函数“隐零点”问题的探究

【摘要】利用导函数研究函数性质一直是高中数学学习的重中之重，且在考查中多以压轴题形式出现，所以对于这一类问题的解决大家总结了各种各样的方法.本文探究函数“隐零点”问题的解题思路.

【关键词】函数；“隐零点”；高中数学

1何为“隐零点”

关于导数的零点我们不妨分为“显零点”和“隐零点”两类.能够计算出精确数值的零点，我们称为“显零点”.

例1求解函数y=x－lnx的极值点.

分析通过求导得到导函数y=1－1x=x－1x，显然，导函数的函数值在（0，1）小于零，在（1，+∞）大于零，于是得到导函数的零点，即x=1是函数y=x－lnx的极小值点.

很显然，在这个例题中导函数的零点我们能算出一个确定的数值，这样的零点我们不妨把它叫做“显零点”.而另一类零点，基于高中知识无法得到精确的数值，我们把它称为“隐零点”.

例2证明：ex－lnx>2.

分析要证明ex－lnx>2成立，本质就是证明函数y=ex－lnx的最小值大于2，于是问题就转化为求这个函数的最小值.首先，通过求导得到导函数y′=ex－1x，解到这一步我们发现这是一个超越函数，用我们高中所学的知识无法得到方程ex－1x=0的解，但这个时候我们通过分析y=ex和y=1x的函数图象（见图1）可知它们在（0，1）一定存在一个唯一的交点，即导函数y′=ex－1x在（0，1）一定存在唯一的零点，只是无法算出精确的数值，我们把这个零点记为x0，那么这个x0即是导函数y′=ex－1x的“隐零点”，通常这样的“隐零点”我们都是设而不求的.

2如何处理“隐零点”问题

接下来将通过例题分析“隐零点”问题的解题思路与过程.

例3已知函数fx=lnx+ax－x+1－a，a∈R，若存在x>1，使得fx+x<1－xx，求整数a的最小值.

分析第1步：参变分离，将函数fx=lnx+ax－x+1－a代入fx+x<1－xx，得x－1a>xlnx+2x－1，由于x>1，所以转化为a>xlnx+2x－1x－1.

第2步：构造函数，令gx=xlnx+2x－1x－1，即将问题转化为a>gxmin.

第3步：利用导函数求最值，g′x=x－lnx－2x－12 ，发现求导之后的函数无法一眼看出单调性，且含有lnx，所以这里我们需要进行二次求导，并且g′x的函数值的正负只与分子有关，所以令hx=x－lnx－2，对其求导得到h′x=x－1x，易得hx在（1，+∞）上单调递增.

第4步：借助零点存在定理，找函数hx=x－lnx－2的根并看区间，h3=3－ln3－2=1－ln3>0，h4=4－ln4－2=2－2ln2<0，根据零点存在性定理，可知hx在（1，+∞）上存在唯一的零点x0，且x0∈（3，4）.

第5步：得到函数gx=xlnx+2x－1x－1的单调性，当x∈1，x0时，gx′<0，gx 单调递减，当x∈x0，+∞时，gx′>0，gx单调增.

第6步：求gx的最小值，gxmin=gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1.

第7步：整体代换，化繁为简，我们将x0代入式子后发现除了将式子中的x变成x0其他毫无变化，依旧无法求gxmin，此时我们只需利用hx0=x0－lnx0－2=0，即可得到lnx0=x0－2，接下来就可以将gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1中的lnx0替换成x0－2，即gxmin=gx0=x0lnx0+2x0－1x0－1=x0+1，x0∈（3，4）.

第8步：得出结论，可得a>x0+1 ，又因为x0∈（3，4），且a∈Z，所以，整数a的最小值为5.

“隐零点”对许多学生来说是非常的抽象，那是因为没有看清问题的本质，问题的本质就是求函数的最值.通过上述例题的分析，我们明白“隐零点”不是什么神秘的东西，它只是我们在解决函数问题时的一种设而不求的解题手段.

3“隐零点”问题的一般解题策略

有关“隐零点”问题的解题过程大致可以概括为一个目的三个环节.

目的表达f（x）的最值.

环节1求导函数f′（x），判断f′（x）的单调性，若不能判断单调性还需二次求导.

环节2虚设导函数f′（x）零点x0，根据零点存在性定理卡范围：x0∈（a，b），由f′（x0）=0，可将ex，lnx，xex 等替换为更简单的同一阶式.

环节3将简化结果代入fx0中，问题转化为求一个简单式子fx0在已知区间x0∈（a，b）上的最值的问题.

值得注意的是，在处理“隐零点”问题时有几个关键的地方.一个是判断“隐零点”的范围，我们在解题时希望这个范围可以尽可能的精确，常用的估计方法有图像法、二分法、函数放缩法等.另一个关键的地方是通过整体代换，将复杂的式子转化为容易研究的同一阶式，比如在例2中，由ex0－1x0=0，可将ex0代换为1x0，将lnx0代换为x0，就可得函数的最小值为fx0=ex0－lnx0=1x0+x0，由均值定理可知fx0≥2.

4结语

“隐零点”问题看似抽象，但是只要我们抓住问题的本质，掌握解决问题的基本思想，问题就能迎刃而解.