齐次式构造，数学妙思维

【摘要】齐次式构造思维是解决一些相关代数式的变形与转化时经常采用的一种特殊技巧方法，是解决数学问题的一种基本策略技巧．本文结合实例，就齐次式构造思维在处理不等式、三角函数或解三角形、平面向量以及函数与导数等相关问题中的应用，归纳总结技巧与方法，引领并指导解题研究与复习备考．

【关键词】齐次式；不等式；三角函数

齐次式从词面上解释就是“次数相等”的意思，即一个代数式中各个单项的次数都相同．在解决一些涉及函数与方程、代数式与不等式、三角函数、平面向量、函数与导数等相关问题时，经常会通过关系式的恒等变形，合理借助齐次式构造思维，使得所含各项的次数一样，进而综合应用相关的知识来解决问题，这就是解决数学问题中一种比较常见的齐次式构造策略，也是破解一些相关数学问题中一种非常有效的技巧方法．本文结合实例，就齐次式构造思维的应用加以剖析，抛砖引玉．

1不等式问题中的齐次式构造

例1若正数a，b满足a+b=1，则1+3aab的最小值为．

分析通过题目条件与所求结论之间关系式的对比与分析，联想到可以将关系式中的分子也配凑成二次式，进而借助常数“1”的平方与乘积转化，巧妙构造齐次式思维处理，为进一步利用基本不等式放缩确定最值提供条件．

解依题，由于正数a，b满足a+b=1，

所以1+3aab=12+3a×1ab

=a+b2+3aa+bab=4a2+5ab+b2ab=4ab+ba+5≥24ab×ba+5=2×2+5=9，

当且仅当4ab=ba，即b=2a=23时等号成立，

所以1+3aab的最小值为9.

点评在解决一些不等式综合问题时，特别是限定条件下代数式的最值问题，往往要回归不等式自身的函数与方程的本质，借助构造齐次式思维，合理变形与巧妙转化，为进一步利用不等式的基本性质或重要不等式的放缩，以及函数与方程思维等来解决问题奠定基础，这也是解决此类问题的一种基本技巧方法．

2三角函数问题中的齐次式构造

例2（2023年全国高中数学联赛江苏赛区苏州市选拔赛第3题）已知x∈R，则4sinxcosx+3cos2x的最小值为．

分析根据题设条件，合理分析并挖掘三角函数分式关系式的结构特征，结合平方关系1=sin2x+cos2x的代换进行关于sinx与cosx的齐次化处理，方便“化弦为切”，构建涉及正切值的函数关系式，进而利用恒等变形构造关于tanx的函数，借助函数思维与方法来分析与解决问题．

解析依题，4sinxcosx+3cos2x

=3sin2x+4sinxcosx+3cos2xcos2x

=3tan2x+4tanx+3=3tanx+232+53，

所以当tanx=－23时，4sinxcosx+3cos2x的最小值为53.

点评在处理一些三角函数问题时，根据三角函数等式左右两边是对称的，或三角函数分式上下两边是对称的等特殊结构形式，可以借助齐次式构造思维对三角函数式进行变形与转化，主要是利用“化弦为切”等技巧思维，进而通过三角关系式的转化，巧妙解决问题．齐次式构造思维是解决此类问题中的一种“巧技妙法”．

3解三角形问题中的齐次式构造

例3（2023届广西南宁市高中毕业班摸底测试数学试卷）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D在BC边上，∠BAC=60°，AD=2，CD=2BD，当2c+b取最大值时，BD=．

分析根据题设条件，利用线段的长度关系引入平面向量的线性关系式，结合向量的线性转化以及平方处理，通过向量的模与数量积公式加以变形与转化，合理构建三角形中相关边之间的关系式，结合对应边长关系式的最大值场景，合理配凑，构造齐次式加以变形，为进一步利用基本不等式确定相关边长关系式的最值提供条件．

解依题由CD=2BD，可得CD=2DB，

则有AD－AC=2AB－AD，

整理有3AD=2AB+AC，

两边平方展开可得9AD2=4AB2+4AB·AC+AC2，

则有9AD2=4AB2+4ABACcos60°+AC2，

整理有b2+4c2+2bc=36，结合基本不等式，

可得2c+b=b+2c2=6×b2+4c2+4bcb2+4c2+2bc=6×1+2bcb2+4c2+2bc≤6×1+2bc2b2+4c2+2bc=6×1+13=43，

当且仅当b2=4c2，即b=2c=23时等号成立，

所以2c+b取得最大值43，

此时利用余弦定理有a2=b2+c2－2bccos60°=9，

则有a=3，那么BD=13a=1.

点评在解三角形中的相关代数式变形与应用时，特别是抓住所求关系式进行升幂处理，经常借助构造齐次式进行合理变换，配凑吻合基本不等式的条件，进而利用基本不等式来确定最值．

4平面向量问题中的齐次式构造

例4已知非零平面向量a，b的夹角为60°，且a－b=1，则a·a+2b的最大值为．

分析对题设条件中的平面向量的线性关系式的模加以平方处理，确定涉及两向量的模的方程，结合所求平面向量的数量积的变形，通过除“1”引入涉及平面向量的模的关系式来合理构造齐次式处理，巧妙换元，进而利用基本不等式的放缩来确定数量积的最值问题．

解依题，由a－b=1，两边平方整理可得a2－ab+b2=1，

所以a·a+2b=a2+ab=a2+aba2－ab+b2，

令t=ba>0，则有a·a+2b=a2+aba2－ab+b2=|a||b|+1|a||b|2-|a||b|+1

令t=|a||b|，则上式为=1+t1－t+t2=1+t1+t2－31+t+3

=11+t－3+31+t≤121+t×31+t－3=123－3=23+33，

当且仅当1+t=31+t，

即t=ba=3－1时等号成立，

所以a·a+2b的最大值为23+33．

点评应用齐次式构造思维处理此类平面向量的数量积与模的关系问题时，关键在于利用数量积的定义转化为向量的模的关系式，结合代数式的结构特征通过除“1”合理构造齐次式，此方法具有一定的灵活性与技巧性．

5函数与导数问题中的齐次式构造

例5（2023年清华大学优秀中学生暑期学堂）已知x≥y≥0，且x+y+x－y≤ax+y，则实数a的取值范围是．

分析根据题设条件，通过分类讨论，对于当x>0时分离参数，恒等变形分式并进行齐次式构造，引入参数并构建函数，结合函数中代数式的结构特征，通过正值函数的平方处理，利用分式中分子与分母所对应的正值函数的单调性来综合分析与应用．

解当x=y=0时，不等式x+y+x－y≤

ax+y对任意的实数a都成立；

当x>0时，

分离参数有a≥x+y+x－yx+y=

1+yx+1－yx1+yx恒成立，

设t=yx∈0，1，构造函数f（t）=1+t+1－t1+t>0，

t∈0，1，

则知a≥f（t）max，

而f（t）2=1+t+1－t1+t2

=2+21-t21+t2，

显然2+21－t2为正值减函数，1+t2为正值增函数，则知函数f（t）2在0，1上单调递减，即函数f（t）在0，1上单调递减，

所以f（t）max=f（0）=2，即a≥2，

当且仅当t=0，即y=0时等号成立；

综上分析，可知a≥2．

点评齐次式构造思维处理此类涉及函数与导数的综合问题，关键是代数式的恒等变形与构造相应的齐次式，借助对应的函数与方程来转化与应用．特别是此类含参不等式恒成立背景下参数最值求解问题，齐次式构造思维是解决此类问题最常用的一种技巧方法，对观察能力与数学运算能力有较高的要求．

6结语

齐次式构造思维在处理一些代数式具有特殊结构特征的数学问题中有奇效，解决问题的关键就是对关系式进行合理的恒等变形与转化，通过对整式、分式中对应各项的次数进行齐次化处理，方便进一步的恒等变形与转化，为相关问题的分析与解决提供更加宽广的思路与解题的空间，从而优化数学运算，方便逻辑推理，开拓了学生的数学思维，提升了他们的数学能力，培养了其数学核心素养．