概率与统计问题中常见的模型及解题方法

【摘要】概率和统计是高考数学中的常考点，这一领域的分析技巧与计数紧密相关.随机变量的分布列依赖于随机变量的可能值及其对应的概率.将随机变量的取值视为随机事件，是使用计数方法计算概率的基础.概率统计问题的难点主要在于两个方面：一是正确识别和分析概率模型，即确定随机变量遵循的特定概率规律；二是在构建分布列时，将随机变量的取值转换为随机事件的概率，这一步骤往往涉及复杂的计数技巧.

【关键词】高中数学；概率；解题方法

1超几何分布类

超几何分布的适用情形一般为当试验次数固定，每次试验只有两种可能结果（成功或失败），且每次试验的成功概率不变.具体解题步骤为：确定超几何分布的三个关键参数：总体大小（N）、总体中“成功”的项目数（M）、样本大小（n）；使用组合数公式计算从“成功”项目中抽取k个的组合数和从“失败”项目中抽取n－k个的组合数；应用超几何分布的公式P（X=k）=CkMCn－kN－MCnN计算恰好抽取k个“成功”项目的概率；最后，如果需要计算至少抽取k个“成功”项目的概率，可以计算其补事件的概率，即至少抽取k个“成功”项目的概率等于1减去至多抽取k－1个“成功”项目的概率.需要注意的是超几何分布的概率之和等于1，其次确保N，M，n都是正整数，且M和n的值小于N.

例1为了缓解电价压力，确保电力稳定供应，推动绿色能源发展，并促进能源节约，某省份引入了阶梯电价政策.该政策将年度用电量分为三个阶段，以适应不同用户的用电需求和能力.具体来说，年用电量在2160度及以下的家庭将享受第一档电价，即每度0.5653元；年用电量在2161度至4200度的家庭，超出2160度的部分将按第二档电价，即每度0.6153元计费；而年用电量超过4200度的家庭，超出的部分则按第三档电价，即每度0.8653元计费.

在某一城市，电力公司从当地用户中随机选择了10户，并记录了他们同一年度的用电数据.

（1）计算表中编号为10的用户该年应交的电费；

（2）现在需要从这10户家庭中随机选择4户，对其用电状况进行深入分析.求取在这4户家庭中达到第二阶梯用电量的户数的分布求取列.

分析（1）按照阶梯电价的规定，分段计算用户编号10一年的用电费用，计算结果即为所求答案；（2）统计达到第二阶梯用电量的用户数量，设达到第二阶梯用电量的用户数为X，确定X的可能值，应用超几何分布的概率计算方法，可以计算出每个可能值的概率，进而构建出X的分布列.

解（1）因为第二档的电价比第一档的电价每度多0.05元，

第三档的电价比第一档的电价每度多0.3元，

编号为10的用户一年的用电量是4600度，

所以该户该年应交电费为

4600×0.5653+（4200－2160）×0.05+（4600－4200）×0.3=2822.38（元）．

（2）设取到第二阶梯的户数为X，

易知第二阶梯共有4户，故X的所有可能取值为0，1，2，3，4.

PX=0=C04C46C410=114，

PX=1=C14C36C410=821，

Px=2=C24C26C410=37，

PX=3=C34C16C410=435，

PX=4=C44C06C410=1210，

故X的分布列为：

2二项分布类

二项分布模型反映了在特定次数的连续独立试验中，每次试验只有两种可能的结果：成功或失败，并且每次试验的成功概率保持恒定.具体解题步骤为：确定二项分布的三个关键参数，试验次数n、每次试验的成功概率p和规定的成功次数k；应用二项分布的公式PX=k=Cknpkqn－k来计算恰好成功k次的概率；如果需要计算至少成功k次或至多成功k次的概率，可以计算其补事件的概率，即至少成功k次或至多成功k次的概率等于1减去至多成功k-1次或至少成功k+1次的概率.但需要注意的是当n很大而p相对较小时，二项分布近似于正态分布，可以考虑使用正态分布公式进行估算.

例2一位短视频博主专注于展示乡村生活，包括赶集、进城、捕鱼和养鸡等内容，这些充满活力的农村生活场景吸引了大量观众.该博主通过直播销售家乡的农产品，进行了五次试销，并记录了销量y（单位：百万盒）和单价x（单位：元/盒）的数据.

问：从众多顾客中随机选取一定数量（数量较大）的客户参与满意度调查，其中一半的顾客表示“非常满意”，“满意”和“不满意”的顾客各占四分之一.之后，从所有顾客中再次随机抽取8位顾客作为幸运者，赠送礼品.这里，我们关注的是在这8位幸运顾客中，“非常满意”体验的顾客人数，将其定义为一个随机变量η，求η的分布列和均值.

分析根据二项分布的定义可得到η～B8，12，我们可以使用二项分布的概率公式来计算每个可能结果的概率，从而构建出完整的分布列；由二项分布数学期望公式可求得均值.

解由题意知，从所有顾客中随机抽取1人，则抽取的1人的问卷结果为“非常满意”的概率为12，所以η～B8，12.

则η所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，

所以Pη=0=128=1256；

Pη=1=C18×12×127=8256=132；

Pη=2=C28×122×126=28256=764；

Pη=3=C38×123×125=56256=732；

Pη=4=C48×124×124=70256=35128；

Pη=5=C58×125×123=56256=732；

Pη=6=C68×126×122=28256=764；

Pη=7=C78×127×12=8256=132；

Pη=8=128=1256.

所以η的分布列为：

所以均值Eη=8×12=4.

3结语

掌握概率与统计问题中的各种题型，对于提升解题能力、深化对概率统计的理解具有重要意义.学生在学习过程中，应不断练习，熟练掌握每种分布模型的运用，并培养良好的数学思维习惯.打牢概率统计基础，对于高中学生的数学学习和科学研究都具有深远的影响.