构建一次函数解决策型应用题

中考试卷中经常出现的决策型应用题，是对实际活动作出相应决策的应用题.这类应用题可通过建立数学模型来解.下面举例介绍.

一、家电生产决策题

例1 某家电公司生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产一台这种新家电，后期还需要其他投资0.3万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元.

（1）分别求总投资y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；

（2）当新家电的总产量为900台时，该公司盈亏情况如何？

（3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况. （注：总投资 = 前期投资 + 后期其他投资，总利润 = 总产值 - 总投资.）

解：（1）y1 = 0.3x + 200；y2 = 0.5x - （0.3x + 200） = 0.2x - 200.

（2）当总产量为900台，即x = 900时，y2 = 900 × 0.2 - 200 = -20 lt; 0，即当总产量为900台时，该公司亏损20万元.

（3）由0.2x - 200 lt; 0，得x lt; 1000，即新家电的总产量小于1000台时，该公司会亏损；由0.2x - 200 = 0，得x = 1000，即新家电的总产量等于1000台时，该公司不亏损也不盈利；由0.2x - 200 gt; 0，得x gt; 1000，即新家电的总产量大于1000台时，该公司会盈利.

二、运输方案决策题

例2 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只选其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示. 若这批水果在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/h，记A，B之间的距离为x km.

（1）如果用w1，w2，w3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出w1，w2，w3与x之间的函数关系式；

（2）应采用哪种运输方式，才能使运输时的总支出最少？

解：（1）w1 = 17x + 1400，w2 = 6x + 2800，w3 = 12x + 1400.

（2）∵x gt; 0，∴w1 gt; w3恒成立. 当w3 gt; w2时，x gt; [7003]，即当x gt; [7003]时，w1 gt; w3 gt; w2；当w3 = w2时，x = [7003]，即当x = [7003]时，w1 gt; w3 = w2；当w3 lt; w2时，x lt; [7003]，即x lt; [7003]时，w1 gt; w3且w2 gt; w3.

所以当x = [7003] 时，选火车与汽车运输总支出都最少；当x gt; [7003] 时，选火车运输总支出最少；当x lt; [7003] 时，选汽车运输总支出最少.

三、购买方案决策题

例3 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：（1）买一套西装送一条领带；（2）西装和领带均按定价的9折付款.某商店老板要到该服装厂购买西装20套、领带x（x gt; 20）条.请你根据x的不同情况帮助老板选择最省钱的购买方案.

解：按方案（1）购买，应付款200 × 20 + （x - 20） × 40 = 40x + 3200（元）；按方案（2）购买，应付款（200 × 20 + 40x） × 90% = 36x + 3600（元）.

比较可知：当20 lt; x lt; 100时选择方案（1）比方案（2）省钱；当x = 100时，选择方案（1）与方案（2）同样省钱；当x gt; 100时，选择方案（2）比方案（1）省钱.

如果同时选择方案（1）和方案（2），那么为了获得厂方赠送领带的数量最多，同时享受9折优惠，可综合设计方案（3），即先按方案（1）购买20套西装并获赠20条领带，然后余下的（x - 20）条领带按方案（2）购买，应付款：200 × 20 + （x - 20） × 40 × 90% = 36x + 3280（元）.方案（3）与方案（2）比较，显然按方案（3）购买比较省钱.方案（3）与方案（1）比较，当36x + 3280 lt; 40x + 3200时，解得x gt; 20，即当x gt; 20时，方案（3）比方案（1）省钱.

综上所述，当x gt; 20时，按方案（3）购买最省钱.

（作者单位：江苏省泰州市第二中学附属初级中学）