由图象及性质求三角函数解析式的教学反思

【摘要】三角函数是高中数学的重点内容之一，求三角函数解析式是三角函数章节中的基本问题.本文主要研究由函数y=Asinωx+φ的部分图象及性质求解析式中初相φ的问题，结合常规教学过程中出现的问题及易错点对求解函数y=Asinωx+φ解析式中的初相φ的几种方法进行探讨，从而对今后的教学工作进行改进.

【关键词】三角函数；图象性质；初相φ

在批改学生作业时，教师经常发现学生在求解函数y=Asinωx+φ解析式中的初相φ时出现问题，尤其是所给图象中不是五点法中的最值点而是零点时，学生经常弄不清楚是上升零点还是下降零点.以及在后期讲解解三角形中给值求角这一类型题目中，学生经常遗漏角的范围，直至高三也会有部分学生忘记，结合这两类问题教师对教学方法进行改进.

1利用最值法及整体思想求初相φ

例1已知函数y=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图1所示，求函数解析式.

解由图知，A=2，T=π，则W=2.

由图象过点π3，2

2sin2×2π3+φ=2，

所以2π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，

因为φ<π2，所以φ=-π6，

所以函数的解析式为y=2sin2x－π6.

由最值法求初相φ，根据图象中存在的最值点，我们对应五点法中相应的最值点代入即可，但不存在最值点时学生易出现如下例题中的问题.

2利用零点及整体思想求初相φ

例2已知函数y=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图2所示，求函数解析式．

解由图知A=3，T=π.则W=2.

学生1由图可知点π12，3在函数图象上，根据最值法可求φ=π3，所以y=3sin2x+π3.

学生2因为点－π6，0在函数图象上，所以－2π6+φ=2kπ，k∈Z，所以φ=π3+2kπ，k∈Z，又由φ<π2，得φ=π3.

学生3因为点π3，0在函数图象上，所以π3×2+φ=2kπ，k∈Z，所以φ=－2π3+2kπ，k∈Z，又因为φ<π2，然后写不下去了.

学生4因为点π3，0在函数图象上，所以π3×2+φ=kπ，k∈Z，所以φ=－2π3+kπ，k∈Z，又因为φ<π2，得φ=π3.

学生1相对灵活，发现图象中没有最值点，但可根据相邻两个零点坐标.求出最大值点坐标代入求解.学生2、3都是利用零点法求解φ，所求答案却不同.学生2代入的是图象中的上升零点，从而求解出φ.学生3代入的是图象中的下降零点，即是五点法中的第三个点，所以应该是2π3+φ=π+2kπ，k∈Z，所以φ=π3+2kπ，k∈Z，又因为φ<π2，所以φ=π3，所以y=3sin2x+π3.学生4虽然答案没问题，但是过程并不精准.

在解题过程中要密切注意图象中的零点是上升零点还是下降零点，代入零点求解初相φ时容易书写错误导致失分.教学时为了避免上述错误往往让学生代入最值点.

3利用平移变换法求初相φ

例3已知函数fx=sinωx+φω>0，

φ<π2的部分图象如图3所示，求f（x）的解析式.

解由图象可知T=2π，则ω=1，所以f（x）=sin（x+φ），其图象可由y=sinx的图象向右平移π6个单位长度得到，所以f（x）=sinx－π6.

对于例2也可由平移变换法得到.

当图象可明显看出是由y=Asinωx平移得到，运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律“左加右减”求出φ．此方法对于解决小题目是非常好的方法，但当图象平移不明显，没有图象只是从性质出发求解析式时，此方法就很受局限性.如下例题.

4限定范围及数形结合思想求初相φ

例4（2023年苏州市高一期末试卷的19题第一问）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ） （ω>0，0<φ<π2）的图象过点π4，1，且相邻两条对称轴之间的距离为π2．求函数y=f（x）图象的所有对称轴方程.

解由题知f（x）的最小正周期为T=π，由ω>0，得ω=2．

由f（x）过点π4，1，得sinπ2+φ=22，

又因为π2<φ+π2<π，

所以φ+π2=3π4，即φ=π4，

所以f（x）=2sin2x+π4．

令2x+π4=kπ+π2（k∈Z），

得x=kπ2+π8（k∈Z），

从成绩上看学生对sinπ2+φ=22的解决并不是很理想，优等生利用诱导公式将其转化成了cosφ=22，根据φ的范围得到φ=π4.基础相对薄弱的学生往往卡在这，更别提第二问的书写.若是先限定φ+π2的范围画出图象找出在区间π2，π上正弦值等于22的值，求解即可.例1、例2、例3都可以用此法解决.

5结语

综上所述，在求解函数y=Asinωx+φ解析式时教师可给出上述四种解法，在学生实践出错的过程中不断优化其解法.由于第四种方法既可以避免学生因分不清上升零点和下降零点所带来的困扰，又可解决非最值点带来的慌乱，也可为后面解三角形中求解角的问题做铺垫，因此对基础较薄弱的学生或者文科生来说可以侧重第四种方法的教学.

参考文献：

[1]肖桂荣.高一学生数学解题中的几类典型错误的教学反思[J].数学天地（高中版），2024（03）：18-19.

[2]沈江.求正弦型函数解析式的方法[J].新课程学习（中），2011（04）：152-153.