旋转全等模型应用举例

在平面几何中，有许多具有特殊性质的基本图形，我们称之为基本模型. 课本习题中就有许多基本模型. 同学们在学习中要善于提炼基本模型，并在解题过程中灵活应用. 下面举例介绍.

模型提炼

人教版课本第33页第5题：如图1，△ABC ≌ △DEC，CA和CD，CB和CE是对应边. ∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？

因为△ABC ≌ △DEC，它们有公共顶点C，因此，图1中的△DEC和△ABC可绕点C旋转相互得到，故称为“旋转全等模型”.

若继续绕点C旋转，可得不同图形（如图2），且设计出许多新的问题.

模型应用

在解题中，若能寻找或构造出旋转全等模型，则可迅速找到解题路径.

例1 如图3，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F. BC = DE，AC = AE，∠ACF + ∠AED = 180°. 求证：AB = AD.

解析：易得∠ACB = ∠AED.

∵BC = DE，AC = AE，

∴△ABC ≌ △ADE（SAS），∴AB = AD.

反思：由图3迅速找到旋转全等模型是解题的关键.

例2 如图4，在△ABC和△ADE中，∠BAC = ∠DAE = 90°，且AB = AC，AD = AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O. 求：（1）∠BOC的度数；（2）BD∶CE的值.

解析：易得△ABD ≌△ACE，∴∠ABD = ∠ACE，BD = CE." （1）设BO交AC于点F，∵∠ABF + ∠AFB = 90°，∠AFB = ∠OFC，∴∠OFC + ∠OCF = 90°， ∴∠BOC = 90°；（2）∵BD = CE，∴BD∶CE = 1.

反思：图4比较复杂，只要从中分离出旋转全等模型，问题即可迎刃而解.

例3 （2024·河南）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质. 下面研究与对角线相关的性质. 如图5，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB = AD，AC是它的一条对角线. 写出图中相等的角，并说明理由.

解析：通过观察、测量可以猜想∠ACB = ∠ACD. 下面说明理由.

方法1：如图5，延长CB到N，使得BN = CD，连接NA. 易证△ABN ≌ △ADC，∴AN = AC，∠ANB = ∠ACD. ∴∠ANC = ∠ACB，∴∠ACB = ∠ACD.

方法2：如图6，过点A作AN ⊥ BC于N，AM ⊥ CD交CD的延长线于M. ∵四边形ABCD的对角互补，∴∠B + ∠ADC = 180°. ∵∠ADM + ∠ADC = 180°，∴∠B = ∠ADM." ∵∠ANB = ∠AMD = 90°，∠B = ∠ADM，AB = AD，∴△ABN ≌ △ADM，∴AN = AM，∴∠ACB = ∠ACD.

反思：受旋转全等模型的启发，添加辅助线构造旋转全等模型是解题关键.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：6分钟

1. 如图7，Rt△ABC中，AB = AC，AD ⊥ BC，垂足为D. E，F分别是CD，AD上的点，且CE = AF. 如果∠AED = 62°，那么∠DBF = .

2. 在△ABC中，∠ABM = 45°，AM ⊥ BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC. 如图8，点D是线段AM上一点，MD = MC，点E是△ABC外一点，EC = AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点. 求证：∠BDF = ∠CEF.

难度系数：★★★★ 解题时间：4分钟

3. 在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AC = 2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图9放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC. 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.

（答案见第39页）

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）