利用导数作函数图象的方法与策略

【摘要】高考改革的最终目的是打破墨守成规，形成反套路和反刷题.在之前的高考函数题目中考查数形结合时，所涉及的函数会是一些常规函数，函数图象形状固定，可以直接画出草图，但新高考背景下，所涉及的函数不一定是常规函数.本文就对不是常规函数的情况下，因解题需要，如何作出函数的草图进行探究，并提出方法与处理策略.

【关键词】函数；高中数学；解题策略

高中数学解题过程中，遇到函数零点、方程根和函数图象的交点问题时，解答或者分析的最好方法是数形结合.在以往的这类题型中，所涉及的函数都是常规函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，这些函数图象形状都是固定的，可以直接画出草图，但是在新高考背景下，所遇到的函数可能不是常规函数，针对这个问题，本文从非常规函数作图技巧和确定函数零点个数两个方面展开探究，以供参考.

1非常规函数作图技巧

根据常规函数图象的结构特征分析不难发现：要画一个函数图象的草图，只要确定其单调性和极值点以及极值即可.所以要想确定一个非常规函数图象形状，得先确定函数的单调性和极值点以及极值，再结合符号情况即可作出函数的大致图象.

例1作出函数fx=xexx≤0lnx－1x>0的大致图象.

解析当x≤0时，函数fx=xex.求导得f′x=ex+xex=exx+1.令f ′x>0，即exx+1>0，解得x>－1.所以此时函数fx在区间－1，0上单调递增，在区间－∞，－1上单调递减.所以函数fx此时有一个极小值点-1，一个极小值－1e，无极大值点和极大值.又因为当x≤0时，fx=xex≤0，且f0=0，故此时函数fx的大致图象如图1所示.

当x>0时，函数fx=lnx－1.其图象由函数fx=lnx的图象先将在x轴下方图象沿x轴翻折上去，再整体向下平移一个单位即可.

综上所述，函数fx=xexx≤0lnx－1x>0的大致图象如图2所示.

评注该题是为了体现非常规函数作图思想而设计，在考试中，目前还未直接出现这类题型.作图时根据分段函数特征，进行分段处理.当x>0时，可以由对数函数fx=lnx的图象进行变换得到. 当x≤0时，则通过求导，利用导函数判断单调性，再根据单调性找极值点和极值，然后分析符号变化以及特殊位置，即可确定函数图象形状.

2确定函数零点个数

解决函数零点个数问题、方程根的个数问题和两个函数图象交点个数问题时，数形结合是最好的解答或分析的方法之一.在前文已经探究了非常规函数图象形状的情况，接下来具体谈谈利用这种思路解答求函数零点个数问题.

例2已知函数fx=lnx+14x2－2x，若方程fx=－12x+b在1，4上有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.

解析因为函数fx=lnx+14x2－2x，所以lnx+14x2－2x=－12x+b，变形得lnx+14x2－32x=b.设函数mx=lnx+14x2－32x，nx=b.由已知，函数mx=lnx+14x2－32x的定义域为0，+∞.对函数求导，得m ′x=1x+x2－32=x2－3x+22x.令m ′x>0，即x2－3x+2>0，解得x<1或x>2.因为x∈1，4，所以函数mx在区间1，2上单调递减，在区间2，4上单调递增.故函数mx在1，4上有一个极大值m2=ln2+1－3=ln2－2.又因为m1=－54，m4=2ln2+4－6=2ln2－2，所以函数mx的大致图象如图3所示.因为函数nx=b的图象是平行x轴的直线，所以方程fx=－12x+b在1，4上有两个不相等的实数根时，实数b的取值范围为［ln2-2，2ln2-2］.

评注该题是方程有两个不相等的实数根的情况下，求参数的取值范围，而涉及的函数mx=lnx+14x2－32x是非常规函数，方法则选择了数形结合.解题思路为：一是分离参变量，一般情况下，是把自变量x放到方程一边，参数放到方程的另一边；二是设新的函数，一般是含自变量一边为一个函数，含参数一边为另外一个函数；三是对含自变量x的函数求导；四是求出函数的单调区间，以确定单调性；五是根据单调性确定极值，并求出区间端点函数值，则可得到函数大致图象；六是画出含参数函数图象，寻找满足已知条件的取值范围即可.

3结语

本文探究了如何作非常规函数的大致图象.通过探究常规函数，如三角函数的图象形状是固定的，需要时直接画即可，但是非常规函数，如fx=xlnx的图象则需要通过求导，利用导函数来确定其单调性，进而得到极值，再结合符号及特殊位置如原点，就可以确定函数图象的形状.这一探究不光为解题提供了非常大的便利，同时为数形结合思想在函数情境问题的应用又拓宽了范围.也就是说，凡是可以通过求导判定单调性的函数，在涉及零点问题时，都可以用数形结合思想来解决.值得注意的是，数形结合思想用来解决数学客观题时，可以放心大胆地使用，但是解答题就要谨慎应用了，因为解答题重在过程，则不能太过于依赖图象来说明问题，要有必要的文字和数学符号语言.

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