用均值不等式求函数最值的几种方法探究

【摘要】均值不等式也称为基本不等式，从高中数学知识体系来说，它不是一个不等式，而是由一个均值不等式及其变形不等式和几个重要不等式构成，其主要作用是用于求最值和证明不等式.本文就均值不等式求函数最值方面展开讨论，具体根据函数形状从配凑法、分离法、换元法和平方法四个方面进行例谈.

【关键词】均值不等式；函数最值；高中数学

均值不等式是高中数学的一个重要知识点，直接考查一般会以选择题和填空题出现，而作为解题工具，也会时常出现在圆锥曲线、数列和函数等大题中.下面就利用均值不等式求函数最值的几种方法展开例谈.

1配凑法

这种方法主要针对的题型是求形如函数fx=axm－axa≠0，m>0和fx=gx+bgx+mb>0的最值问题.

例1当0<x<4，求函数fx=x8－2x的最大值.

解fx=x8－2x=122x8－2x≤122x+8－2x22=8，

当且仅当2x=8－2x时，等号成立.

所以当x=2时，函数fx=x8－2x取得最大值为8.

例2已知x>log45，求函数fx=4x－2+1214x－5的最小值.

解因为x>log45，

所以4x－5>0，

则fx=4x－2+1214x－5=4x－5+1214x－5+3.

因为4x－5+1214x－5≥24x－51214x－5=22，

当且仅当4x－5=1214x－5时，等号成立，

所以fx=4x－2+1214x－5=4x－5+1214x－5+3≥22+3=25.

所以当x=2时，

函数fx=4x－2+1214x－5取得最小值为25.

评注以上两题均体现了配凑法，例题1是求积的最大值，主要依据是ab≤a+b24a，b∈R，则配方就要朝着这种形式进行；例题2是求和的最小值，主要依据是ba+ab≥2ab>0，则朝着这种形式配凑即可.

2分离法

这种方法主要是针对形如y=gxfx（其中gx是二次函数，fx是一次函数）的函数求最值.

例3已知x>1，求函数fx=x2+3x－1的最小值.

解因为x>1，

所以x－1>0，

则fx=x2+3x－1=x2－2x+1+2x－2+4x－1=x－1+4x－1+2.

因为x－1>0，

所以x－1+4x－1≥2x－14x－1=4，

当且仅当x－1=4x－1时，等号成立，

所以fx=x2+7x－1≥4+2=6，

所以当x=3时，函数fx=x2+3x－1取得最小值为6.

评注这种题型主要是应用不等式ba+ab≥2ab>0进行解答，所以在对函数进行拆分时，根据完全平方式配方，使其变形为ba+ab的形式即可.

3换元法

这种方法针对的题型比较灵活多变，但是必须要明确的是换元的目的是应用均值不等式，所以换元后应该能使式子变得简单，而不是换元后反而变复杂了.

例4求函数fx=x+22x+12的最大值.

解设x+2=t，

则t≥0，变形得x=t2－2，

代入fx=x+22x+12，

得ft=t2t2+8.

当t=0时，fx=0；

当t>0时，ft=t2t2+8=12t+8t，

此时2t+8t≥22t·8t=8，

当且仅当2t=8t时，等号成立，

所以ft≤18.

所以当x=2时，函数fx=x+22x+12取得最大值为18.

评注题目特征是分子带有根号，去根号的一般思想是换元或者平方，本题选择了换元，然后进行分离处理.当然该题也可以通过平方的方式去根号，之后把函数倒过来求最小值，则和分离法题型一样了.

4平方法

平方法一般针对的是函数中带有根号，或者是形如fx=a－bx+cx+d的函数求最大值.

例5已知0<x<log27，求函数fx=2x－1+7－2x的最大值.

解因为0<x<log27，

所以22－1>0，7－2x>0.

因为fx=2x－1+7－2x，

所以f2x=6+22x－1·7－2x.

因为22x－1·7－2x≤

2x-1+T-2x=6，

当且仅当2x－1=7－2x时，等号成立，

所以f2x=6+22x－1·T－2x≤6+6=12，

则fx≤23.

所以当x=2时，函数fx=2x－1+7－2x取得最大值为23.

评注题目含有两个根号，并且2x－1与7－2x的和为定值6，一方面通过平方去根号；另一方面是求最大值，根据均值不等式的应用情境，和为定求积的最大值，则只有平方才能达成.

5结语

求函数的最值，很多人会习惯性的通过求导进行，但是有的函数通过求导就显得很复杂，如函数fx=x+22x+12和fx=2x－1+7－2x，这时可考虑利用均值不等式进行处理.而采用均值不等式时，不管是选择什么方法，其关键是要达到与所用不等式的形式高度统一，这样才能应用求解，这是应用均值不等式的核心所在.

参考文献：

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