仿射变换在椭圆试题中的应用

【摘要】椭圆经过仿射变换可变成圆.根据仿射变换中的性质，可以将椭圆问题转化为圆的问题来处理.本文先介绍仿射变换的性质，然后结合例题给出仿射变换在椭圆试题中的应用，旨在为读者提供解决椭圆试题的新思路.

【关键词】仿射变换；椭圆；圆；解题

圆具有很强的对称性，圆的问题也相对容易处理.经过仿射变换可将椭圆变为圆，这样就可以把椭圆问题转化为圆的问题来处理.把圆的问题解决了之后，再根据仿射变换的性质，椭圆问题即可得到解决.利用仿射变换处理椭圆问题，简化了运算、降低了难度.

1仿射变换的性质

仿射变换有如下性质：

（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；

（2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；

（3）其他不变关系．

我们以椭圆为例阐述上述性质．

椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，经过仿射变换x′=xy′=aby后，椭圆变为了圆x′2+y′2=a2，并且变换过程有如下对应关系：

（1）点P（x0，y0）变为P′x0，aby0；

（2）直线斜率k变为k′=abk，对应直线的斜率比不变；

（3）图形面积S变为S′=abS，对应图形面积比不变；

（4）点、线、面位置不变（平形直线还是平形直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；

（5）弦长关系满足A′B′AB=1+k′21+k2，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变.

总结可得表1.

2仿射变换的应用

例1曲线C经过变换x′=2xy′=13y后变为椭圆x′24+y′2=1，求曲线C的方程.

解析因为x′=2xy′=13y，

所以将其代入方程x′24+y2=1，

得2x24+13y2=1，

即x2+y29=1.

故曲线C的方程为x2+y29=1.

例2求椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的面积.

解析椭圆C按x′=x，y′=aby作仿射变换，

得到圆C′：x′2+y′2=a2.

设椭圆C的面积为S，因为圆C′的面积S′=πa2，

所以S′S=abS=πab.

例3过椭圆x24+y2=1内一点P1，12作一直线与椭圆相交于A、B两点，则△AOB的面积的最大值为．

解析椭圆x24+y2=1经过仿射变换x′=xy′=2y后变换为x′2+y′2=4，P1，12变换为P′1，1，如图1所示，

所以S′△A′O′B′=12×2r2－d2·d=4－d2·d≤4－d2+d22=2.

而S′△A′O′B′=2S△AOB，

所以S△AOB≤1，即△AOB的最大面积为1．

3结语

在仿射变换中保持不变的量，称为仿射不变量.掌握椭圆的仿射变换、熟悉椭圆的仿射不变量，是利用仿射变换解决椭圆问题的关键.一般地，如果椭圆中涉及面积的最值或者点、线之间的关系，则可考虑利用仿射变换，将椭圆问题变为圆的问题来处理.在处理好圆的问题后，再根据仿射不变量的性质，返回到椭圆中，这样椭圆的问题即可顺利解决.

参考文献：

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