基于傅里叶变换的雷电磁频谱研究

摘" 要： 为了研究直击雷和感应雷的电磁频谱特性，采用Matlab仿真软件绘制出标准雷电流波形图，再通过快速傅里叶变换分析标准的雷电流波形的频谱特性，并提取出雷电流波形在相应频域的有害频率范围，最后从频谱图中提取雷电流的基波和高次谐波，取前5次谐波的幅值与相位还原谐波的函数表达式。通过分析有害谐波存在的频率范围和过滤有害谐波的科学方法，为雷电磁脉冲辐射防护措施的制定提供了参考依据。

关键词： 雷电磁频谱； 快速傅里叶变换； 直击雷； 感应雷； 雷电流波形； 谐波提取

中图分类号： TN712+.1⁃34； O441.4" " " " " " " " 文献标识码： A" " " " " " " " " " "文章编号： 1004⁃373X（2024）24⁃0013⁃05

Research on lightning magnetic spectrum based on Fourier transform

SUN Junmin

（School of New Energy， Longdong University， Qingyang 745000， China）

Abstract： In order to study the magnetic spectrum characteristics of direct lightning and inductive lightning， the standard lightning current waveform is drawn by means of Matlab simulation software. The spectral characteristics of the standard lightning current waveform is analyzed by means of fast Fourier transform， and the harmful frequency range of the lightning current waveform in the corresponding frequency domain is extracted. The fundamental wave and high⁃order harmonics of the lightning current are extracted from the spectrum， and the amplitude and phase of the first 5 times harmonics are extracted to restore the function expression of the harmonics. The frequency range of harmful harmonics is analyzed and the scientific methods are used to filter them， which can provide a reference for the development of lightning magnetic pulse radiation protection measures.

Keywords： lightning magnetic spectrum; fast Fourier transform; direct lightning; inductive lightning; lighting current waveform; harmonic extraction

0" 引" 言

雷电是一种剧烈的大气静电放电现象，据统计，全球每秒约有上百次雷击现象，每小时内全球有1 600场雷雨发生，雷电经常以放电的形式发生在雷云与大地之间以及相近的雷云之间。

在科技进步的同时，人们不断探索雷电的发生机制，目的是把雷电对人类的生活危害降到最低[1⁃4]。从雷电防护的意义上来说，直击雷是雷电直接击中地面物体与设备，并且传导至地下的雷击现象，其放电电流和电压非常大，对周边物体的破坏力不言而喻；但是直击雷却很难发生，只占到所有雷击的[110]。感应雷对电子设备造成的危害最多，感应雷也称为雷电感应或感应过电压，会产生很强的电场和磁场，能够在金属导体中产生感应电压和电流，经传输通道侵入弱电系统，破坏电子设备。感应雷产生的过电压峰值高达上万伏，过电流峰值也有上千安，一般的电子设备承受不了如此高的电压和电流，带来了巨大的破坏和经济损失[5⁃9]。

现实生活中，人们的关注主要集中在直击雷，许多防护直击雷的设施被布置在建筑物中，但是对于感应雷的防护则少之又少。本文通过分析感应雷的电磁频谱特性得出感应雷的谐波危害频段，对感应雷的研究具有重要意义。

1" 雷电流波形分析

雷电是云层之间、云层与大地之间的一种放电现象。其中标准直击雷‌电‌流‌波‌形‌如‌图1所‌示，标准感应雷电流波形如图2所示。从图中可以得到[820]波的峰值I为20 kA，T1波头时间为8 μs，T2半值时间为20 μs。在感应雷电流波形图的上升阶段，尤其在到达峰值90%之前，波形陡峭，从数学的角度描述就是一阶导数比较大。

Matlab是MathWorks公司出品的商业数学软件，是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，后来逐渐发展为可视化程度比较高，可以进行复杂交互式程序设计的开发平台。在Matlab软件的迭代过程中，引入了Simulink，这是一个可以进行图形仿真的工具，可以在Matlab平台上动态建模。Matlab软件简化了科学研究者的手工计算量，让庞大且复杂的科学计算变得容易。

2" 雷电流频谱特性分析

2.1" 傅里叶变换原理

本文的电磁脉冲频谱分析是使用Matlab来实现对信号的频谱分析。在数字信号处理中，常用傅里叶变换把“信号函数”转化为“频谱函数”，实现时间变量向频率变量的转化[10⁃13]。

用计算机计算连续时间信号的频谱时，需要用到离散时间傅里叶变换，将x（t）的抽样值以离散时间信号[xn]的形式表示，进行离散傅里叶变换（DFT），如式（1）所示。

[X（ωT）=DFT⊕xn=n=-∞+∞xne-jnωT]" （1）

然而，因为[X（ωT）]是与频率相关的连续函数，不能由计算机直接表示，需要一个离散频率样本来近似分析[X（ωT）]。为了能够取到所有的[xn]，需要一个足够大的N来进行取值，因此得到一个用于计算的样本集，如下：

[xNn=xnωn=xn，" n=0，1，2，…，N-10，" " " " "其他] （2）

[X（ωT）=DFTxn=n=-∞+∞xne-jnωT] （3）

结合式（2）、式（3）得到样本集xN[n]的频谱，如式（4）所示。

[xNωT=DFTxNn=n=-∞+∞xne-jnωT=n=0N-1xNne-jnωT]" " " （4）

将ωT=2π代入，可将离散序列[xNωT]表示为：

[X（k）=XN2πkN，" k=0，1，2，…，N-1] （5）

因此，可得到对离散时间信号的离散傅里叶变换，如式（6）所示。

[X（k）=DFTxn=n=0N-1xne-j2πknN] （6）

快速傅里叶变换（FFT）的提出‌，‌主‌要‌解‌决了‌离散傅里叶变换的计算量问题。对‌‌‌于‌有‌限‌长‌的离‌散时域信号，可以用离散傅里叶变换转化为有限长的离散频谱信号。

2.2" 绘制直击雷电流波形和频谱

2.2.1" 直击雷电磁频谱绘制

利用Getdata软件从图1标准直击雷电流波形中获取140对坐标点，利用Matlab软件加载命令以及plot函数完成直击雷波形的重构，如图3所示。

完成波形重构时，使用Photoshop软件需确定其还原后的波形与原波形是否有着较高的拟合度，只有有较高的拟合度才可以说明取点过程的准确性，才可以进行下一步的频谱分析工作。原波形与重构波形的拟合结果如图4所示，可以看到拟合精度较高，偏差很小。

2.2.2" 直击雷电磁频谱分析

将前面得到的140组数据进行快速傅里叶变换后得到频谱。设置采样频率为[140600] MHz，其中600代表原波形中时间的最大值。得到的频率、采样点数、时间与幅值的关系图如图5所示。

图5由3张图构成，包括时间与电流幅值、采样点数与电流幅值以及频率与振幅的关系图，完整地展示了时域向频域转化的过程。

在完‌成‌波‌形‌重‌构‌后‌，‌‌为了得到直击雷频谱的各次谐波组成，需要使用stem函数对傅氏变换得到的结果进行离散处理。使用stem函数得到离散的频谱如图6所示，完成了对直击雷频谱主要成分的提取。

对该频谱图中的直流分量及谐波成分进行统计，得到的数据如表1所示。从图6数据可以看出：直击雷电流的频谱在0～15 MHz振幅变化明显；频率从1.438 8 MHz开始，谱线呈下降趋势；在15 MHz左右时，幅值基本降为0。N次谐波的频率是基波（1次谐波）的N倍，在1次谐波时取得最大幅值，而后一直下降，2次和5次谐波的相位出现了负值。

结合表1所得数据和式（7）：

[i（t）=Imsin2πfn+φn]" " " " （7）

计算前5个谐波幅值与时间的函数关系，公式如下：

[i1（t）=94.42×103sin（2πt×1.43×106+0.94π）]

[i2（t）=17.37×103sin（2πt×2.87×106-0.16π）]

[i3（t）=4.94×103sin（2πt×4.31×106+0.81π）]

[i4（t）=2.19×103sin（2πt×5.75×106+0.69π）]

[i5（t）=0.98×103sin（2πt×7.19×106-0.24π）]

式中t的单位为μs。

通过以上结果可以发现对直击雷的谐波防护是必要的，因此可通过在信号系统增加相应的滤波设备来减少低频段电流对系统的破坏。

2.3" 绘制感应雷电流波形和频谱

2.3.1" 感应雷电磁频谱绘制

利用Getdata软件从图2标准感应雷电流波形中获取210对坐标点，利用Matlab软件加载命令以及plot函数完成感应雷电流波形的重构，如图7所示。

虽然通过Matlab软件还原了8/20感应雷电流波形图，但是需要确定还原后的波形图与原图是否能很好的拟合，只有完整拟合才能确定所取的点坐标是准确无误的，才能对这些采样点数据进行快速傅里叶变换，得到频谱图从而继续研究。通过Adobe Photoshop CC软件进行波形的拟合，如图8所示。从图中可以看出，通过Matlab绘制的波形图与原图拟合很好，基本没有偏差。

2.3.2" 感应雷电磁频谱分析

以Getdata软件中采样的210对坐标为基础，在Matlab软件中绘制出原图像并且进行傅里叶变换，再采用subplot函数绘制在一张图中，如图9所示。

通过傅里叶变换后的图像两边陡、中间平稳。感应雷电流波形频谱图如图10所示。

从图10中可以看出，雷电波频谱中振幅在刚开始的时候特别高，之后在低频带宽内骤减，感应雷电流波形频谱主要集中在低频段。

为了分析感应雷谐波的成分，需要从感应雷电流频谱图中提取有关的数据，本文提取了从基波到5次谐波的幅值，如图11所示。

通过提取感应雷电流频谱图中的有害谐波，得到表2所示的数据。

从表2中可以看出，感应雷电流频谱图中所含有的直流分量为9.221 6 kA，N次谐波的频率是1次谐波（也称为基波）的N倍。幅值在1次谐波时取得最大值，之后大幅降低，到5次谐波时仅有58 A。1次谐波的8 877.1 A比5次谐波的电流大了约153倍，可见感应雷的幅值随频率的增加而下降得非常快。5个谐波中只有1次谐波的相位是负数，其他谐波的相位均为正值。

已知点[n]在快速傅里叶变换之后可以用一个复数表达，假设这个复数为[a+bi]，可以轻松求出其模值[An=a2+b2]，其相位可以表示为[Pn=atan（b，a）]，那么高次谐波的函数表达式为：

[fn=2AnM·cos（2πft+Pn）]" " （8）

式中：fn代表n点的频率；M表示采样点数，在本文中为210。

理论上就可以求出高次谐波的函数表达式，但是从频谱图中可以直接提取出各次谐波对应的幅值，所以可以通过公式（9）进行简化计算，得出高次谐波的函数表达式。

[fn=An·cos（2πft+Pn）] （9）

式中[An]表示n点的幅值。

从表2列出的参数可以得到各次谐波的函数表达式，如下：

[f1=8 877.1cos（1.913 8×106πt-0.907 2π）]

[f2=1 373.6cos（3.827 8×106πt+0.419 4π）]

[f3=320.5cos（5.741 6×106πt+0.837 7π）]

[f4=282.2cos（7.655 6×106πt+0.597 6π）]

[f5=58cos（9.569 4×106πt+0.088 2π）]

通过在弱电系统中加入能去除谐波所在频段的滤波设备，就可以降低感应雷对弱电系统的危害。

3" 结" 论

本文从时域分析了直击雷和感应雷电流波形，又通过快速傅里叶变换从频域研究其频谱特性。通过研究感应雷电流特征，在频域直观地发现感应雷电流所处的频段，进而研究防护方法，这对于防护感应雷给人类生活带来的危害意义重大。通过增加有效的电感和电容，能滤除这些有害的频段，达到防护的目的。

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作者简介：孙军民（1993—），男，甘肃人，硕士研究生，讲师，从事复杂电磁环境防护与安全评估的研究工作。