含有解析递推式的抽象函数模型探究

【摘要】抽象函数问题可以充分考查学生的抽象思维能力、阅读推理能力，是实现试卷区分度的经典题型，题目形式广泛，难度层次分明.本文重点介绍含有解析递推式的基本题型.

【关键词】抽象函数；解析递推式；高中数学

抽象函数是一类特殊的函数，抽象函数问题往往没有给出具体的函数表达式，只是给出了一些函数的特性，对函数的特点和性质进行了部分描述.而抽象函数的形式也是多种多样的，其中有一类比较常见，就是题中给出了关于函数的特定解析递推式，由此可获知函数关系的运算规则，据此可类比出满足性质的初等函数，从而可以找到满足其条件的特殊函数模型.在解决相关问题时，可以根据这个函数模型所具有的性质，探求问题中抽象函数的对应性质，这样就可以洞察问题的实质，迅速找到解决问题的突破口.下面对几个典型形式进行探究，并分析配套例题的解法，只为研究解题策略，探索具体解题方法.

1一次函数模型：f（a+b）=f（a）+f（b）+c

例1已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（a+b）=f（a）+f（b）.又知当x>0时，f（x）<0，若f（－1）=3，求f（x）在区间［－2，2］上的值域.

分析由于函数f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），与一次函数f（x）=kx+b（k≠0）变换规律相同，根据一次函数的性质，此类函数是单调函数，故应探究函数f（x）的单调性.设－2≤a<b≤2，则b－a>0，根据题意得f（b－a）<0，由于f（b）－f（a）=f［（b－a）+a］－f（a）=f（b－a）+f（a）－f（a）=f（b－a）<0，即有f（b）<f（a），所以f（x）是－2，2上的单调递减函数.令a=b=0，则有f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），即f（0）=0；再令b=－a，则f（0）=f（a）+f（－a），即f（－a）=－f（a），故f（x）是－2，2上的奇函数，所以函数 f（x）的最大值为f（－2）=f［（－1）+（－1）］=2f（－1）=6；由奇函数性质知，f（x）的最小值为f（2）=－f（－2）=－2f（－1）=－6.

点评对给出的条件式进行类比分析，判断出此抽象函数与哪个初等函数相似，就知道此抽象函数的基本性质，从而就能找到求抽象函数的最大值和最小值的方法.

2指数函数模型：f（a+b）=f（a）·f（b）

例2已知函数f（x）的定义域是R，对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）·f（b），且当a>0时，0<f（a）<1，判断函数f（x）在R上的单调性，并解不等式f（x+2）<f（x2+2x）.

分析因为函数f（x）满足f（a+b）=f（a）·f（b），这与指数函数f（x）=mx的运算规律相似，由于指数函数是单调函数，故必须探究这个抽象函数的单调性.设a<b，则b－a>0，根据题意知0<f（b－a）<1，又对任意a∈R，都有f（a）=fa2+a2=fa2·fa2=f2a2>0，所以f（b）－f（a）=f［（b－a）+a］－f（a）=f（b－a）·f（a）－f（a）=f（a）［f（b－a）－1］<0，则f（a）－f（b）>0，所以f（x）在R上是单调减函数.故由f（x+2）<f（x2+2x），可得：x2+x－2<0，解此不等式可得－2<x<1 .

点评根据题设中给出的解析递推式，再研究此类函数的特征可知与指数函数相似，故而明确了解题方向，即先证明函数的单调性，再解不等式，其中判断函数值为正数非常重要且提示明显.

3对数函数模型：f（ab）=f（a）+f（b）（a>0，b>0）

例3已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，若当x>1时，f（x）>0，且f（2）=1，求当x∈12，8时，函数f（x）的值域.

分析（1）=1*GB2由于函数f（x）对任意m，n∈（0，+∞）满足f（mn）=f（m）+f（n），这与对数函数的运算规则相似，又对数函数具有单调性，所以欲求函数值域，必须先判断函数的单调性.设0<m<n，则nm>1，依题意有fnm>0，所以f（n）－f（m）=fnm·m－f（m）=fnm+f（m）－f（m）=fnm>0，即有f（m）<f（n），所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增.根据定义f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0，又f（1）=f2×12=f（2）+f12，且f（2）=1，所以f12=－1；又f（4）=f（2×2）=f（2）+ f（2）=2，则f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3.所以当x∈12，8时，函数f（x）的值域为［－1，3］.

点评用定义法证明推理是判断抽象函数单调性的首选方法，这样能够顺利解决函数的值域问题，而根据所给的关系式用特殊值进行代换转化是解决相关函数值的一种有效措施.

4幂函数模型：f（a·b）=f（a）·f（b）

例4已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）>0，对于a，b∈（0，+∞），恒有f（a·b）=f（a）·f（b），如果当x>1时，f（x）>1，并且f（2）=2，求不等式f（x2－3x）>2的解集.

分析由于函数f（x）满足f（a·b）=f（a）·f（b），经特殊值验算，与幂函数的运算规则相似，由于幂函数的指数的不同，其函数的单调性也不同，故要解此抽象函数的不等式，必须判断出此函数的单调性.下面用函数单调性的定义证明.设0<a<b，则ba>1，由题设得fba>1，由于f（a）－f（b）=f（a）－f（ba·a=f（a）－fba·f（a）=f（a）1－fba，由于f（a）>0，1－fba<0，所以f（a）<f（b），即f（x）在（0，+∞）上单调递增.因为f（4）=f（2×2）=f2·f2=2，故不等式f（x2－3x）>2=f（4），所以x2－3x>4x2－3x>0，因此该不等式的解集为{x|x>4}.

点评对于抽象函数不等式f（a）>f（b），需要“脱去”函数符号“f”才能解决，所以判断出抽象函数的单调性是势在必行的，在用定义证明单调性时，对已给条件式进行适当配凑是必须的.

5结语

在一些含有解析递推式的抽象函数问题中，寻找对应的常规函数模型是一个重要的解题技巧，在猜测到函数的基本性质后，根据题目需要，对此函数的相关性质进行有针对性的推导证明.需要注意的是，不能直接引用模型函数的图象和性质解题.