二元函数条件最值问题常见的求解方法

摘 要：求二元函数条件最值问题技巧性强、难度大、方法多变，二元函数条件最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.文章通过一道联考题介绍了求二元函数条件最值的方法.

关键词：消元；基本不等式；柯西不等式；判别式；导数

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0002-05

二元条件最值问题是高考、自主招生、强基、各类竞赛的热点.常考常新，创新新颖，形式各样，变化多端，难度较大，选拔性高，区分度强，备受关注.代数变换、合理转化、换元消元、配方化简等是常见的解题技巧.解题时要对主元思想、方程观点、不等式观点、函数思想、数形结合思想等不断琢磨、反复思考.在不同的数学情境中主动探索、主动发现，不断深入问题实质，反思学习过程，自觉迁移、运用所学知识与方法，积累数学活动经验，明悟探究方向与方法，逐步由学会到会学[1].本文通过一道高考题，对处理二元条件最值问题的常用求解方法进行归纳总结，以期帮助学生开阔解题思路，锻炼学生灵活运用知识分析和解决问题的能力，最终提升学生数学学科核心素养.

1 题目呈现

题目 （2022年10月8日湖北高三金太阳百校联考第16题）已知正数x，y满足3x+4y=4，则y（1xy+3+12xy+1）的最小值是.

2 解法探讨

视角1 基本不等式法.

解法1 消去y+基本不等式.

由3x+4y=4，得y=44-3x（0lt;xlt;43）.

则y（1xy+3+12xy+1）

=44-3x·［14x/（4-3x）+3+18x/（4-3x）+1］

=4（112-5x+14+5x）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

=14（2+12-5x4+5x+4+5x12-5x）

≥14（2+212-5x4+5x·4+5x12-5x）=1，

当且仅当12-5x=4+5x，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法2 消去x+基本不等式.

由3x+4y=4，得3xy=4y-4（ygt;1）.

由y（1xy+3+12xy+1）=y（33xy+9+36xy+3）

=y（34y+5+38y-5）

=112［（4y+5）+（8y-5）］（34y+5+38y-5）

=14（2+4y+58y-5+8y-54y+5）

≥14（2+24y+58y-5·8y-54y+5）=1，

当且仅当4y+58y-5=8y-54y+5，即y=52，x=45时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法3 条件变形+基本不等式.

由3x+4y=4，得3xy+4=4y.

y（1xy+3+12xy+1）=14·4y（1xy+3+12xy+1）

=14（3xy+4）（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

=14［（2+2xy+1xy+3+xy+32xy+1）

≥14［（2+22xy+1xy+3·xy+32xy+1）=1，

当且仅当（2xy+1）2=（xy+3）2，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法4 结论变形+条件变形+基本不等式.

因为y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1

=1x+3/y+12x+1/y，

x+3y+2x+1y=3x+4y=4，

14［（x+3y）+（2x+1y）］=1，

所以y（1xy+3+12xy+1）=14（x+3y+2x+1y）·（1x+3/y+12x+1/y）

=14（2+2x+1/yx+3/y+x+3/y2x+1/y）

≥14（2+22x+1/yx+3/y·x+3/y2x+1/y）=1，

当且仅当x+3y=2x+1y，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法5 双换元+基本不等式.

设xy+3=a（agt;3），2xy+1=b（bgt;1），

则3xy+4=a+b.

又由3x+4y=4，得

3xy+4=4y.

所以4y=a+b.

所以y=a+b4.

所以y（1xy+3+12xy+1）=a+b4（1a+1b）

=14（2+ba+ab）

≥14（2+2ba·ab）=1，

当且仅当a=b，即xy+3=2xy+1，xy=2，又

3x+4y=4，所以x=45，y=52时，等号成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法6 双换元+消元+基本不等式.

设xy=a，y=b（agt;0，bgt;0），由3x+4y=4，得3a+4=4b.

所以y（1xy+3+12xy+1）=b（1a+3+12a+1）

=14·4b·（1a+3+12a+1）

=14（3a+4）（1a+3+12a+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

=14（2+a+32a+1+2a+1a+3）

≥14（2+2a+32a+1·2a+1a+3）=1，

当且仅当a+3=2a+1，a=2时等号成立，即

x=45，y=52时，等号成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角2 判别式法.

解法7 消去y+判别式.

由解法1 ，令t=112-5x+14+5x（0lt;xlt;43），则tgt;0.

故t=16（12-5x）（4+5x）=16-25x2+40x+48，

所以25tx2-40tx+16-48t=0，tgt;0.

所以△=（40t）2-4×25t×（16-48t）≥0，

即4t2-t≥0，即t≤0（舍去），t≥14.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法8 消去x+判别式.

由解法2， y（1xy+3+12xy+1）=y（34y+5+38y-5）=36y232y2+20y-25，

令t=y232y2+20y-25（ygt;1），

由t=y232y2+20y-25（ygt;1），得

（32t-1）y2+20ty-25t=0，

当32t-1≠0时，△=400t2+100t（32t-1）≥0，

36t2-t≥0时，t≤0（舍去），t≥136且t≠132.

当32t-1=0时，t=132，y=54gt;1，符合题意.

故t≥136.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角3 柯西不等式法.

解法9 消去y+柯西不等式.

由解法1，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

≥14（12-5x·112-5x+4+5x·14+5x）2

=1，

当且仅当=12-5x1/（12-5x）=4+5x1/（4+5x），即x=45，y=52时，等号成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法10 消去x+柯西不等式.

由解法2，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（4y+5）+（8y-5）］（14y+5+18y-5）

≥14（4y+5·14y+5+8y-5·18y-5）2，

当且仅当4y+51/（4y+5）=8y-51/（8y-5），即x=45，y=52时，等号成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法11 条件变形+柯西不等式.

由解法3，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

≥14（xy+3·1xy+3+2xy+1·12xy+1）2

=1，

当且仅当xy+31/（xy+3）=2xy+11/（2xy+1），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法12 结论变形+条件变形+柯西不等式.

由解法4，得y（1xy+3+12xy+1）

=14［（x+3y）+（2x+1y）］（1x+3/y+12x+1/y）

≥14（x+3y·1x+3/y+2x+1y·12x+1/y）2

=1，

当且仅当x+3/y

1/［x+3/y］=2x+1/y1/（2x+1/y），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法13 双换元+柯西不等式.

由解法5，得

y（1xy+3+12xy+1）=14（a+b）（1a+1b）

≥14（a·1a+b·1b）2=1，

当且仅当a1/a=b1/b，即a=b，xy+3=

2xy+1，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法14 双换元+消元+柯西不等式.

由解法6，得y（1xy+3+12xy+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

≥14（a+3·1a+3）+2a+1·12a+1）2

=1，

当且仅当a+31/a+3=2a+11/2a+1，即a=2，xy=2，又3x+4y=4，所以x=45，y=52时，等号成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角4 导数法.

解法15 消去y+导数.

由解法7，令t=112-5x+14+5x（0lt;xlt;43），

则t=16-25x2+40x+48，

t′=-16（-50x+40）（-25x2+40x+48）2

=160（5x-4）（-25x2+40x+48）2.

当0lt;xlt;45时，t′lt;0;

当45lt;xlt;43时，t′gt;0.

所以当x=45时，它有最小值，t的最小值是14.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法16 消去x+导数.

由解法8，得

t=y232y2+20y-25（ygt;1），

t′=2y（32y2+20y-25）-y2（64y+20）（32y2+20y-25）2

=10y（2y-5）（32y2+20y-25）2.

当1lt;ylt;52时，t′lt;0；

当ygt;52时，t′gt;0.

所以y=52时，t的最小值是136.

即y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角5 权方和不等式法.

解法17 权方和不等式.

y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1

=12x+3/y+122x+1/y

≥（1+1）23x+4/y=44=1，

当且仅当1x+3/y=12x+1/y，3x+4y=4，

即x=45，y=52时取等号.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

视角6 拉格朗日乘数法.

解法18 拉格朗日乘数法.

令F（x，y）=y（1xy+3+12xy+1）+λ（3x+4y-4），

Fx′=-y2（xy+3）2-2y2（2xy+1）2+3λ，①

Fy′=3（xy+3）2+1（2xy+1）2-4λy2 ，②

3x+4y=4，③

由①和②联立求解得xy=2，④

由③和④联立求解得x=45，y=52.

故当x=45，y=52时，y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

3 结束语

从多角度探究一道联考试题，是培养学生能力的重要方式，也是实现数学核心素养的一个重要载体.多角度探究一道试题有利于学生由点到面地掌握有关知识，抓住问题的本质、求解方法以及蕴含的结论，最终实现做一题得一类题，做一题掌握更多的知识.思考角度不同，方法就各不相同，所涉及的知识也不同，解题的难易程度也不尽相同，对培养学生发散思维能力非常重要，它有利于培养学生的创新意识和提升学生的数学核心素养.另外，本文中柯西不等式、权方和不等式、拉格朗日乘数法并不是高考要求考查的内容.但是，作为整个数学知识体系的一部分，对学有余力的学生进行一些拓宽，使其知识面更加全面和完整是非常有必要的[2].

参考文献：

［1］杨华，邵春成.探索发现 迁移拓展[J].数学通讯，2023（08）：47-49.

［2］ 宋秋林，何拓程.谈谈多变元问题的思考策略[J].高中数理化，2022（11）：40-42.

［责任编辑：李 璟］