浅析数学建模在平面几何最值问题中的研究

【摘要】平面几何中的最值问题是高中数学教学的重点之一.针对这类问题，本文将对几种常考的题型进行归类总结：（1）利用圆的方程建立三角函数模型；（2）利用余弦定理建立三角函数模型；（3）利用平行四边形性质建立函数模型.三角函数模型利用三角函数的单调性进行求最值，一般的函数模型利用不等式、二次函数求最值.

【关键词】数学建模；最值；解题技巧

新课标指出，最值是高中数学中重点考查的性质之一，要求学生能用符号语言表述平面几何中的表达式从而求最值，并理解平面几何最值在实际生产与生活中的作用与实际意义.与此同时，数学建模也是高中数学重点内容之一，将平面几何中的边、周长、面积等表述成表达式的过程即是建模的过程，然而数学建模涉及平面向量、三角函数、正余弦定理、不等式、二次函数等内容，是学生比较薄弱的板块，因而数学建模在平面几何中的最值问题难度无疑加大.因此，本文以平面几何最值问题为研究载体，研究此类问题的通法通解.

1利用圆的方程建立三角函数模型

此类题目的特点为圆或圆的一部分扇形上有一个动点，且其余点都是固定的点，可利用圆的方程x2+y2=r2，设动点为（rcosθ，rsinθ），具体如下.

例1如图1，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，OA·OB=0，OA=OB=1，若OC=xOA+yOB，则2x+y的最小值是.

详解由题，以O为原点建立直角坐标系，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，则满足x2+y2=1，

可设C（cosθ，sinθ），θ∈0，π2，

又OC=xOA+yOB，

则（cosθ，sinθ）=x（1，0）+y（0，1）=（x，y），

则2x+y=sinθ+2cosθ=5sin（θ+φ），sinφ=25，cosφ=15，φ∈0，π2.

又因为θ∈0，π2，φ≤θ+φ≤π2+φ，sin（θ+φ）先增大后减小，

所以sin（θ+φ）的最小值为sinφ，sinπ2+φ的较小值，

sinπ2+φ=cosφ=15，即sin（θ+φ）的最小值为15，

所以2x+y=5sin（θ+φ）的最小值为1.

2利用余弦定理建立三角函数模型

此类题目背景为有多个未知的点，已知一边和对角，求面积最值.可设两边，利用余弦定理，建立起关系式，进而建立模型利用基本不等式求最值.

例2如图3，已知扇形OAB的半径为2，∠AOB=π3，P是AB上的动点，M是线段OA上的一点，且∠OMP=2π3．求△OMP的面积最大值．

详解设OM=x，PM=y，则在△OMP中，由余弦定理得

4=x2+y2+xy≥2xy+xy=3xy，

所以xy≤43，当且仅当x=y=233时取等号，

所以S△OMP=12·OM·MP·sin∠OMP= 12·x·y·32=34xy≤33，

当且仅当x=y=233时取等号，即△OMP的面积最大值为33．

3利用平行四边形性质建立二次函数模型

此类题目在平行四边形的背景下，可以利用其性质以及构建直角三角形进行建模，接着利用二次函数求最值.

例3如图4，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是．

详解设OC=x，则BC=4－x，

由BCDE，得DE=BC=4－x，

显然0<x<4，

连接OE，由DE//BC，

∠AOB=∠ODE=90°，

OD2=OE2－DE2=8x－x2，

BE=CD=OD2+OC2=22x，

因此BCDE的周长l=2BC+2CD=8－2x+42x=－（2x－2）2+12，

显然0<2x<22，

当2x=2，即x=2时，lmax=12，

而x=0时，l=8，所以BCDE的周长的取值范围是（8，12］.

4结语

针对平面几何最值问题，如式子的范围、周长、面积的最值等典型最值问题，本文提出了基于圆的方程、余弦定理、平行四边形性质等建立模型，将问题式子化，接着针对不同的情况，利用三角函数单调性、基本不等式或二次函数求最值.从上述例题的分析中不难得知，这几种类型的题目解题策略都要灵活运用恒等变换公式、辅助角公式以及一些常见关系等式.熟悉并掌握这些不同题型的解题策略，是学生提升解题正确率的重要前提，也是拓展学生解题思路的重要内容，应得到一定程度的关注与重视.

参考文献：

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[4]陈光亭，裘哲勇.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2010.