函数fx=|ax+b|±|cx+d|的解析式、图象、性质等进行探究，将函数fx=ax+b±cx+d分为四类，总结每一类的函数性质，借助几何画板绘制每一类函数的图象，接着运用性质及图象解决问题．运用本文的内容，不需要分类讨论去绝对值就可解决问题，这样有效的避免了去绝对值带来的麻烦.通过本文探究，对函数fx=ax+b±cx+d有一个宏观的把握，这些函数性质能够快速准确的解决双绝对值不等式相关题型．

【关键词】隔点；函数；双绝对值；高中数学

1隔点的定义

对于ax+b，其中a≠0，我们把ax+b=0的实数x叫做隔点.

如函数fx=ax+b±cx+d（a≠0，c≠0）中有2个隔点，分别为x1=－ba，x2=－dc.

2将函数fx=ax+b±cx+d分为四类进行探究

2.1同系数双绝对值的和fx=ax+b+ax+d，其中a≠0，b≠d

证明函数fx=ax+b+ax+d中有2个隔点，分别为x1=－ba，x2=－da.

不妨设a>0，x1<x2，则

fx=－2ax－b－d， x<x1b－d， x1≤x≤x22ax+b+d， x>x2

由分段函数画出fx=ax+b+|ax+d|的图象形状为图1.

（1）函数fx=ax+b+ax+d有对称轴x=x1+x22=－b+d2a.

（2）当x0∈x1，x2时，fxmin=fx0=fx1=fx2.

例1（2008年山东高考题） fx=x+1+x－a关于x=1对称，求a的值.

解由上述结论可知fx=x+1+x－a的对称轴为x=a－12，即a－12=1；解得a=3.

例2（2013年重庆卷第16题）若关于实数x的不等式x－5+x+3<a无解，则实数a的取值范围是．

解在了解fx=x－5+x+3图象的基础上，易知：fxmin=f5=8，即a≤8.

2.2同系数双绝对值的差fx=|ax+b|－|ax+d|，其中a≠0，b≠d.

证明函数fx=ax+b－ax+d中有2个隔点，分别为x1=－ba，x2=－da.

情形1不妨设a>0，x1<x2，即b>d，则

fx=－（b－d）， x<x12ax+b+d， x1≤x≤x2b－d， x>x2 .

由分段函数画出fx=ax+b－ax+d的图象为图2.

此时，函数fx=ax+b－ax+d的图象关于点x1+x22，0对称，

函数fx=ax+b－ax+d的最小值为fx1=f－ba=－b－d，

函数fx=ax+b－ax+d的最大值为fx2=f－da=b－d.

情形2不妨设a>0，x1>x2，即b<d，则

fx=－（b－d）， x<x2－2ax－b－d，x2≤x≤x1.b－d，x>x1

由分段函数画出fx=ax+b－|ax+d|的图象形状为图3.

此时，函数fx=ax+b－ax+d的图象关于点x1+x22，0对称，

函数fx=ax+b－ax+d的最小值为fx1=f－ba=b－d，

函数fx=ax+b－ax+d的最大值为fx2=f－da=－b－d.

综上可知：fx=ax+b－ax+d中依次求隔点x1，x2

（1）当x1<x2时，fx=ax+b－ax+d的图象形状为图2.

（2）当x1>x2时，fx=ax+b－ax+d的图象形状为图3.

2.3不同系数双绝对值的和fx=ax+b+cx+d有最小值，且最小值在系数大的隔点处取到.

证明函数fx=ax+b+cx+d中有2个隔点，分别为x1=－ba，x2=－dc.

情形1不妨设a>c>0，x1<x2，则

fx=－（a+c）x－b－d，x<x1（a－c）x+b－d，x1≤x≤x2.（a+c）x+b+d，x>x2

由分段函数画出fx=ax+b+|cx+d|的图象为图4.

可知函数fx=ax+b+cx+d在－∞，x1上为减函数；在x1，+∞上为增函数.

所以函数fx=ax+b+cx+d有最小值fx1=f－ba=－bca+d.

情形2不妨设a>c>0，x1>x2，则

fx=－（a+c）x－b－d，x<x2（c－a）x－b+d，x2≤x≤x1.（a+c）x+b+d，x>x1

由分段函数画出fx=|ax+b|+|cx+d|的图象为图5.

可知函数fx=ax+b+cx+d在－∞，x1上为减函数；在x1，+∞上为增函数.

所以函数fx=ax+b+cx+d有最小值fx1=f－ba=－bca+d.

例3（2014年重庆卷第16题）若不等式2x－1+x+2≥a2+12a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.

解由上述结论可知fx=2x－1+x+2的最小值为fxmin=f12=52.

即a2+12a+2≤52，解得：－1≤a≤12.

例4（2015年重庆卷第16题）若函数fx=x+1+2x－a的最小值为5，则实数a=.

解由上述结论可知fx=x+1+2x－a的最小值为fxmin=f（a）=|a+1|=5.

解得a=4或－6.

2.4不同系数双绝对值的差fx=|ax+b|－|cx+d|有最大值或最小值

2.4.1fx=ax+b－cx+d若系数大的绝对值前为正，则有最小值，且在系数大的隔点处取到.

证明函数fx=ax+b－cx+d中有2个隔点，分别为x1=－ba，x2=－dc.

不妨设a>c>0，x1<x2，

则fx=－（a－c）x－b+d，x<x1（a+c）x+b+d，x1≤x≤x2.（a－c）x+b－d，x>x2

由分段函数画出fx=ax+b－|cx+d|的图象为图6.

可知函数fx=ax+b－cx+d在－∞，x1上为减函数；在x1，+∞上为增函数.

所以函数fx=ax+b－cx+d有最小值fx1=f－ba=－－bca+d.

同理可证，当a>c>0，x1>x2时，函数fx=ax+b－cx+d有最小值fx1=f－ba=－－bca+d.

2.4.2fx=ax+b－cx+d若系数大的绝对值前为负，则有最大值，且在系数大的隔点处取到.

证明函数fx=ax+b－cx+d中有2个隔点，分别为x1=－ba，x2=－dc.

不妨设c>a>0，x1<x2，则

fx=（c－a）x－b+d，x<x1（a+c）x+b+d，x1≤x≤x2.（a－c）x+b－d，x>x2

由分段函数画出fx=ax+b－cx+d的图象为图7.

可知函数fx=ax+b－cx+d在－∞，x2上为增函数；在x2，+∞上为减函数.

所以函7498bcd02f265c827dce0bc7f1e3ba9c数fx=ax+b－cx+d有最大值fx2=f－dc=－adc+b.

同理可证，当c>a>0，x1>x2时，函数fx=ax+b－cx+d有最大值fx2=f－dc=－adc+b.

例5（2022年浙江卷第9题）已知a，b∈R，若对任意x∈R，a|x－b|+|x－4|－|2x－5|≥0，则（）

（A）a≤1，b≥3.（B）a≤1，b≤3．

（C）a≥1，b≥3．（D）a≥1，b≤3．

解特殊值法处理此题.

①取a=0，fx=x－4－2x－5有最大值fxmax=f52=32，值域为－∞，32，不符合题意，排除（A）（B）选项.

②取a=1，b=4，fx=2|x－4|－|2x－5|隔点依次为x1=4，x2=52.此时fxmin=f4=－3，不符合题意，排除（C）选项.故答案为（D）.

例6解不等式x－5－2x+3<1.

解令fx=x－5－2x+3，

由2.4.2可快速画出函数大致图象，如图8.

隔点依次为x1=5，x2=－32，fxmax=f－32=132>1，f5=－13<1，所以fx=1有两个根，分别为－7，13.结合图象可知不等式的解集为－∞，－7∪13，+∞.

参考文献：

[1]刘绍学.数学选修4-5[M].北京：人民教育出版社，2007：8-14.

[2]杜志建.金考卷特快专递. 2022年数学理科（第一期），2022：6.