“线性代数”的可视化教学案例探索

摘要：“线性代数”是理工及经管类大学本科生必修的一门数学课程，该课程概念和定理较多且抽象，是学生学习的难点。本文通过MATLAB软件可视化了线性代数中若干核心概念的教学设计，以线性变换为纽带，将矩阵、矩阵的行列式、线性方程组解的情况等知识点串联，形成了三个典型教学案例，旨在帮助刚接触线性代数的学生建立起对这些基础概念的直观理解，把握各个知识点之间的内在联系，并为他们进一步理解和掌握其他概念和高维空间的内容奠定坚实的基础。

关键词：线性代数；可视化；线性变换；行列式；线性方程组

VisualTeachingCaseExplorationof"LinearAlgebra"

XuMing

GuizhouUniversityofCommerceGuizhouGuiyang550014

Abstract："Linearalgebra"isacompulsorymathematicscourseforundergraduatestudentsinscience，technology，businessandmanagement.Ithasmanyconceptsandtheoremsthatareabstract，whichmakesitdifficultforstudentstolearn.Thispapervisualizestheinstructionaldesignofseveralcore conceptsinlinearalgebrausingMATLABsoftware.Takinglineartransformationsasthelink，itconnectssuchasmatrices，determinantsofmatrices，andsolutionstosystemsoflinearequations，formingthreeteachingcases.Theaimistohelpstudentswhoareintheinitialstagesoflearninglinearalgebratobuildanintuitiveunderstandingofthesebasicconcepts，grasptheintrinsicconnectionsbetweenvariousknowledgepoints，andlayasolidfoundationforthemtofurtherunderstandandmasterotherconceptsandthecontentofhigherdimensionalspaces.

Keywords：linearalgebra；Visualization；lineartransformation；determinant；systemsoflinearequations

1概述

线性代数作为大学数学中的重要组成部分，对于理工及经管类大学本科生至关重要。它内容丰富，概念定理较多且抽象，是大学数学教学的难点。目前的教学过程偏重于计算，未能在教学初期有效地引导学生构建对这一学科清晰且全面的认识，从而使学生不能很好地理解其中的概念和把握知识点之间的联系。

针对这一问题，教师应当采取创新的教学方法，帮助学生克服学习障碍，并提升他们对数学学科的兴趣和创新能力。通过引入具体的应用实例和实践操作，学生可以更加直观地理解线性代数中的概念，并掌握其在现实世界中的应用。

为了实现这一目标，教学内容的设计应当注重理论与实践的结合，通过案例分析、项目实践和问题解决等多样化的教学手段，引导学生深入探索线性代数的深层次结构和应用潜力。同时，也要不断更新教学资源和方法，利用现代教育技术，如在线课程、模拟软件和互动平台，来提高教学的互动性和吸引力。通过这些综合性的教学策略，学生将能够更加深刻地理解线性代数，并在未来的学术和职业生涯中有效地运用这一强大的数学工具。

2可视化教学设计示例

2.1矩阵与线性变换的关系

定义2.1向量x=（x1，x2，…，xp）与向量x=（y1，y2，…，ys）之间的关系式：

t11x1+t12x2+…+t1pxp=y1

t21x1+t22x2+…+t2pxp=y2

ts1x1+ts2x2+…+tspxp=ys

称为从向量x到向量y的线性变换，其中tij为常数，该线性变换的系数构成的矩阵T=（tij）s×p称为其系数矩阵。

线性变换的本质是一个映射，所以对任意矩阵T=（tij）s×p，如果将其作用于（左乘）空间中的每一个向量，本质上就是对该空间中每个向量做线性映射。我们将这一现象在MATLAB软件中可视化为动图，学生可调整输入来观察不同线性变换的效果。背景中的方格用来代表该空间中的向量，其中两个基向量加粗，便于观察该变换的对空间进行了何种操作（只展示了动图的部分帧）。

2.2线性变换与矩阵行列式之间的关系

先回归一下二维矩阵行列式的定义：

定义2.1：设二维矩阵A=abcd，则其行列式定义为代数式：det（A）=ad-bc。

以二维矩阵为例：由上节所述，一个2×2的矩阵会将二维空间进行变换，那对于原空间中的封闭图形，变化后的面积与变化前面积的比值是多少呢？或者说线性变换将空间拉伸或者压缩的倍数是多少呢？

设A=abcd，原空间中单位基向量i=10，j=01。经过矩阵A变换后在新空间中坐标为：i′=ac，j′=bd。原基向量张成面积为1的矩形经线性变换为平行四边形（如图5），其面积计为S。该平行四边形由坐标已知的向量i′，j′张成，故其面积很容易算出：S=ad-bc。

由上节中的线性变换示意图（图1—图4）可知，S有以下几种情况：

（1）当空间没有发生翻转时，S=ad-bc=det（A）＞0；

（2）当空间被压缩时（压缩为线或者点），S=0=det（A）；

（3）当空间发生翻转时，S=bc-ad=-det（A）＞0。

综上所述，我们可以总结出二维矩阵行列式的几何意义。2×2矩阵A的行列式为：原空间中面积为1的封闭图形经对应线性变换作用后得到的新图形的有向面积。或者可以看成是该线性变换将空间拉伸或者压缩的比例。

同理，可类比得到三维矩阵行列式的几何意义：三维矩阵对应的线性变换将原三维空间中体积为1的封闭立体变换后的有向体积。三阶矩阵的行列式为零时，同样代表压缩变换。这时有三种情况：将三维立体空间压成平面；将三维立体空间压成一条线；将三维立体空间压到原点。

2.3线性变换与线性方程组解判别的联系

2.3.1非齐次方程的情形

对于方程Ts×pxp×1=bs×1，b≠0，以线性变换是对空间的操纵为出发点，也即是在向量b确定的情况下，求一个向量x，使得x经过线性变换T的作用后映射到b。我们分以下几种情况考虑：

（1）设Tp×p为满秩方阵。此时线性变换T没有改变变换前后空间的维度。且T满秩，故向量b一定可以由矩阵T的列向量线性表示（即向量b一定在矩阵T的列空间中），且表示系数唯一，故r（T，b）=r（T）=p，此时方程有唯一解。

（2）设Tp×p为降秩方阵。此时线性变换T将空间压缩，压缩后的空间维数小于p。当向量b属于该低维空间时，向量b可以由矩阵T的列向量线性表示，而对空间压缩将会使得无穷个向量被压缩变换到向量b，这时r（T，b）=r（T）＜p，方程有解且有无穷多解。当向量b不属于该低维空间时，r（T，b）＞r（T），方程无解。

（3）设矩阵Ts×p，其中s＞p。此时，线性变换将p维向量x映射为比其维度高的s维向量b。当此s维向量b可以由T的列向量（p个）线性表示时，说明向量b位于s维空间的子空间中，这时r（T，b）=r（T），方程有解。并且如果该子空间维数为p，说明没有发生空间压缩，故有唯一解。如果该子空间维数小于p，则有无穷解。反之，如果向量b不属于s维空间的子空间，即r（T，b）＞r（T），方程无解。

（4）设矩阵Ts×p，其中s＜p。此时，线性变换将p维向量x映射为比其维度低的s维向量b，空间发生了压缩。此时一定有无穷个向量被变换到向量b，故方程有解且有无穷解，此时r（T，b）=r（T）≤s＜p。

2.3.2齐次方程的情形

对于方程Ts×pxp×1=0s×1，即非齐次方程中向量b为零向量时，因为零向量肯定位于每个线性空间中，所以齐次线性方程组情形的讨论则简单一些：

（1）设Tp×p为满秩方阵，此时线性变换T没有改变变换前后空间的维度，且T满秩，故空间没有压缩，所以线性方程组无解。

（2）设Tp×p为降秩方阵，此时线性变换T将空间压缩，压缩后的空间维数小于p，且零向量肯定在这个空间中，故线性方程组有无穷解。

（3）设矩阵Ts×p，其中s＞p。线性变换将p维向量x映射为比其维度高的s维向量b。如果r（T）=p说明空间没有被压缩，方程有唯一解；如果r（T）＜p，方程有无穷多解。

（4）设矩阵Ts×p，其中s＜p。此时，线性变换将p维向量x映射为比其维度低的s维向量b，空间发生了压缩，故方程有无穷多解。

综合以上分析可以看出，判断非齐次方程组解是否存在的关键在于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等，等于则有解，不等就无解。而对于齐次方程，解是一定存在的。当解存在时，无论是齐次方程还是非齐次方程，如果矩阵T对应的线性变换压缩空间，即r（T）＜p，则方程组有无穷解。

3小结

本文通过线性变换的可视化表示，不仅阐述了行列式在几何上的直观表示，而且还揭示了线性方程组解的内在结构与矩阵秩之间的密切联系。这三个精心设计的案例共同构成了一个连贯的教学框架，使学生能够通过直观的几何图形，更好地理解这些线性代数中的抽象概念。

在后续的教学实践中，我们可以继续采用这种可视化的教学策略。例如，动态演示矩阵求逆的过程、探索向量组的线性相关性与向量空间的维度、分析特征值和特征向量的几何应用等，进一步丰富和拓宽学生的知识视野。这样的教学方法不仅有助于巩固和深化学生对线性代数基本理论的理解，而且还能够激发他们探索更高维空间概念的兴趣和动力。

通过这种逐步引导和深入探讨的方式，学生将能够逐渐建立起一个完整的线性代数知识体系，不仅能够理解每个单独概念的本质，还能够把握它们之间的相互联系和作用。最终，学生将能够在解决实际问题时，灵活运用线性代数的原理和方法，展现出扎实的理论基础和出色的问题解决能力。

参考文献：

［1］李清华，王宝娟.线性代数知识点的可视化教学设计探索与实践［J］.大学数学，2022，38（2）：112119.

［2］段勇，黄廷祝.将数学建模思想融入线性代数课程教学［J］.中国大学教学，2009（3）：4344.

［3］周洪玲，范广慧，郭秀颖，等.基于OBE模式和项目式方法的《线性代数》课程研究［J］.才智，2019（14）：99.

［4］邵丽丽.新工科背景下计算机类专业线性代数课程教学研究［J］.科学咨询，2021（36）：285286.

［5］周小辉，王刚.在应用型人才培养下线性代数的教学研究：以计算机专业为例［J］.高等数学研究，2021，24（4）：121124.

基金资助：贵州商学院2023年校级教改项目“《线性代数》可视化串联教学案例的探索与研究”（2023XJJG16）；教育部2024年第一批产学合作协同育人项目“应用型本科建设背景下计算机类专业MATLAB课程教学模式探究”（230805211022653）

作者简介：徐铭（1996—），女，汉族，贵州六盘水人，硕士，初级职称，研究方向：数据分析与算法。