排列组合问题常见题型分类与总结

【摘要】排列组合是高中数学贴近生活的知识模块，相关问题灵活多变，考查方式常以填空题、解答题为主.解答排列组合问题，关键在于按照要求对所有元素进行筛选并排列组合.本文主要介绍几种不同类型的排列组合问题和对应求解方法，以期帮助学生正确求解相关问题.

【关键词】排列组合；高中数学；解题技巧

1特殊要求排列问题

当排列组合问题中存在特殊元素或者特殊位置时，可以运用“优先法”作答.优先法是指从特殊元素或特殊位置入手，优先考虑特殊元素或特殊位置，然后安排其他元素或位置的方法.实际解答此类型问题时，主要步骤如下：（1）根据具体题意确定特殊元素或特殊位置的个数及要求；（2）优先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素的排列；（3）利用分步计数原理列式求解.

例1某歌唱明星和4位粉丝排成一排拍照留念，若该明星不站在两端位置，则有多少种安排方法？

剖析本题既可以从特殊位置方向解答，也可以从特殊元素方向解答.若从特殊位置方向考虑，则先从四位粉丝中选择两位将两端的位置安排好再安排剩下的三个位置；若从特殊元素方向考虑，则先安排明星的位置，从中间的三个位置中选一个，再安排剩下的四位粉丝的位置.

解析角度1：从特殊位置方向考虑，先安排两端的位置，即从4位粉丝中挑选两人站在两端，则有A24种；再对剩下的3个位置进行排列，有A33种，因此，排列方法一共有：A24A33=72种.

角度2：从特殊元素方向考虑，优先安排明星的位置，明星只能从中间的3个位置选一个，则有A13种；剩下的4个位置和4位粉丝的排列方式有A44种，因此，排列方式一共有：A44A13=72种.

变式已知0，1，2，3，4，5这6个数字，从中选择3个不同的数字组成一个数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有个.

剖析该题有特殊要求，即个位数是3个数字中最大的一个数，既要关注特殊位置个位的要求，还要注意特殊元素0的存在.同时分情况讨论，分别从存在0和不存在0的这种情况分析，排列得到具体可能数.

解析若3个数字中没有0，则共有C35A22个；若3个数字中有0，则共有C25个，一共有C35A22+C25=30个数字.

评析优先安排特殊元素或特殊位置是解答该类型问题的关键，若有多个特殊元素或特殊位置时，要注意正确分类和分步.

2元素相邻问题

当问题中要求某些元素必须相邻时，“捆绑法”是解答此类问题的有效方法.捆绑法是指将必须相邻的元素“捆绑”到一起，视为一个元素，然后再与剩下的元素进行排列组合，并且要对“捆绑”的元素进行内部排列.实际解答此类型问题时，主要步骤如下：（1）根据题意确定相邻的元素并进行“捆绑”；（2）排列组合“捆绑”后的元素与其他元素，并对“捆绑”元素进行内部排列；（3）列式计算，最后利用分步计数原理求解.

例2有8个不同颜色的小球，其中红色的小球有3个，蓝色的小球有2个，其他颜色的小球有3个，如果将这些小球排成一排放在墙角，要求红色的小球刚好排在一起，蓝色的小球也刚好排在一起，则一共有多少种不同的排法？

剖析要进行“捆绑”的元素分别是红色的3个小球和蓝色的2个小球，将其看作两个元素与剩下的3个小球进行排列，还要对红色的3个小球和蓝色的2个小球分别进行内部排列，最后求解.

解析3个红色的小球刚好排在一起，则有A33种方法；2个蓝色的小球刚好排在一起，则有A22种方法；对“捆绑”后的元素排列，则有A55种方法；综上所述，总的排列方法为A33·A22·A55=1440种.

变式有3对双胞胎站在一排拍照，恰好有一对双胞胎相邻的站法有种.

剖析需要根据不同位置的站法分类捆绑求解问题，相邻的一对双胞胎可以捆绑看做一个元素，但仍需要从3对中挑选，其次排列组合的位置也需要分类讨论，故捆绑后分类计算再综合求解.

解析将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6.

①恰好有一对双胞胎站在1，2号，则再选一对双胞胎站在3，5号，另一对双胞胎站在4，6号即可，且每对双胞胎的两人都可以交换位置，则有C13A22C12A22A22种站法；

②恰好有一对双胞胎站在2，3号，4，5号，5，6号时，情况同前，故有3C13A22C12A22A22种站法；

③恰好有一对双胞胎站在3、4号，则余下两对双胞胎各选一人站在1、2号即可，从而有C13A22C12C12A22A22种站法；

综上，总站法有4C13A22C12A22A22+C13A22C12C12A22A22=288种.

评析处理元素相邻问题，主要遵循原则为“先整体后局部”，即先考虑其他元素和“捆绑”元素的安排方式，再考虑“捆绑”元素的内部排列方式.

3元素不相邻问题

元素不相邻问题一般是指求解的题目中要求某两个或两个以上的元素之间必须有其他元素存在，不能相邻排列的问题，解答此类型问题一般利用“插空法”求解.插空法是将不能相邻的元素插入其他元素之间的空隙进而求解的方法.实际解答此类型问题时，主要步骤如下：（1）结合实际问题确定不能相邻的元素个数及要求；（2）安排剩下的元素位置并计算其两两之间的空隙数（根据实际情况判断是否能排在两端的位置）；（3）将不能相邻的元素排列到空隙中，并利用分步计数原理求解.

例34名男生和2名女生站成一排合影，当2名女生不相邻时，不同的排法有多少种？

剖析本题的排列过程分两步进行，首先考虑4名男生的位置，一共形成5个空隙，然后再将2名女生随机插入这5个空隙中即可.

解析第一步：对4名男生的位置进行排序，则有A44种方法；此时形成5个空隙（算上两端的位置）.

第二步：对2名女生的位置进行排序，则有A25种方法.

综上所述，根据分步计数原理可知，一共的安排方法有：A44·A25=480种.

评析一定要正确掌握元素不相邻问题与元素相邻问题的求解方法，要注意区别和联系.

4结语

排列组合问题是高中阶段的一个重要问题，虽然涉及的题型很多，但难度不大，只要掌握了一定的规律和方法就能正确求解，因此学生一定要熟练掌握每一种题型的求解方法.

参考文献：

[1]梁佳殷.高中阶段的排列组合问题[J].数理化解题研究，2022（28）：95-97.

[2]蓝云波，刘宇峰.例谈排列组合中的典型问题与方法[J].中学生数理化（高二数学、高考数学），2018（10）：29-33